공변량 변환

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물리학에서 공변량 변환은 벡터나 텐서 같은 특정 실체가 기준의 변경에 따라 어떻게 변하는지 지정하는 규칙이다.새로운 기본 벡터를 이전 기본 벡터의 선형 결합으로 설명하는 변환은 공변량 변환으로 정의된다.일반적으로, 기초 벡터를 식별하는 지수는 더 낮은 지수로 배치되며, 모든 기업이 동일한 방식으로 변모한다.공변량 변환의 역행은 역행성 변환이다.벡터는 이전과 동일한 크기와 방향을 가진 기하학적 또는 물리적 물체를 나타내야 한다는 의미의 변화 하에 불변해야 할 때마다 그 구성요소는 역반복 규칙에 따라 변해야 한다.일반적으로 벡터의 성분을 식별하는 지수는 상위 지수로 배치되며, 따라서 동일한 방식으로 변모하는 모든 기업의 지수도 상위 지수로 배치된다.동일한 하한 및 상한 지수를 가진 제품의 쌍 비교 일치 지수의 합은 변환 시 불변한다.

벡터 자체는 원칙적으로 선택된 기초의 독립적(불변량)인 기하학적 수량이다.벡터 v는 예를 들어 선택된 기준으로 구성 요소 v에ⁱ 주어진다_i.또 다른 기준으로, e′_j이라고 하면, 동일한 벡터 v는 다른 구성 요소 v′^j를 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{i}=\\mathbf {e}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$

벡터로서, v는 선택된 좌표계에 불변해야 하며 선택된 기준과 무관해야 한다. 즉, "실제" 방향과 크기는 기본 벡터에 관계없이 동일하게 나타나야 한다.벡터 e를_i 기본 벡터 e로_j 변환하여 기본 변경을 수행할 경우, 구성 요소 v가ⁱ 보상할 새 구성 요소 v로^j 변환되도록 해야 한다.

v의 필요한 변환을 역변환 규칙이라고 한다.

In the shown example, a vector ${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.$$}$은(는) 직사각형 좌표계(검은색 그리드)와 방사형 좌표계(빨간색 그리드)의 두 가지 다른 좌표계로 설명된다$$.기준 벡터는 직사각형 좌표계의 경우 e와_xy e, 방사형 좌표계의 경우 e와_r e 등_φ 두 좌표계 모두에 대해 선택되었다.방사상 기준 벡터 e와_r e는_φ 직사각형 기준 벡터 e와_x e와_y 관련하여 반시계방향으로 회전한 것으로 나타난다.따라서 기본 벡터에 대해 수행되는 공변량 변환은 첫 번째 기본 벡터에서 두 번째 기본 벡터로 회전하는 반시계방향 회전이다.

v의 좌표는 반드시 새로운 좌표계로 변환해야 하지만, 벡터 v 자체는 수학적 객체로서 선택된 기준과 독립적으로 유지되어, 좌표 변경에 불변하는 동일한 방향과 동일한 크기를 가리킨 것으로 보인다.반반변형 변환은 다른 베이스 사이의 회전을 보상함으로써 이를 보장한다.방사형 좌표계의 맥락에서 v를 보면, 직사각형 기준 벡터 e와_x e에_y 비해 기본 벡터 e와_r e에서_φ 더 시계방향으로 회전하는 것으로 보인다.따라서 이 예에서 필요한 v로의 역방향 변환은 시계방향 회전이다.

공변량 변환 예제

함수의 파생상품은 공변량 변환

공변량 변환의 명시적 형식은 함수의 파생상품의 변환 속성과 함께 가장 잘 소개된다.주어진 좌표계 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$, ${\displaystyle \mathrm{i}}$= ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle x^{i},\i=0,1,\dots$ $$$}$에서 식별 가능한 p 점 집합에 정의된 스칼라 함수 f(공간 내 위치의 온도)를 고려한다.If we adopt a new coordinates system ${\displaystyle {x'}^{j},j=0,1,\dots }$ then for each i, the original coordinate ${\displaystyle {x}^{i}}$ can be expressed as a function of the new coordinates, so ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=$$0$$,1,\dots }$ f의 파생상품은 새로운 좌표를 기준으로 옛 좌표로 표현할 수 있으며, 파생상품의 체인 룰을 사용한다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason {x}^{i}}}={\frac {\flac {\fract {x'^{j}}\\\frac {\fract {x'}^{j}}}}}}.$

이것은 공변량 변환 규칙의 명시적 형식이다.좌표에 관한 정상파생물의 표기법은 다음과 같이 콤마를 사용하는 경우가 있다.

${\displaystyle f_{,i}\\\\stackrel {def}{}}{}}}{=}\\frac {\fract f}{\film x^{i}}}}}}}}}$

여기서 공변량 변환으로 인해 지수 i가 더 낮은 지수로 배치된다.

기본 벡터는 공변량 변환

벡터는 기본 벡터 단위로 표현할 수 있다.특정 좌표계의 경우 좌표 격자에 접하는 벡터를 선택할 수 있다.이 기준을 좌표계라고 한다.

변환 속성을 설명하려면 주어진 좌표계 ${\displaystyle x^{}}$ $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 식별할 수 있는 p 점 집합을 다시 한 번 고려하십시오. 여기서$$ $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ … ${\displaystyle$ i$=0,1,\dots }($manifold).스칼라 함수 f는 이 공간의 모든 p점에 실제 숫자를 할당하는 좌표 $f{\displaystyle ({x\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle \dots )}$의 함수로서$,$ 좌표 f\$displaystyle$ f$\;\좌표(x^{0},x^{1},\dots \right)$의 함수다.$$곡선은 곡선 매개변수 say, c( with)와 같이 1-모수 c이다.곡선에 대한 접선 벡터 v는 곡선을 따라$$ 파생된 $d{\displaystyle }$c/${\displaystyle d}$ $\$ {\$displaystyle dc/d$\lambda$$}이며, 파생형은 고려 중인 p 지점에서 취한다.접선 벡터 v를 함수에 적용할 수 있는 연산자(방향 파생 모델)로 볼 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathbf {v}[f]\\\stackrel {def}}{}}}{{df}{df}{df}{df}{dflac {d\;}{d\flac {da(\da )}}$

접선 벡터와 연산자 사이의 병렬은 좌표로 계산할 수도 있다.

${\displaystyle \mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\flac {\fract f}{\fract x^{i}}}}}}{\frac {\fract f}{\cape x^{i}}}}}}}}}}$

또는 연산자 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ x$^{i}}}$

${\dplaystyle \mathbf{v} ={\frac {dx^{i}}{d\frac {\dx^{i}}}{\frac {dx^{dx^{i}}}}}{d\mathbf{e}}}}}{i}}}}}}}}}}}:{\frac {d\frac {d\mathbf}}}}}}}}}}}$

여기서 e ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ /${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ x ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ 단순히 좌표 격자 자체인 곡선에 접선 벡터$.$

If we adopt a new coordinates system ${\displaystyle {x'}^{i},\;i=0,1,\dots }$ then for each i, the old coordinate ${\displaystyle {x^{i}}}$ can be expressed as function of the new system, so ${\displaystyle x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots }$$$ 이 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 좌표계에서는 e i =${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}^{}\partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {{\backslash }^{}}^{}}$ i ${\$이(가) 기본이 되고 접선 벡터가 된다$$.x에 체인 규칙을 적용하면 새로운 $시스템$에서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 표현할 수 있다. 좌표 함수로서 다음과 같은 변환을 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}}$

이것은 실제로 함수의 파생에 대한 공변량 변환과 동일하다.

역반변형

(탄젠트) 벡터 변환의 구성 요소들은 다른 방식으로 반대변환이라고 불린다.접선 벡터 $v$를 고려하고 구성 요소를 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$e} _{i}}$ 기준으로$$${\displaystyle v^{}}$ $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ '$_{i}}$ 따라서 $구성{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$를 $v{\displaystyle {{}^{}}^{}}$′ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$라고 부른다$$$.$

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'^{i}\mathbf {e} '_{i}}}}$

어떤 점에서

${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}}{d\mbox{과}}\{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{d\boda }}}}}}}}}}$

만약 우리가 새로운 요소들을 이전 요소들의 관점에서 표현한다면,

${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$

이것은 역변형 변환이라고 불리는 변형의 명시적인 형태로서 우리는 그것이 다르고 공변량 규칙의 반비례에 불과하다는 점에 주목한다.공변량(탄젠트) 벡터와 구별하기 위해 지수를 맨 위에 놓는다.

차동형태가 역행적으로 변형됨

반대변형 변환의 예는 df 미분형에서 제시된다.좌표 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ x$^{i}}$의 함수로 f에 대해$$d ${\displaystyle x^{}}$ i ${\$의 단위로 df를 표현할 수 있다$.$미분 dx 변환은 이후 역행 규칙에 따라 변한다.

${\displaystyle d{x'}^{i}={\frac {\frac {\fract {x'}^{i}}{\propert {x}^{j}}{dx}^{j}}}}}}}}}{dx}^{j}}}}}}}}}$

이중 속성

공변적으로(기초 벡터처럼) 변형하는 실체와 반대로(벡터와 미분 형태의 성분처럼) 변형하는 실체는 "거의 거의 같다"면서도 서로 다르다.그들은 "이중" 특성을 가지고 있다.이것 뒤에 있는 것은 수학적으로 주어진 선형 벡터 공간과 항상 함께 가는 이중공간으로 알려져 있다.

벡터 공간 T를 취하십시오.벡터 v, w 및 스칼라 α에 대해 다음과 같은 경우 T에 대한 함수 f를 선형이라고 한다.

${\displaystyle {\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v})+f(\mathbf {w})\f(\mathbf {v})&=\mathbf(\v} )\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}이(으(으(으(으(으(으(으)로 표시됨$

간단한 예는 벡터에 그 성분들 중 하나의 값(투영 함수라고 함)을 할당하는 함수다.그것은 인수로 벡터를 가지고 있고 성분의 값인 실수를 할당한다.

그러한 모든 스칼라 값 선형함수는 T의 이중공간이라 불리는 벡터공간을 함께 형성한다.총 f+g는 다시 선형 f와 g에 대한 선형 함수로, 스칼라 곱셈 αf에도 같은 함수가 있다.

기초 e ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ T에 대해$$ 위에서 언급한 선형 함수 집합인 투영 함수를 취함으로써 자연적인 방법으로 이중 공간에 대한 이중 기준이라고 불리는 기초를 정의할 수 있다.각 투영 함수(Ω으로 색인화됨)는 기본 벡터 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 중 하나에 적용될 때 숫자 1을 $생성$한다$.$ 예를 들어 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$ 및 기타$$ ${\displaystyle {}_{}}$에 1을 부여한다$$.이 선형 함수 $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 적용하면 (선형성을 사용하여)를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \omega^{0}(\mathbf {v} )=\mathbf {e}(v^{i}\mathbf {e}_{i}\mathbf {e}\mathbf {i}\i}\mathbf {e}=v^{0}}}}}}}}}.$

첫 번째 좌표의 값만 있으면 돼이러한 이유로 투영함수라고 한다.

$기본{\displaystyle {}^{}}$ 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \omega ^{i}$만큼 ${\displaystyle {많은}^{}}$ 듀얼 베이시스$$ 벡터 e {\$displaystyle \mathbf$ {e$} _{i}}$이 있으므로 이중 공간은 선형 공간 자체와 동일한 차원을 갖는다$.$이중 공간의 요소(이중 벡터라고 함)가 공변적으로 변형되고 접선 벡터 공간의 요소들이 역방향으로 변형된다는 점을 제외하면 거의 같은 공간이다.

때로는 접선 벡터 u에 대한 선형함수 real의 실제 값이 다음과 같이 주어지는 추가 표기법이 도입되기도 한다.

${\displaystyle \mathbf {u} ]:=\langle \langle \mathbf {u} \angle }$

여기서 $⟨,{\displaystyle u\mathbf{}}$⟩,$$u ⟩, u \$displaystyle \langle$\langle \$langle,\mathbf {u} \angle }$은(는) 실제 숫자다.이 표기법은 형태의 이선형 문자를 강조한다.그것은 선형 함수인 만큼 σ에서 선형이고, 벡터 공간의 요소인 만큼 u에서 선형이다.

공동 및 반대 텐서 구성 요소

좌표 없음

형식(r, s)의 텐서는 r 이중 벡터와 s 벡터의 실제 값 다중선 함수로 정의할 수 있다.벡터와 이중 벡터는 좌표계에 의존하지 않고 정의될 수 있으므로, 이러한 방식으로 정의된 텐서는 좌표계의 선택과 무관하다.

텐서 기호는 다음과 같다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&T\왼쪽(\sigma,\ldots,\rho,\mathbf {u},\ldots,\mathbf {v}\right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}}{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v}}\ended}}}}}}$

이중 벡터(차동 형식) ρ, σ 및 접선 벡터 ${\displaystyle u\mathbf{},}$ v ${\$ 두 번째 표기법에서는 벡터와 미분 형식의 구분이 더 뚜렷하다.

좌표 포함

텐서는 그 인수에 선형적으로 의존하기 때문에, ${\displaystyle {\Omega }^{}{i}^{}}$ … $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ … ${\displaystyle {}^{}}$ … j ${\$ \$dotes \mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}}}$에 근거하여 값을 알고 있는 경우 완전히 결정된다.

${\displaystyle T(\omega ^{i},\ldots,\dots,\dots,\domethbf {e} _{k}\dots \mathbf {e}_{l}={l}}}}}T^{i\ldots j}_{k\ldots l}}$

숫자 ${\displaystyle {{Ti}^{}}_{}}$… ${\displaystyle {j^{}}_{}}$… ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ … ${\displaystyle l_{}}$ ${\${T$^{i\ldots j}_{k\ldots l}}$을(를) 선택한 기준으로 텐서 성분이라고 한다$$.

다른 기준(원래 기본의 선형 조합)을 선택하면 텐서(tensor)의 선형 특성을 사용할 수 있으며, 상위 지수의 텐서(tensor) 성분이 이중 벡터(so contravariant)로 변환되는 반면, 하위 지수는 접선 벡터의 기초로 변환되어 공변량이라는 것을 알 수 있다.2위 텐서(tensor)의 경우, 우리는 그것을 확인할 수 있다.

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial x^{x'}^{i}}}{\partial x^{m}{\partial x^{x'}^{j}}}}}}}}}}}}}A_{lm}}$ 공변성 텐서

${\displaystyle {A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{l}}{\frac {\partial'^{x'^{j}{\partial x^{m}}}}}}}}}A^{lm}}$ 상쇄 텐서

2등급의 동종 및 역조율 텐서 혼합용

${\displaystyle {A'\,}^{}^{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}{\partial x^{m}}{\partial x^{x'}^{j}}}}}}}}}}}}}}}A^{l}{}_{m}}}}$ 혼합 동판 텐서

참고 항목

• 벡터의 공분산 및 왜곡
• 일반 공분산
• 로렌츠 공분산