코로나 정리

수학에서 코로나 정리는 오픈 유닛 원반에 있는 경계가 있는 홀로모픽 함수의 스펙트럼에 관한 결과로서, 카쿠타니(1941)에 의해 추측되고 레나트 칼레슨(1962)에 의해 증명되었다.

상호 작용 바나흐 대수학 및 하디 공간 H는^∞ 오픈 유닛 디스크 D의 경계된 홀로모르픽 함수로 구성된다.그것의 스펙트럼 S(폐쇄된 최대 이상)는 개방된 하위공간으로서 D를 포함한다. 왜냐하면 D의 각 z에는 f와 함수로 구성된 최대 이상이 있기 때문이다.

f(z) = 0.

본질적으로 스펙트럼은 콤팩트한 공간이고 D는 그렇지 않기 때문에 서브스페이스 D는 전체 스펙트럼 S를 구성할 수 없다.S에서 D의 폐쇄를 보완한 것을 뉴먼(1959년)에 의해 코로나라고 불렀고, 코로나 정리는 코로나가 비어 있거나, 즉 오픈 유닛 디스크 D가 스펙트럼에 밀집되어 있다고 기술하고 있다.보다 기본적인 제형은 다음과₁ 같은 Δ>0이 있는 경우에만 f, ...f_n 원소가 H의^∞ 단위 이상을 생성하는 것이다.

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}\Delta }$ ${\displaystyle f_{1} +\cdots$+ $f_{n} \geq \delta$} 유닛 볼 곳곳$$.

뉴먼은 코로나 정리가 보간 문제로 축소될 수 있다는 것을 보여주었고, 이는 칼레슨에 의해 증명되었다.

1979년 토마스 울프는 (쿠시 1980년)과 (가멜린 1980년)에서 설명한 코로나 정리에 대한 간결한(그러나 미발표된) 증거를 제시했다.

콜은 나중에 이 결과를 모든 열린 리만 표면으로 확장할 수 없다는 것을 보여주었다(Gamelin 1978).

Carleson의 작품 중 부산물로서 Carleson 척도는 현대 기능 이론에서 매우 유용한 도구로서 발명되었다.모든 평면영역에 대한 코로나 정리 버전이 있는지 아니면 더 높은 차원영역에 대한 것인지는 여전히 공개적인 문제로 남아 있다.

코로나의 정리에서 경계까지의 연속성을 가정한다면, 그 결론은 교감 바나흐 대수론(Rudin 1991년)에서 쉽게 따르게 된다.

참고 항목

• 코로나 세트

참조

• Carleson, Lennart (1962), "Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem", Annals of Mathematics, 76 (3): 547–559, doi:10.2307/1970375, JSTOR 1970375, MR 0141789, Zbl 0112.29702
• Gamelin, T. W. (1978), Uniform algebras and Jensen measures., London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 32, Cambridge-New York: Cambridge University Press, pp. iii+162, ISBN 978-0-521-22280-8, MR 0521440, Zbl 0418.46042
• Gamelin, T. W. (1980), "Wolff's proof of the corona theorem", Israel Journal of Mathematics, 37 (1–2): 113–119, doi:10.1007/BF02762872, MR 0599306, Zbl 0466.46050
• Kakutani, Shizuo (1941). "Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A characterization of the space of continuous functions.)". Ann. of Math. Series 2. 42 (4): 994–1024. doi:10.2307/1968778. hdl:10338.dmlcz/100940. JSTOR 1968778. MR 0005778.
• Koosis, Paul (1980), Introduction to H^p-spaces. With an appendix on Wolff's proof of the corona theorem, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 40, Cambridge-New York: Cambridge University Press, pp. xv+376, ISBN 0-521-23159-0, MR 0565451, Zbl 0435.30001
• Newman, D. J. (1959), "Some remarks on the maximal ideal structure of H^∞", Annals of Mathematics, 70 (2): 438–445, doi:10.2307/1970324, JSTOR 1970324, MR 0106290, Zbl 0092.11802
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, p. 279.
• Schark, I. J. (1961), "Maximal ideals in an algebra of bounded analytic functions", Journal of Mathematics and Mechanics, 10: 735–746, MR 0125442, Zbl 0139.30402.