닫힌 볼록함수

In mathematics, a function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ is said to be closed if for each ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, the sublevel set ${\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}$ is a closed set.

Equivalently, if the epigraph defined by ${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}}$ is closed, then the function ${\displaystyle f}$ is closed.

이 정의는 모든 기능에 유효하지만 볼록 기능에 가장 많이 사용된다.적절한 볼록 함수는 하부 반연속인 경우에만 닫힌다.^[1]적절하지 않은 볼록함수의 경우 함수의 폐쇄 정의에 대해 이견이 있다.^{[citation needed]}

특성.

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$ f$:\mathb {R} ^{n}\오른쪽$ 화살표 $\mathb {R}}$이(가) 연속 함수이고 ${\displaystyle \text{돔}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mbox{dom}f}$이(가) 닫히면$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystysty f}$이 닫힌다$$.
• If ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ is a continuous function and ${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$ is open, then ${\displaystyle f}$ is closed if and only if it converges to ${\displaystyle \infty }$ along every sequence converging to a boundary point of ${\displaystyle \text{dom}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mbox{dom}f$^[2]
• 닫힌 고유 볼록함수 f는 h ≤ f(f의 부등식이라고 함)와 같은 모든 부등식 함수의 집합에 대한 점적 우월성이다.

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.

이 수학적 분석 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

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