펜로즈 그래픽 표기법

5개의 입자로 이루어진 행렬 제품 상태의 펜로즈 그래픽 표기법(텐서 다이어그램 표기법)

수학과 물리학에서 펜로즈 그래픽 표기법 또는 텐서 다이어그램 표기법은 1971년 로저 펜로즈가 제안한 다중선 함수나 텐서를 시각적으로 표현한 것이다.^[1] 표기의 도표는 선으로 연결된 여러 모양으로 이루어져 있다. 이 표기법은 프레드랙 씨비타노비치(Padrag Cvitanovich)가 널리 연구해 왔으며, 그는 이를 사용했으며, 파인만의 도표와 기타 조류 추적(Feynman 도표의 집단 이론 버전)을 개발하여 고전적인 리 집단을 분류했다.^[2] 펜로즈의 표기법도 물리학에서 네트워크를 회전시키기 위한 표현 이론을 사용하여 일반화되었고, 선형 대수학에서 도표를 추적하기 위한 행렬집단이 존재하였다. 이 표기법은 현대의 양자 이론, 특히 매트릭스 제품 상태와 양자 회로에 널리 나타난다.

해석

다중선 대수

다행 대수 언어에서, 각각의 모양은 다행 함수를 나타낸다. 도형에 부착된 선은 함수의 입력이나 출력을 나타내며, 어떤 식으로든 도형을 함께 붙이는 것은 본질적으로 함수의 구성이다.

텐서

텐서 대수 언어에서 특정 텐서는 많은 선이 위아래로 돌출되는 특정 모양과 연관되어 있으며, 각각 텐서의 추상적인 상위 및 하위 지수에 해당한다. 두 형상 사이에 선을 연결하면 지수의 수축에 해당한다. 이 표기법의 한 가지 장점은 새로운 지표를 위해 새로운 문자를 발명할 필요가 없다는 것이다. 이 표기법은 또한 명백히 근거에 의존하지 않는다.^[3]

행렬

각각의 모양은 행렬을 나타내며, 텐서 곱셈은 가로로 하고, 행렬 곱셈은 세로 방향으로 한다.

특수 텐서의 표현

미터법 텐서

미터법 텐서는 사용되는 텐서의 종류에 따라 U자형 루프나 거꾸로 된 U자형 루프로 표현된다.

미터법 텐서

g^{ab}

g^{ab}

b

{\

g

^{ab}}

미터법 텐서

g_{ab}

g_{ab}

b

{\

레비시비타 텐서

Levi-Civita 대칭 텐서는 사용되는 텐서의 종류에 따라 아래나 위를 가리키는 막대가 있는 두꺼운 수평 막대로 표현된다.

\varepsilon _{ab\ldotsn

\varepsilon ^{ab\ldotsn

\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}

=n!

구조물 상수

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

= -

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

β

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

{\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }

{\

displaystyle {\

displaystyle {\\

\alpha

\ \

\}^{\\ }}=-{\

\ \ _ \}}

}}{\

\

\beta

}^{\

beta

}^{\}}

}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

리 대수학의 구조 상수( ( ${\gamma _{ab}}^{c}$ ${\gamma _{ab}}^{c}$ ${\gamma _{ab}}^{c}$ ${\$ 는 한 줄이 위를 향하고 두 줄이 아래를 가리키는 작은 삼각형으로 표현된다.

텐서 연산

지수 수축

지수의 수축은 지수 라인을 함께 결합함으로써 나타난다.

크로네커 삼각주

\delta _{b}^{a}}

도트 제품

\cHB\,\xi ^{a}

g_{ab}\,g^{bc}=\c^{c}=g^{ba}

대칭화

지수의 대칭은 지그재그 또는 물결 모양의 막대가 지그재그 또는 지수를 가로로 가로로 교차하는 것으로 표현된다.

대칭화

Q^{(ab\ldots n)}

(

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

b

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

= Q

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

[

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

+

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

(

{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}

)

{\

반대칭

지수의 비대칭은 지수선을 가로로 교차하는 두꺼운 직선으로 표현된다.

반대칭

E_{[ab\ldots n]}}

(

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

b

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

=

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

[

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

+

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

(

{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}

)

{\

결정인자

결정인자는 지수에 대칭성을 적용하여 형성된다.

결정인자

\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\b}^{a}\오른쪽)

행렬

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

-

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

=

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

(

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

)

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

-

\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}

{\

공변량 파생상품

공변량 파생상품 $\nabla$ $\nabla$ )은 구별할 텐서 주위의 원과 아래를 가리키는 원으로부터 결합된 선으로 표현되어 파생상품의 낮은 지수를 나타낸다.

covariant derivative

12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)

=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)

=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)

텐서 조작

도표 표기법은 텐서 대수학을 조작하는 데 유용하다. 그것은 보통 텐서 조작의 몇 가지 간단한 "정체성"을 포함한다.

예를 들어, $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ . $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ . c $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ a . $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ . $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ = $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ ! $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$ {\ $displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n$ 여기서 n은 치수의 숫자인 공통적인 "정체성"이다.

리만 곡률 텐서

리만 곡률 텐서 측면에서 주어진 리치와 비안치 정체성은 표기법의 힘을 보여준다.

리만 곡률 텐서 표기법

리치 텐서

R_{ab}=R_{acb}^{\ \ c}

Ricci identity

(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}

=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}

비안치 정체성

\nabla _{a}R_{bc]d}^{\\ \ e}=0

확장

이 표기법은 스피너와 트위스트를 지지하면서 확장되었다.^[4]^[5]

참고 항목

메모들

^ 로저 펜로즈(Roger Penrose, "부차원의 텐서 적용")는 조합 수학 및 응용 프로그램 학술 출판(1971)에 수록되어 있다. 블라디미르 투라예프, 매듭과 3마니폴드의 양자 불변성(1994), 드 그루이터, 71페이지를 간략히 설명하시오.
^ Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press.
^ 로저 펜로즈, 현실로 가는 길: 우주의 법칙에 대한 완전한 가이드, 2005, ISBN 0-09-944068-7, n차원의 다지관.
^ Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. pp. 424–434. ISBN 0-521-24527-3.
^ Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-25267-9.

[1] 로저 펜로즈(Roger Penrose, "부차원의 텐서 적용")는 조합 수학 및 응용 프로그램 학술 출판(1971)에 수록되어 있다. 블라디미르 투라예프, 매듭과 3마니폴드의 양자 불변성(1994), 드 그루이터, 71페이지를 간략히 설명하시오.

[2] Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press.

[3] 로저 펜로즈, 현실로 가는 길: 우주의 법칙에 대한 완전한 가이드, 2005, ISBN 0-09-944068-7, n차원의 다지관.

[4] Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. pp. 424–434. ISBN 0-521-24527-3.

[5] Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-25267-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

show v t 로저 펜로즈
책들	황제의 새로운 마음 (1989년) 마음의 그림자(1994) 현실로 가는 길(2004) 시간 주기(2010년) 우주의 새로운 물리학의 패션, 믿음, 판타지 (2016)
공동독서	공간과 시간의 특성 (Stephen Hawking과 함께)(1996) The Large, the Small and Human Mind (Abner Shimony, Nancy Cartwright, Stephen Hawking과 함께) (1997년) White Mars 또는 The Mind Set Free (Brian W와 함께) 알디스)(1999년)
학술작품	상대성에서의 미분위상 기법(1972) 스피너와 공간-시간: 제1권, 2-스파이너 미적분 및 상대론적 필드 (볼프강 린들러 포함) (1987년) Space-Time: Volume 2, Space-Time 기하학의 Spinor 및 Twistor 방법 (Wolfgang Rindler 포함) (1988)
개념	트위스터 이론 스핀 네트워크 추상지수 표기법 블랙홀 폭탄 스페이스타임의 기하학 우주 검열 웨일 곡률 가설 펜로스 불평등 양자역학의 펜로즈 해석 무어-펜로즈 역 뉴먼-펜로스 형식주의 펜로즈 도표 펜로스-호킹 특이점 이론들 펜로즈 부등식 펜로즈 공정 펜로즈 타일링 펜로즈 계단 펜로즈 그래픽 표기법 펜로즈 변환 펜로스-테렐 효과 조정된 목표 감소 /펜로스-루카스의 주장 펠릭스 실험 갇힌 표면 안드로메다 역설 등차 순환 우주론
관련	리오넬 펜로즈(아버지) 올리버 펜로즈 (오빠) 조나단 펜로스 (형) 셜리 호지슨(누나) 존 베레스포드 레테스(할아버지) 조명 문제 양자마인드

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해석

다중선 대수

텐서

행렬

특수 텐서의 표현

미터법 텐서

레비시비타 텐서

구조물 상수

텐서 연산

지수 수축

대칭화

반대칭

결정인자

공변량 파생상품

텐서 조작

리만 곡률 텐서

확장

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