표준 좌표

수학 및 고전 역학에서 표준 좌표는 위상 공간의 좌표 집합으로, 주어진 시점에서 물리적 시스템을 설명하는 데 사용할 수 있다. 표준 좌표는 고전역학의 해밀턴식 공식화에 사용된다. 양자역학에서도 밀접하게 관련된 개념이 나타난다; 자세한 내용은 스톤-본 노이만 정리 및 표준적 정류 관계를 참조하라.

해밀턴 역학은 공통 기하학에 의해 일반화되고, 표준 변환은 접점 변환에 의해 일반화되므로, 고전 역학에서 표준 좌표에 대한 19세기 정의는 다지관의 등각 묶음(수학)에 있는 좌표에 대한 보다 추상적인 20세기 정의로 일반화될 수 있다. 위상 공간의 개념).

고전역학의 정의

고전역학에서 표준 좌표는 해밀턴 형식주의에서 사용되는 위상공간의 좌표 $p_{i}$ ${\$ 와 $q^{i}$ $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 이다. 표준 좌표는 기본적인 포아송 대괄호 관계를 만족한다.

\left\{q^{i}}q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{j}\right\}=0\qquad \{q^{i}}}}}{j}\right\}={ij}}}}}}}}}}ij}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

표준 좌표의 대표적인 예로는 $q^{i}$ ${\$ 이 일반적인 데카르트 좌표가 되고 $q^{i}$ $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 이 $p_{i}$ 모멘텀의 구성요소가 된다. 따라서 일반적으로 $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 좌표를 $p_{i}$ "콘주게이트 모멘텀a"라고 한다.

표준 좌표는 레전드르 변환에 의한 라그랑기 형식주의의 일반화된 좌표 또는 표준 변환에 의한 다른 표준 좌표 집합으로부터 얻을 수 있다.

동축 번들에 대한 정의

표준 좌표는 다지관의 등각 번들에 있는 특별한 좌표 집합으로 정의된다. They are usually written as a set of $\left(q^{i},p_{j}\right)$ or $\left(x^{i},p_{j}\right)$ with the x 's or q 's denoting the coordinates on the underlying manifold and the p 's denoting the conjugate momentum, which are 1-forms in the cotangent bund다지관의 q 지점에서 기울다.

표준 좌표에 대한 일반적인 정의는 표준 단일 양식을 양식으로 작성할 수 있는 등고선 번들의 좌표 집합이다.

\sum _{i}\,\mathrm {d}q^{i}}

완전 미분점까지 이러한 형태를 보존하는 좌표의 변경은 정론적 변환이다. 이것들은 기본적으로 동심 다지관의 좌표 변경인 동심동형성의 특수한 경우다.

다음 설명에서는 다지관이 실제 다지관이라고 가정하여 접선 벡터에 작용하는 등각 벡터가 실제 숫자를 생성한다고 가정한다.

형식발달성

다지관 $Q$ 의 벡터 $필드$ X(접선 번들 $TQ$ 의 한 섹션)는 접선 공간과 등선 공간 사이의 이중성에 의해 등선 번들에 작용하는 함수로 생각할 수 있다. 즉, 함수를 정의한다.

P_{X}:T^{*}Q\to \mathb {R}

그런

P_{X}(q,p)=p(X_{q})

$T_{q}^{*}Q$ $T_{q}^{*}Q$ 의 모든 동축 벡터 p에 $대해$ holds for all cotangent 벡터 p in T $T_{q}^{*}Q$ ${\displaystyle T_{q}^{*}Q$ 여기서 $X_{q}$ $T_{q}Q$ ${\$ 는 T $T_{q}Q$ $T_{q}Q$ 의 벡터로서 $X_{q}$ $T_{q}Q$ 지점 Q에 $대한$ 접선 공간이다. $P_{X}$ $P_{X}$ ${\$ 기능을 $X$ 에 해당하는 모멘텀 함수라고 한다 $P_{X}$ .

국부좌표에서 지점 $q$ 에서의 벡터 필드 $X$ 는 다음과 같이 기록할 수 있다.

X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial q^{\partial q^}}}}}}}}

여기서 $\partial /\partial q^{i}$ / $\partial /\partial q^{i}$ $\partial /\partial q^{i}$ i ${\$ 는 $\partial /\partial q^{i}$ $TQ$ 의 좌표 프레임이다. 그 다음, 결합 모멘텀은 다음과 같은 표현을 가지고 있다.

P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}

여기서 $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 는 벡터 $\partial /\partial q^{i}$ ∂ $\partial /\partial q^{i}$ / $\partial /\partial q^{i}$ $\partial /\partial q^{i}$ $\partial /\partial q^{i}$ ${\$ \ \ $/\\ q^{i}}$ 에 해당하는 모멘텀 함수로 정의된다 $p_{i}$ $\partial /\partial q^{i}$

p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}

$q^{i}$ $q^{i}$ ${\$ 과( $)$ p j {\ $displaystyle$ p_ ${j}}$ 과 $p_{j}$ (와) 함께 $q^{i}$ 등각 번들 T $T^{*}Q$ ; Q $T^{*}Q$ 에 좌표계를 형성한다 $T^{*}Q$ 이러한 좌표를 표준 좌표라고 한다.

일반화 좌표

라그랑기 역학에서는 일반화된 좌표라고 하는 다른 좌표 집합이 사용된다. 이것들은 보통 $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ ( $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ q q $q$ q q q $q$ ^{i $},{\dot{$ q}^{i $}\$ $right})$ 로 $\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ 표시되며, ${\dot {q}}^{i}$ i ${\$ $displaystyle q^{$ $q$ }}}}}은 $q^{i}$ (qi, ${\$ $dot$ {q $}}^{i})$ 은 일반화 ${\dot {q}}^{i}$ 속도로 표시된다. 해밀턴인이 코탄젠트 번들에 정의되면 일반화된 좌표는 해밀턴-자코비 방정식을 이용하여 표준 좌표와 관련된다.

참고 항목

참조

Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
랄프 아브라함과 제롤드 E. Marsden, Foundation of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X 섹션 3.2 참조.

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