인벡스 함수

벡터 미적분학에서 인벡스 $함수$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$부터 R ${\$}까지 구별 가능한 $함수{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle \eta}$이다.

$\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta(x,u)\cdot \cdla f(u),\,}$

모든 x와 u에 대해서.

인벡스 함수는 한손에 의해 볼록함수의 일반화로 도입되었다.^[1]Ben-Israel과 Mond는 모든 정지 지점이 전지구적 최소점일 경우에만 함수가 invex라는 간단한 증거를 제공했는데, Craven과 Glover가 처음 명시한 정리였다.^[2][3]

Hanson은 또한 최적화 문제의 목적과 제약조건이 동일한 함수 $\eta {\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \eta (x,u$에 대해 invex인 경우, Karush-Kuhn-Tucker 조건은 글로벌 최소치에 충분하다는 것을 보여주었다.

I형 인벡스 함수

타입 I 인벡스 함수라고 불리는 인벡스 함수의 약간 일반화는 카루시-쿤-터커 조건이 글로벌 최소화에 필요하고 충분한 가장 일반적인 함수의 종류다.^[4]양식의 수학적 프로그램을 고려하십시오.

${\displaystyle {\ready}{rl}\min &f(x)\\\\text{s.t.}}}&g(x)\leq 0\end{array}}$

여기서 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$→ R ${\$ f$:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R}$\m$}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle g:\mathb {R} ^{n}\m}$는 서로 다른 함수다$$.${\displaystyle \mathrm{Let}}$ $F{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ x ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle n{}^{}}$ g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ F$=\{x\in \mathb {R} ^{n}\; \;g(x)\leq$ 0$\}}}$은(는$$) 이 프로그램의 실행 가능한 영역을 나타낸다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수는 I 유형 목표 함수이고 g ${\displaystyle g}$ $함수$는 $F$ ${\displaystyle F}$에 정의된$$ 벡터 값 $함수{\displaystyle }$vector {\$displaystyle \eta }$이$($가) 있는 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$$$ x 0 ${\$에서 I 유형 제약 함수임그런

${\displaystyle f(x)-f(x_{0}}\geq \eta(x)\cdot \f(x_{0})}}}$

그리고

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta(x)\cdot \cdla {g(x_{0}}}}}}}}}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\$에 대해$.$^[5] invexity와 달리 Type I invexity는 점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해 정의된다는 점에 유의하십시오$.$

정리(Theorem 2.1 in^[4]):If ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are Type I invex at a point ${\displaystyle x^{*}}$with respect to ${\displaystyle \eta }$, and the Karush–Kuhn–Tucker conditions are satisfied at ${\displaystyle x^{*}}$, then ${\displaystyle x^{*}}$is a global minimizer of ${\d$$Isplaystyle F}$을(를) $통해{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle F$

참고 항목

• 볼록함수
• 유사콘벡스 함수
• 퀘이콘벡스 함수

참조

추가 읽기

• S. K. Misshra와 G. Giorgi, Invexity 및 Optimization, Nonconvex Optimization and its Applications, Vollag, 2008, Springer-Verlag, Verlag.
• S. K. 미샤라, S.Y.Wang and K. K. Lai, General Bolfxity and Vector Optimization, Springer, New York, 2009.