K-콘벡스 함수

스카프가 처음 도입한 K-콘벡스 함수는 재고관리 이론에서 (${\displaystyle }$, $){\디스플레이$ 스타일$(s,S)}$ 정책의$$ 최적성 입증에 중요한 볼록함수 개념을 특별히 약화시킨 것이다.^[1]이 정책은 두 숫자 s와 $S{\displaystyle }$, S ${\displaystyle \ge }$ $[\displaystyle S\geq$ s$}$로 특징지어지는데$,$ 이는 재고 수준이 수준 s 아래로 떨어질 때, 재고를 수준 S까지 끌어올리는 수량에 대해 명령이 내려지고, 다른 어떤 것도 주문되지 않는다.갈레고와 세티는 K-콘벡스 개념을 보다 차원 높은 유클리드 공간으로 일반화했다.

정의

두 가지 동등한 정의는 다음과 같다.

정의 1(원래 정의)

K를 음이 아닌 실수가 되게 하라.함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(는) K-convx이다.

${\displaystyle g(u)+z\왼쪽[{\frac {g(u)-g(u-b)}{b}\오른쪽]\leq g(u+z)+K}$

모든 $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle u,z\geq$ 0$,}$ b > ${\displaystyle$ b$>0}$에 대해

정의 2(기하학적 해석을 사용한 정의)

함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(는) K-convx이다.

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}}\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}}}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle \lambda 0}$[ ${\displaystyle 0}$ , 1 ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ x$\leq y,\lambda \in [0,1$에 대해, $여기$서${\displaystyle }$\${\displaystyle \stackrel{}{}}$\ = 1 -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\\bar}=1-\lambda$ $\}.$

이 정의는 가시성의 개념과 관련된 간단한 기하학적 해석을 허용한다.^[3]Let ${\displaystyle a\geq 0}$. A point ${\displaystyle (x,f(x))}$ is said to be visible from ${\displaystyle (y,f(y)+a)}$ if all intermediate points ${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}$$y)),0\leq \lambda \leq 1}$이(가) 이 두 점을 결합하는 선 세그먼트 아래에 있다$$.그런 다음 K-convexity의 기하학적 특성화를 다음과 같이 얻을 수 있다.

함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은$({\displaystyle x}$, g (${\displaystyle x}$)${\displaystyle$(${\displaystyle x}$$,g(x$${\displaystyle )\}}$이$($ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$$$y {\\displaystyle $y\gq x$에 $대해$ $g$)에서 보이는 경우에만 K-콘벡스다$$.

동등성 증명서

위의 정의들이 서로 변형될 수 있다는 것을 증명하기에 충분하다.이는 변환을 사용하여 확인할 수 있다.

$\displaystyle \lambda =z/(b+z),\display x=u-b,\display y=u+z.}$

특성.

^[4]

속성 1

If ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ is K-convex, then it is L-convex for any ${\displaystyle L\geq K}$. In particular, if ${\displaystyle g}$ is convex, then it is also K-convex for any ${\displaystyle K\geq 0}$.

속성 2

If ${\displaystyle g_{1}}$ is K-convex and ${\displaystyle g_{2}}$ is L-convex, then for ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$ is ${\displaystyle (\alpha K+\beta L)}$-convex.

속성 3

If ${\displaystyle g}$ is K-convex and ${\displaystyle \xi }$ is a random variable such that ${\displaystyle E g(x-\xi ) <\infty }$ for all ${\displaystyle x}$, then ${\displaystyle Eg(x-\xi )}$ is also K-convex.

속성 4

$g{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ g$:\mathb {R} \rightarrow \mathb {R}}$이(가) K-convx인 경우$$, 볼록 $세트{\displaystyle \mathbb{}}$ D ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에서 $}의 제한$은 K-convx이다$$.

속성 5

If ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ is a continuous K-convex function and ${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$ as ${\displaystyle y \rightarrow \infty }$, then there exit scalars ${\displaystyle s}$ and ${\displaystyle S}$ with ${\disp$그런$$ $식으로 레이스타일 s\leq$ S$}$

• ${\displaystyle g}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ g${\displaystyle }$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(S)\leq g(y$ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$;
• ( S)+ = ( )g () ${\displaystyle g(S)+K=g(y)}$, 모든 < s ${\displaystyle y<s}$;
• ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle g(y)}$은$({\displaystyle }$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle s)}$ ${\displaystyle(-\inflt ,s$의 감소 함수다.
• ${\displaystyle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$ 모든$$ $y{\displaystyle ,}$ z ${\displaystyle y,z},$ $s$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle \le }$ $(\displaystyle s\leq$ y$\leq z$

참조

외부 링크

• Gallego, Guillermo; Sethi, Suresh (16 September 2004). "K-CONVEXITY IN ℜⁿ" (PDF): 21. Retrieved January 21, 2016. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)