델타-융합

수학에서 델타-융합(Delta-conversence, Δ-conversence)은 미터법 공간의 수렴 모드로서 일반적인 미터법 수렴보다 약하며 바나흐 공간의 약한 수렴과 유사하지만 구별된다.힐버트 공간에서는 델타-융합과 약한 융합이 일치한다.약한 수렴과 유사하게 일반적인 공간 클래스의 경우, 모든 경계 시퀀스에 델타-융합 연속성이 있다.델타 컨버전스는 테크청 림(Teck-Cung Lim)^[1]이 처음 도입했고, 곧이어 거의 컨버전스라는 이름으로 타데우스 쿠츠모우(Tadeusz Kuczumow)가 도입했다.^[2]

정의

A sequence ${\displaystyle (x_{k})}$ in a metric space ${\displaystyle (X,d)}$ is said to be Δ-convergent to ${\displaystyle x\in X}$ if for every ${\displaystyle y\in X}$, ${\displaystyle \limsup(d(x_{k},x)-d(x_{k},y))\leq 0}$.

바나흐 공간의 특성화

If ${\displaystyle X}$ is a uniformly convex and uniformly smooth Banach space, with the duality mapping ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ given by ${\displaystyle \ x\ =\ x^{*}\ }$, ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle =\ x\ ^{2}}$, then a sequence ${\displaystyle (x_{}}$${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (x_{k}}\subset X$$}$은$({\displaystyle }$ x ${\displaystyle k{}_{}}$-${\displaystyle {}^{}}$x ) ${\displaystyle {\ast }^{}}${\$displaystyle (x_{k}-x)^{*}}$이(가) 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaysty X^{*}$에서 0으로 약하게 수렴되는$$ 경우에만$델타{\displaystyle }$ 컨버전이다.$$특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 힐버트 공간일 경우 델타-융합과 약한 수렴이 일치한다.

오피셜 속성

약한 수렴과 델타-융합은 균일하게 볼록한 바나흐 공간의 경우 잘 알려진 오피알 속성과^[3] 동등하다.

델타-컴팩트 정리

T. C. Lim의^[1] 델타-콤팩트 정리에서는${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$) ${\디스플레이$ 스타일 $(X,d)}$이(가) 점증적으로 완전한 메트릭 공간이라면 $X{\displaystyle }$ ${\디스플레이 스타일$X}의 모든 경계 시퀀스는 델타-컨버전스열을 갖는다고$$ 명시하고 있다.

델타 컴팩트 정리는 약한 수렴을 위한 바나흐-알라오글루 정리와 유사하지만, 바나흐-알라오글루 정리와는 달리(비분리된 경우에서) 그 증거는 선택의 악시에 의존하지 않는다.

점근성 중심 및 점근성 완전성

An asymptotic center of a sequence ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$, if it exists, is a limit of the Chebyshev centers ${\displaystyle c_{n}}$ for truncated sequences ${\displaystyle (x_{k})_{k\geq n}}$. A metric space is called asymptotically complete, if any bou그 안에 있는 응고된 순서는 점근의 중심을 가지고 있다.

점근성 완전성의 충분한 조건으로서 균일한 볼록성

델타-컴팩트 정리에서의 점증적 완전성의 조건은 균일하게 볼록한 바나흐 공간, 그리고 보다 일반적으로 J. 스테이플스가 정의한 균일하게 회전한 미터 공간들에 의해 충족된다.^[4]

추가 읽기

• 윌리엄 커크, 나세르 샤하드, 거리 공간의 고정점 이론.스프링거, 챔, 2014년Xii+173 pp.
• G. 데빌라노바, S. 솔리미니, C.틴타레프, 미터법 공간의 약한 수렴, 비선형 분석 및 최적화 (B. S. Morduchovich, S. Reich, A. J. Zaslavski, Editors), 43–64, 컨템포러리 수학 659, AMS, 프로비던스, RI, 2016.

참조