유효 도메인

수학의 한 분야인 볼록스 분석에서 유효 영역은 확장된 실수 라인 [${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${${\displaystyle }$± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ }${\displaystyle }$} . ${\displaystyle [-\inflt$,\$inflt ]=\mathb {R} \cupt \cupt \}$에 정의된 함수 영역의 확장이다.$}$

볼록 분석과 변동 분석에서는 일반적으로 주어진 일부 확장된 실질 가치 함수가 최소화된 지점을 구하는데, 여기서 이러한 점을 글로벌 최소 지점이라고 한다.이 함수의 유효 영역은 글로벌 최소 지점이 될 가능성이 희박한 점들 뿐이기 때문에 유효 영역이 이렇게 정의되는$$^[1] 이 함수의 도메인에서 값이 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle +\infit ,}$과 같지 않은 모든 점의 집합으로 정의된다.실제로, 이 분야에서는 (최소화 문제에 대한) 잠재적 해결책으로서조차 고려되지 않는 특정 지점에서 기능을$$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\infit }$과(와) 동일하게 설정하는 것이 일반적인 관행이다.^[1]WTF는 기능 때문에 그러한 점수는 최소화 problem,[1]에 추론 만약 그러한 포인트는 해결책으로 용납되지 않았고 기능이 이밉니다 ∞{\와 같이 설정될 것으로 받아들일 수 있는 해결책으로 여겨진다는 값을 효과적인 도메인에 속하∞{-\infty\displaystyle}( 있는 경우)−이 걸린다.출신의.대신 그 시점에서는$$ $splaystyle +\fully }$

When a minimum point (in ${\displaystyle X}$) of a function ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is to be found but ${\displaystyle f}$'s domain ${\displaystyle X}$ is a proper subset of some vector space ${\displaystyle V,}$ then it often technically useful to extend ${\disp$$laystyle{\displaystyle }$ $f}$을(를) 모든 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대해 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x)=}$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle f(x):$정의에 의해 모든 x에 V∖ X∈ =+\infty}.{\displaystyle x\in V\setminus X}[1], V의 어떤 단계 ∖ X{\displaystyle V\setminus X}f의 욕망은 본래 기능 f의 최소 점을 찾기가 법과 일관되게 효과적인 도메인,{\displaystyle f,}에 속하:X→[− ∞, ∞]{\displaystyle f:X\to용.-\i$모든{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$. ${\displaystyle V.}$에 대해 새로 정의된 확장보다$$ 더 $크고,\더$ 큰 $]}$

문제가 대신 최대화 문제(명확하게 표시됨)인 경우, 유효 도메인은 대신 함수의 도메인에서 -${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle -\inful .}$과(와) 같지 않은 모든 점으로 구성된다.

정의

Suppose ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is a map valued in the extended real number line ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ whose domain, which is denoted by ${\displaystyle \operatorname {domain} f,}$ is ${\displayst$$yle X}($$이{\displaystyle }$ 가정이 필요할 때마다$$X {\$displaystyle X}$이(가) 일부 벡터 공간의 하위 집합으로 가정됨$$).$그런{\displaystyle }$ 다음 f$${\$displaystyle f$}의 유효 도메인은 ${\displaystyle \mathrm{dom}f}$ f$${\$displaystyle \operatorname {dom}(으)$로 표시되며$$ 일반적으로$$ 집합으로^[1][2][3] 정의된다.

$f{\displaystyle }${\$displaystyle f$}이(가) 오목함수이거나 $f{\displaystyle }${\$displaystyle$f}의 최대(최소값보다 작음)가 검색되고$$ 있지 않은 경우, $이{\displaystyle }$경우 f {\$displaystyle$f}의 유효 도메인이 대신 세트인$$^[2] 경우

볼록 분석 및 변동 분석에서 ${\displaystyle 돔}$dom ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$은(는) 달리 명시되지 않는 한 일반적으로 ={ X: : f) + ${\displaysty \operatorname {dom} f=\{x\in$ X~$f(x)$로 $가정$한다.

특성화

$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ R${\displaystyle }$→ X ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \mathb {R} \$$displaystyle$ X$}$에 대한 표준 투영을 나타내며$$$,{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{이<img\; alt="X,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.627ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="98">}}$ 투영은 ( ${\displaystyle x}$, r )${\displaystyle }$↦ ${\displaystyle x\mapsto }$ x ↦ . ${\displaystystylease$ ($x,r)\mapsto.}$에 의해 정의된다.$$ The effective domain of ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is equal to the image of ${\displaystyle f}$'s epigraph ${\displaystyle \operatorname {epi} f}$ under the canonical projection ${\displaystyle \pi _{X}.}$ That is

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\pi _{X}\왼쪽(\operatorname {epi} f\right)=\reft\{x\in X~:{\text{}}}}}}}}}}}y\in \mathb {R}{\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}이 있다.}$^[4]

최대화 문제($예{\displaystyle }$: f ${\displaystyle f}$이(가) 볼록하지 않고 오목한 경우)의 경우, 유효 영역은 대신 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi _{X}$ f$${\$displaystyf}$의 하이포드에 ${\displaystyle {있는}_{}}$ 이미지와 동일하다.

특성.

함수가 실제 값을 갖는 경우와 같이$$ 함수가 값을 +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle +\inflt ,}$을(를) 절대 사용하지 않으면 함수의 도메인과 유효 도메인이 동일하다.

A function ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ is a proper convex function if and only if ${\displaystyle f}$ is convex, the effective domain of ${\displaystyle f}$ is nonempty, and ${\displaystyle f(x)>-\infty }$ for every ${\displaystyle x\in X.}$^[4]

참고 항목

• 적절한 볼록 함수
• 경구(수학)
• 하이포그래프(수학)

참조

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.