이클랜드 변분원리

수학적 분석에서 Ivar Ekeland가 발견한 Ekeland의 변분 원리는 ^[1]^[2]^[3]일부 최적화 문제에 대해 거의 최적화된 해가 존재한다고 주장하는 정리입니다.

Ekeland의 원리는 최소화 문제의 하위 수준 집합이 콤팩트하지 않을 때 사용될 수 있으므로 볼자노-Weierstrass 정리는 적용할 수 없습니다. 이 원칙은 미터법 공간의 완전성에 의존합니다.^[4]

이 원리는 미터법 공간의 완전성과 동등한 것으로 나타났습니다.^[5] 증명 이론에서는 RCA보다 πCA에 해당하며, 즉 상대적으로 강합니다.

그것은 또한 카리스티 고정점 정리의 빠른 증명으로 이어집니다.^[4]^[6]

역사

이 정리를 제안할 때 Ekeland는 파리 도핀 대학과 연관이 있었습니다.^[1]

이클랜드 변분원리

예비 정의

$함수$ $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ : $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ → $R$ ∪ { $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ - ∞ $,$ + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty, +\infty \} 확장 $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ]$ 실수 R ∪ { - ∞, + ∞ } = [ - ∞, + ∞] {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty, +\infty \} = [-\infty, $+\infty ]}$ 은(는) $\inf _{}f(X)=\inf _{x\in X}f(x)>-\infty$ f $\inf _{}f(X)=\inf _{x\in X}f(x)>-\infty$ ( $\inf _{}f(X)=\inf _{x\in X}f(x)>-\infty$ $=$ $inf$ $x$ $∈$ X f (x ) > - $∞$ {\displaystyle \inf _{}f(X) $=$ \inf _{x\in X}f(x) >-\infty} 인 경우 아래에 경계가 있다고 하며, 정의에 따라 집합인 비어 있지 않은 유효 도메인이 있는 경우에는 고유 도메인이라고 합니다.

\operatorname {dom} f~{\scriptstyle {\text{def}}{=}}~\{x\in X:f(x)\neq +\infty \}

그리고

이 값은 -

-\infty .

∞과 절대 같지 않습니다.

{\displaystyle

-\infty .} 즉,

지도

가 R ∪ {+∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}에서

+\infty .

값이 매겨지고 동일한 + ∞이 아닌 경우 적합합니다. {\displaystyle +\infty.

}

맵

f

{\displaystyle

f

}

은

-\infty <\inf _{}f(X)\neq +\infty ,

는)

-\infty <\inf _{}f(X)\neq +\infty ,

-

∞

<

-\infty <\inf _{}f(X)\neq +\infty ,

f ( X)

∞

+

≠

,

{\

displaystyle

-\infty <\inf _{}f (X)\n인 경우에만 아래에 한정됩니다.

eq +\infty,}

또는 이와 동등하게

\inf _{}f(X)\in \mathbb {R} .

\inf _{}f(X)\in \mathbb {R} .

(

\inf _{}f(X)\in \mathbb {R} .

∈

R.

{\displaystyle \inf_{}f(X

)\in

\mathbb {

R}.}

$A$ 함수 $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ : X → $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ [ $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ - ∞, $f:X\to [-\infty ,+\infty ]$ + ∞] {\ $displaystyle$ f:X\ to [-\infty, $+\infty ]}$ is lower semicontinuous at a given $x_{0}\in X$ if for every real $y<f\left(x_{0}\right)$ there exists a neighborhood $U$ of $x_{0}$ such that $f(u)>y$ for all $u\in U.$ $u\in U.$ A function is called lower semicontinuous if it is lower semicontinuous at every point of $X,$ which happens if and only if $\{x\in X:~f(x)>y\}$ is an open set for every $y\in \mathbb {R} ,$ or equivalently, 하위 레벨 집합 $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ { $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ ∈ $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ : $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ f ( $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ ) $\{x\in X:~f(x)\leq y\}$ ≤ y} ${\displaystyle \{x\in$ X :~f $(x)\$ leqy\}}가 모두 닫혀 있는 경우에만 해당됩니다.

정리문

Ekeland's variational principle^[7] — Let $(X,d)$ be a complete metric space and let $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ be a proper lower semicontinuous function that is bounded below (so $\inf _{}f(X)\in \mathbb {R}$ ). $x_{0}\in X$ $0$ ∈ X ${\$ $displaystyle$ $x_{$ 0}\in X}를 선택하여 $f(x_{0})\neq +\infty$ f (x 0 $)가 R$ {\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R}(또는 $f(x_{0})\neq +\infty$ 이와 동등하게 f( $x$ 0) ≠ + ∞ {\displaystyle f(x_{0})\n을 ∈ $f(x_{0})\neq +\infty$ . $eq +\infty$ 를 수정하고 실제 $\varepsilon >0.$ $ε$ > 0을 수정합니다. ${\displaystyle$ \ $varepsilon >$ 0.} $v\in X$ v $∈$ X ${\displaystyle$ v\in X}이(가) 존재하여 다음 작업을 수행합니다.

f(v)~\leq ~f\left(x_{0}\right)-\varepsilon \;d\left(x_{0},v\right)

v {\displaystyle

v}(

x\neq v

x

≠

v

{\

displaystyle

x\n

)

를

v

한 모든

x

∈ X

{\displaystyle

x\in X}에 대해

eq

v

}),

f(v)~<~f(x)+\varepsilon \;d(v,x).

증명

함수 $G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ × $G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ → R ∪ { $G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ + ∞ } ${\displaystyle$ G:X\times X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}을 정의합니다.

G(x,y)~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def}}{=}}~f(x)+\varepsilon \;d(x,y)

하위 반연속

f

f

f

와 연속 함수

(x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).

(

(x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).

y

(x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).

↦ ε d (x

(x,y)\mapsto \varepsilon \;d(x,y).

y )의 합이므로 하위 반연속입니다. {\

displaystyle (

x, y

)\

map

to

\

varepsilon

\;

d(

x, y).

}

z\in X,

z

∈

X,

{\displaystyle

z\in X,}은 z

{\displaystyle

z}에 고정된 하나의 좌표를 갖는 함수를 나타냅니다.

G_{z}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def}}{=}}~G(z,\cdot ):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}\;{\text{ and }

G^{z}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def}}{=}}~G(\cdot,z):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \

집합을 정의합니다.

F(z)~{\scriptrel {\text{def}}{=}}~\left\{y\in X:G^{z}(y)\leq f(z)\right\}~=~\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d(y,z)\leq f(z)\}

z\in F(z).

값은 z ∈ F(

z

)이므로 비어 있지 않습니다.

{\displaystyle

z

\in

F(z).

}

원소

v\in X

∈

X

{\displaystyle

v\in X}는 F(

F(v)=\{v\}.

)

=

F(v)=\{v\}.

{v}

F(v)=\{v\}.

인

F(v)=\{v\}.

에만

F(v)=\{v\}.

이 정리의 결론을 만족합니다. {\displaystyle F(v)

=

\{v\}} 그런 원소를 찾는 것은 남아 있습니다.

모든 $x\in X,$ ∈ $X$ 에 대하여 ${\displaystyle$ x\in X,}임을 확인할 수 있습니다.

$F(x)$ $F(x)$ 이(가) 닫혀 있습니다( $F(x)$ x $=$ $G^{x}\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,G(\cdot ,x):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $F(x)$ G $G^{x}\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,G(\cdot ,x):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ x)) $F(x)$ X $F(x)$ R $F(x)$ {+∞ } {\displaystyle G^{x}\,{\stackrel {\scriptstyle {\text{de $F(x)$ $}}{$ =}\,G(\cdot,x): $X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ 는 $G^{x}\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,G(\cdot ,x):X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ 하위 반연속);
$x\notin \operatorname {dom} f$ $x\notin \operatorname {dom} f$ ∉ $dom$ ⁡ $f$ {\displaystyle x\n $otin \operatorname {dom} f}$ 다음 $F(x)=X;$ ( $F(x)=X;$ $=$ $F(x)=X;$ {\displaystyle F(x) $=$ $X;}$
$x$ ∈ $dom$ ⁡ f $x\in F(x)\subseteq \operatorname {dom} f;$ ${\displaystyle$ x\in $\operatorname$ {dom} f}인 경우 x ∈ F(x )는 dom ⁡ f; {\displaystyle x\in F(x)\subseteq \operatorname {dom} f;} 특히 x 0 ∈ F(x 0)는 dom ⁡ f; {\displaystyle x_{0}\in F\left(x_{0}\right)\subseteq \operatorname {dom} f;}
$y\in F(x)$ ∈ F ( $x$ ) ${\$ $displaystyle y\$ in F( $F(y)\subseteq F(x).$ )}이면 F $F(y)\subseteq F(x).$ ( $F(y)\subseteq F(x).$ ) $F(y)\subseteq F(x).$ ⊆ F (x ) . {\ $displaystyle F($ y)\subseteq F(x)}

$s_{0}=\inf _{x\in F\left(x_{0}\right)}f(x),$ {\displaystyle f}가 아래 경계로 가정되었기 때문에 실수인 0 = $s_{0}=\inf _{x\in F\left(x_{0}\right)}f(x),$ x $s_{0}=\inf _{x\in F\left(x_{0}\right)}f(x),$ ∈ F (x 0 ) f (x ), {\displaystyle s_{0} =\in F\left (x_{0}\right)}f(x)라고 합니다. Pick $x_{1}\in F\left(x_{0}\right)$ such that $f\left(x_{1}\right)<s_{0}+2^{-1}.$ Having defined $s_{n-1}$ and $x_{n},$ let

s_{n}~{\stackrel {\scriptstyle {\text{def}}{=}~\in F\left(x_{n}\right)}f(x)

x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)

x

x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)

+ 1 ∈ F (

x

n ) {\

displaystyle x_{n+1

}\

in F\left(x_

{n

}\

right)}를 선택하여

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

f (

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

n +

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

<

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

n +

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

-

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

(n

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

+

f\left(x_{n+1}\right)<s_{n}+2^{-(n+1)}.

1 ) .

{\displaystyle f\

left(

x_

{n+

1}\right)

<

s_{n}

+ 2

^{-(

n+1)}를 선택합니다.

}

For any

n\geq 0,

x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right)

guarantees that

s_{n}\leq f\left(x_{n+1}\right)

and

F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right),

{\displaystyle F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right)},

즉

n

+

F\left(x_{n+1}\right)\subseteq F\left(x_{n}\right),

s_{n+1}\geq s_{n}

≥

n

{\displaystyle s_{

n+

1}\geq

s_{n}}을 의미하므로 또한

f\left(x_{n+2}\right)\geq s_{n+1}\geq s_{n}.

So if

n\geq 1

then

{\displaystyle x_{n+1}\in F\left(x_{n}\right){\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\left\{y\in X:f(y)+\varepsilon \;d\left(y,

x_{n}\right)\leq

f

\left(x_{n}\right)\}

f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},

f

f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},

n

f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},

+ 1

f\left(x_{n+1}\right)\geq s_{n-1},

≥

s n -

1

,

{\displaystyle f\left

(x_{

n+

1}\

right)\geq

s_{n-1}을(를) 보증합니다.

\varepsilon \;d\left(x_{n+1},x_{n}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n+1}\right)~\leq ~f\left(x_{n}\right)-s_{n-1}~<~{\frac {1}{2^{n}}}.

다음은 모든 $n,p\geq 1,$ 의 정수 $n,p\geq 1,$ 에 $대하여,$ p ≥ $1, {\displaystyle$ n,p\geq 1,}

d\left(x_{n+p},x_{n}\right)~\leq ~2\;{\frac {\varepsilon ^{-1}}{2^{n}}},

이는

x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }

∙ := (

x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }

n )

x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }

=

0

∞ {\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty }가 코시 수열임을 증명합니다.

X {\displaystyle

X

}

은(는) 완전한 메트릭 공간이므로 일부

v

∈ X {\

displaystyle

v\in X}이

(

가)

있으므로

x ∙

{\displaystyle

n\geq 0,

{\bullet}이(가)

v로

수렴됩니다.

{\

n\geq 0,

v

n\geq 0,

임의의 n개

의 ≥

0,

{\displaystyle n\geq 0에 대해,

}

F\left(x_{n}\right)

(

F\left(x_{n}\right)

F\left(x_{n}\right)

{\

F

\left(x_{n}\right)}

는

F\left(x_{n}\right)

시퀀스

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

+

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

n

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

+ 2

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

x_{n}, x_{n+1}, x_{n+2},\ldots,

를

x_{n},x_{n+1},x_{n+2},\ldots ,

포함하는 닫힌 집합이므로

n\geq 0,

이 시퀀스의 한계도 포함해야 합니다.

v;

{\displaystyle

v

;}

v\in F\left(x_{n}\right)

v\in F\left(x_{n}\right)

∈ F(

x

n)

{\displaystyle v\in

F

\left(x_

{n

}\

right)},

v\in F\left(x_{0}\right).

∈ F(x 0)입니다

. {\displaystyle

v

\in

F

\

left(x_{0}\right).

}

$F(v)=\{v\}.$ $F(v)=\{v\}.$ 는 $F(v)=\{v\}.$ F $F(v)=\{v\}.$ v $)$ = { $}$ . {\displaystyle F(v) =\{v\}인 것으로 나타나면 그 뒤를 따를 것입니다. $}$ So let $x\in F(v)$ and it remains to show $x=v.$ Because $x\in F\left(x_{n}\right)$ for all $n\geq 0,$ it follows as above that $\varepsilon \;d\left(x,x_{n}\right)\leq 2^{-n},$ $\varepsilon \;d\left(x,x_{n}\right)\leq 2^{-n},$ which implies that $x_{\bullet }$ converges to $x.$ Because $x_{\bullet }$ also converges to $v$ and limits in metric spaces are unique, ${\displaystyle x=v.$ $}$ $\blacksquare$ {\displaystyle \blacksquare} Q.E.D.

For example, if $f$ and $(X,d)$ are as in the theorem's statement and if $x_{0}\in X$ happens to be a global minimum point of $f,$ then the vector $v$ from the theorem's conclusion is $v:=x_{0}.$ ${\displaystyle v:=x_{0}입니다.$ $}$

코럴리

Corollary^[8] — Let $(X,d)$ be a complete metric space, and let $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ be a lower semicontinuous functional on $X$ that is bounded below and not identically equal to ${\displaystyle +\infty .$ $}$ $\varepsilon >0$ > 0 ${\displaystyle$ \varepsilon $x_{0}\in X$ >0} 및 점 x 0 $∈$ X {\displaystyle x_{0}\in X}를 다음과 같이 고정합니다.

f\left(x_{0}\right)~\leq ~\varepsilon +\in_{x\in X}f(x).

그러면 모든

\lambda >0,

λ > 0에 대해

v\in X

{\displaystyle \lambda

> 0,} 점

v\in X

∈ X

{\displaystyle

v\in X}가

v\in X

하여 다음과 같은 작업을 수행합니다.

f(v)~\leq ~f\left(x_{0}\right),

d\left(x_{0},v\right)~\leq ~\lambda,

그리고, 모든

x\neq v,

≠

v

에 대하여

{\displaystyle

x\n

eqv,}

f(x)+{\frac {\varepsilon}{\lambda }}d(v,x)~>~f(v).

그 원리는 다음과 같이 생각할 수 있습니다. For any point $x_{0}$ which nearly realizes the infimum, there exists another point $v$ , which is at least as good as $x_{0}$ , it is close to $x_{0}$ and the perturbed function, $f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)$ $displaystyle f(x)+{\frac {\varepsilon }{$ (v,x)}, v {\displaystyle v}에서 고유 최소값을 가집니다. 좋은 절충안은 이전 결과에서 $f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)$ = $f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)$ ε {\displaystyle $f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)$ a $f(x)+{\frac {\varepsilon }{\lambda }}d(v,x)$ ={\sqrt {\varepsilon }}을 취하는 것입니다.

참고 항목

카리스티 고정점 정리
Fencel-Young 부등식 – Legendre 변환 페이지의 일반화 - 방향 전환 대상에 대한 짧은 설명 표시
변분 원리 – 변분 연산을 사용할 수 있는 과학적 원리

참고문헌

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^ ^a ^b Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz (1990). Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38289-0.
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^ Ok, Efe (2007). "D: Continuity I". Real Analysis with Economic Applications (PDF). Princeton University Press. p. 664. ISBN 978-0-691-11768-3. Retrieved January 31, 2009.
^ Zalinescu 2002, 페이지 29.
^ ^a ^b Zalinescu 2002, 30쪽.

서지학

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Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz (1990). Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38289-0.
Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.
Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

[Eke74-1] Ekeland, Ivar (1974). "On the variational principle". J. Math. Anal. Appl. 47 (2): 324–353. doi:10.1016/0022-247X(74)90025-0. ISSN 0022-247X.

[2] Ekeland, Ivar (1979). "Nonconvex minimization problems". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 1 (3): 443–474. doi:10.1090/S0273-0979-1979-14595-6. MR 0526967.

[3] Ekeland, Ivar; Temam, Roger (1999). Convex analysis and variational problems. Classics in applied mathematics. Vol. 28 (Corrected reprinting of the (1976) North-Holland ed.). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. 357–373. ISBN 0-89871-450-8. MR 1727362.

[KG90-4] Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz (1990). Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38289-0.

[5] Sullivan, Francis (October 1981). "A characterization of complete metric spaces". Proceedings of the American Mathematical Society. 83 (2): 345–346. doi:10.1090/S0002-9939-1981-0624927-9. MR 0624927.

[realanalysisok-6] Ok, Efe (2007). "D: Continuity I". Real Analysis with Economic Applications (PDF). Princeton University Press. p. 664. ISBN 978-0-691-11768-3. Retrieved January 31, 2009.

[FOOTNOTEZalinescu200229-7] Zalinescu 2002, 페이지 29.

[FOOTNOTEZalinescu200230-8] Zalinescu 2002, 30쪽.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t 볼록해석 및 변분해석
기본개념	볼록결합 볼록 함수 볼록 집합
토픽(목록)	초케 이론 볼록기하학 볼록계측공간 볼록최적화 이중성 라그랑주 승수 레장드르 변환 국소 볼록 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 켤레 오목 (닫힘) 케이- 대수적으로 적절한 사이비- 준) 볼록 함수 인벡스 함수 레장드르 변환 반연속 하위 도함수
주요결과(목록)	카라테오도리 정리 이클랜드 변분원리 펜첼-모로우 정리 펜첼-영 부등식 젠슨 부등식 에르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 Mazur's lemma 샤플리-포크맨 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
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시리즈	볼록 시리즈 관련 ((cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하부) 이상 볼록, (Hx) 및 (Hwx)
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