스칼라 곡률

리만 기하학에서 스칼라 곡률(또는 리치 스칼라)은 리만 다양체의 가장 단순한 곡률 불변량이다.리만 다양체의 각 점에 대해 해당 지점 근처의 다양체의 고유 형상에 의해 결정되는 단일 실수를 할당합니다.구체적으로 스칼라 곡률은 리만 다양체의 작은 측지공의 부피가 유클리드 공간의 표준공의 부피에서 벗어나는 양을 나타낸다.2차원에서 스칼라 곡률은 가우스 곡률의 2배이며 표면의 곡률을 완전히 특징짓습니다.그러나 2개 이상의 차원에서는 리만 다양체의 곡률은 기능적으로 독립적인 두 개 이상의 양을 포함한다.

일반상대성이론에서 스칼라 곡률은 아인슈타인의 라그랑지안 밀도이다.힐베르트 액션이 라그랑지안에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 지표의 변화 하에 진공 아인슈타인 장 방정식을 구성하며, 정상 지표는 아인슈타인 지표로 알려져 있다.n-매니폴드의 스칼라 곡률은 Ricci 텐서의 트레이스로 정의되며, 이는 한 지점에서 단면 곡률의 평균에 n(n - 1)을 곱한 것으로 정의될 수 있다.

언뜻 보기에 최소 3차원 스칼라 곡률은 다지관의 전역 기하학에 거의 영향을 미치지 않는 약한 불변량처럼 보이지만, 사실 일부 심층 정리는 스칼라 곡률의 힘을 보여준다.그러한 결과 중 하나가 쇤, 야우, 비텐의 양의 질량 정리이다.관련 결과는 어떤 다양체가 양의 스칼라 곡률을 갖는 리만 메트릭을 가지고 있는지에 대한 거의 완전한 이해를 제공한다.

정의.

스칼라 곡률 S(일반적으로 R, 또는 Sc)는 메트릭에 대한 Ricci 곡률 텐서의 트레이스로 정의됩니다.

S=\operatorname {tr}_{g}\operatorname {Ric} .

Ricci 텐서는 (0,2)-밸런스 텐서이기 때문에 트레이스는 메트릭에 따라 달라진다. 트레이스를 취하기 위해서는 먼저 (1,1)-밸런스 텐서를 얻기 위해 지수를 올려야 한다.지역 좌표에 관해서는 그리스 문자 인덱스가 값 0, 1, 2, 또는 3에 대해 취할 수 있는 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

S=g^{\mu \nu }R_{\mu }^{\mu }

여기서_ij R은 좌표 기준에서 Ricci 텐서의 구성요소이다.

\operatorname {Ric} =R_{\mu \nu },parames^{\mu }\otimes dx^{\nu }.

좌표계와 메트릭 텐서가 주어지면 스칼라 곡률은 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle S=g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\gamma ^{\gamma })_{\gamma }-{\gamma ^{\gammu \nu })+{\gamma ^{\gammu }{\Gamma } } ^{\gammu } } ^{\Gammu } } {\Gamma } } }

여기서 ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ {\ ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ （ { $style$ \ $Gamma$ ^ { \ $mu$ } } $_$ { \ $nu$ ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ \ $lambda$ } } ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ μ of 、 ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ 、 $（$ \ $display$ style \ $Gamma$ ^ { \ $mu }$ ） where ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ where 、 ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ where where 、 where { ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ where 、 { { 、、 { { 、 { { 、、、 { where where where where where where where where where where where where where where where

리만 곡률 텐서 또는 리치 텐서와 달리, 둘 다 모든 아핀 연결에 대해 정의할 수 있습니다. 스칼라 곡률에는 어떤 종류의 메트릭이 필요합니다.메트릭은 리만 대신 의사 리만일 수 있습니다.사실, 그러한 일반화는 상대성 이론에서 필수적이다.보다 일반적으로, 리치 텐서는 핀슬러 기하학을 포함하는 미터법 기하학의 더 넓은 클래스(아래의 직접 기하학적 해석을 통해)에서 정의될 수 있다.

직접 기하학적 해석

스칼라 곡률이 양수일 때, 그 점 주위의 작은 공의 부피는 유클리드 공간의 같은 반지름의 공보다 작다.반면, 스칼라 곡률이 음수일 때, 작은 공의 부피는 유클리드 공간보다 커진다.

이것은 리만 n-매니폴드 $, g)$ 의 점 p에서 스칼라 곡률 S의 정확한 값을 특징짓기 위해 보다 정량적으로 만들 수 있다. 즉, 다지관에 있는 반지름 θ 볼의 n차원 부피와 유클리드 공간에 있는 대응하는 볼의 n차원 부피의 비는 작은 값으로 주어진다.

{\frac {Vol}(B_{\varepsilon }(p)\paret M)} {\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\paret {mathbbb {R} } {n} {right} = 1 - {6}

따라서 반지름 θ = 0에서 평가된 이 비율의 두 번째 도함수는 정확히 스칼라 곡률을 3(n + 2)로 나눈 값이다.

이러한 볼의 경계는 반지름 $\varepsilon$ (\ $displaystyle \varepsilon$ 의 (n - 1)차원 구이며, 초면 측정치("면적")는 다음 방정식을 만족합니다.

{frac {Area}(\varepsilon }(p)\caper M)}{\operatorname {Area}(\caper B_{\varepsilon }(0)\caper B_{R}{n}}}=1-{\frac {\capersalon}{SARE}{\caper M}{n}}}{\caper M}{\caper M}{\capera}}}{\capera}}

특수한 경우

표면

2차원에서는 스칼라 곡률이 가우스 곡률의 정확히 두 배입니다.유클리드 공간³ R에 포함된 표면에 대해, 이것은 다음을 의미한다.

S=syslogfrac {2}{\rho _{1}\rho _{2}},},

$\rho _{1},\,\rho _{2}$ 서 § 1, $\rho _{1},\,\rho _{2}$ § $\rho _{1},\,\rho _{2}$ $({displaystyle$ \ $rho _{$ 1},\ $rho$ _{ $2}})$ 는 $\rho_1,\,\rho_2$ 표면의 주요 반지름입니다.예를 들어 반지름 r의 2구체의 스칼라 곡률은 2/r과² 같습니다.

2차원 리만 곡률 텐서는 단 하나의 독립 성분을 가지며, 스칼라 곡률 및 미터법 영역 형태로 표현될 수 있다.즉, 어떤 좌표계에서든, 사람은

2R_{1212},=S\det(g_{ij})=S\left [g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right]

공간 형태

공간 형태는 정의상 일정한 단면 곡률을 가진 리만 다양체이다.공간 형식은 다음 유형 중 하나에 대해 로컬 등각도입니다.

Euclidean space

n차원 유클리드 공간의 리만 텐서는 동일하게 사라지기 때문에 스칼라 곡률도 사라집니다.

n-spheres

반지름 r의 n-구의 단면 곡률은 K = 1/r이다².따라서 스칼라 곡률은 S = n(n - 1)/r이다².

Hyperbolic space

쌍곡선 모델에 의해 n차원 쌍곡선 공간은 (n+1)차원 민코프스키 공간의 서브셋과 동일시할 수 있다.

\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\display x_{0}>0.}

매개 변수 r은 쌍곡선 공간의 기하학적 불변량이며, 단면 곡률은 K = -1²/r입니다.따라서 스칼라 곡률은 S = -n(n - 1)/r이다².

상품들

리만 다양체의 곱 M × N의 스칼라 곡률은 M과 N의 스칼라 곡률의 합이다.예를 들어, 매끄러운 닫힌 매니폴드 M의 경우, M × S는² 단순히 M에 비해 2-구체가 작기 때문에(곡률이 커짐) 양의 스칼라 곡률 메트릭을 가진다.이 예는 스칼라 곡률이 다지관의 전역 지오메트리와 거의 관련이 없음을 시사할 수 있습니다.실제로, 이하에 설명한 바와 같이, 글로벌한 의미가 있습니다.

전통적인 표기법

텐서에 인덱스 표기법을 사용하는 사용자 중에는 일반적으로 R이라는 문자를 사용하여 다음 3가지를 나타냅니다.

리만 곡률 텐서: $R_{ijk}^{l}$ j $R_{ijk}^{l}$ { $displaystyle$ R _ { $ijk$ }^{ $l$ } $R_{abcd}$ $R_{abcd}$ $R_{abcd}$ b $R_{abcd}$ $R_{abcd}$ { $displaystyle$ R _ { $abcd$ }
Ricci $R_{ij}$ : $($ 스타일 R_ ${ij})$
스칼라 곡률: $R$ {\ $displaystyle$ R $}$

이 세 가지는 지수 수에 따라 서로 구별된다: 리만 텐서는 4개의 지수를 가지며, 리치 텐서는 2개의 지수를 가지며, 리치 스칼라는 0개의 지수를 가진다.지수 표기법을 사용하지 않는 사람들은 보통 완전한 리만 곡률 텐서를 위해 R을 예약한다.또는 좌표가 없는 표기법에서는 리만 텐서에 Riem, 리치 텐서에 Ric, 곡률 스칼라에 R을 사용할 수 있다.

야마베 문제

야마베 문제는 트루딩거, 오빈, 쇤에 의해 해결되었다.즉, 닫힌 다양체의 모든 리만 메트릭은 일정한 스칼라 곡률을 갖는 메트릭을 얻기 위해 몇 가지 부드러운 양의 함수로 곱할 수 있다.즉, 닫힌 다지관의 모든 메트릭은 일정한 스칼라 곡률을 가진 메트릭과 일치합니다.

양의 스칼라 곡률

닫힌 리만 2-매니폴드 M의 경우, 스칼라 곡률은 가우스-보넷 정리로 표현되는 M의 위상과 명확한 관계가 있다: M의 총 스칼라 곡률은 M의 오일러 특성의 4µ배와 같다.예를 들어, 양의 스칼라 곡률 메트릭을 가진 유일한 닫힌 표면은 양의 오일러 특성을 가진 표면이다: 구체² S와² RP.또한 이 두 표면에는 스칼라 곡률 ≤ 0인 메트릭이 없습니다.

스칼라 곡률의 부호는 고차원의 토폴로지와의 관계가 약합니다.최소 3차원의 매끄러운 닫힌 다양체 M이 주어졌을 때, 카즈단과 워너는 규정된 스칼라 곡률 문제를 풀었고, M에 대한 매끄러운 함수가 M에 대한 일부 리만 메트릭의 스칼라 곡률로 발생하는 것을 설명했다. 즉, M은 정확히 다음 세 가지 유형 ^[1]중 하나여야 한다.

M 위의 모든 함수는 M 위의 일부 메트릭의 스칼라 곡률입니다.
M 위의 함수는 M 위의 일부 메트릭의 스칼라 곡률입니다(동일한 제로 또는 음의 경우).
M 위의 함수는 M 위의 일부 메트릭이 음수인 경우에만 스칼라 곡률입니다.

따라서 최소 3차원의 모든 다지관은 음의 스칼라 곡률, 즉 일정한 음의 스칼라 곡률의 메트릭을 가진다.Kazdan-Warner의 결과는 속성 (1)에 해당하는 양의 스칼라 곡률을 가진 측정 기준을 갖는 다양체의 질문에 주의를 집중한다.경계선 사례(2)는 강력한 스칼라 평탄 메트릭을 가진 다지관 클래스로 설명할 수 있다. 즉, 스칼라 곡률이 0인 메트릭을 의미하며, M에는 양의 스칼라 곡률이 있는 메트릭이 없다.

어떤 매끄러운 닫힌 다지관이 양의 스칼라 곡률을 갖는 지표를 가지고 있는지에 대해 많이 알려져 있다.특히 그로모프와 로슨에 따르면 스핀이 아닌 최소 5차원의 단순하게 연결된 모든 다양체는 양의 스칼라 ^[2]곡률을 가진 메트릭을 가진다.이와는 대조적으로, 리크네로비츠는 양의 스칼라 곡률을 가진 스핀 다양체는 0과 같은 O속성을 가져야 한다는 것을 보여주었다.히친은 더 정제된 버전의 α-불변성이 양의 스칼라 ^[3]곡률을 가진 스핀 다양체에 대해서도 사라진다는 것을 보여주었다.n-매니폴드의 α-불변수는 다음과 같은 그룹_n KO의 값을 취하기 때문에 이는 일부 차원에서만 중요하지 않다.

n(mod 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
KO_n	Z	Z/2	Z/2	0	Z	0	0	0

반대로, Stolz는 α-불변량 0을 가진 최소 5차원의 단순 연결된 스핀 매니폴드가 양의 스칼라 ^[4]곡률을 가진 메트릭을 가지고 있음을 보여주었다.

디랙 연산자를 사용하는 리크네로비츠의 주장은 C*-대수의 K 이론을 통해 양의 스칼라 곡률을 가진 단순하지 않은 연결 다양체에 많은 제약을 주도록 확장되었다.예를 들어 그로모프와 로손은 토러스처럼 단면 곡률 θ 0인 메트릭을 허용하는 닫힌 다지관에는 양의 스칼라 ^[5]곡률을 갖는 메트릭이 없다는 것을 보여주었다.보다 일반적으로 그룹 G에 대한 Baum-Connes 추측의 주입성 부분은 기본 그룹 G를 가진 닫힌 비구면 다양체에 양의 스칼라 ^[6]곡률을 가진 측정기준이 없다는 것을 의미한다.

3차원과 4차원에서 특별한 결과를 얻을 수 있습니다.After work of Schoen, Yau, Gromov, and Lawson, Perelman's proof of the geometrization theorem led to a complete answer in dimension 3: a closed orientable 3-manifold has a metric with positive scalar curvature if and only if it is a connected sum of spherical 3-manifolds and copies of S2 × S1.[7] In dimension 4, positive scalar curvature has strong어 나는세이버그-비튼 불변량을 사용하여 (단순히 연결된 다지관의 경우에도) 고차원보다 mplications.예를 들어, X가 유리하거나 규칙적이지 않은 복소 치수 2의 콤팩트 켈러 다양체라면, X는 (평활한 4-매니폴드로서) 양의 스칼라 ^[8]곡률을 갖는 리만 메트릭을 가지지 않는다.

마지막으로 후타키 아키토는 (위에서 정의한 바와 같이) 강력한 스칼라 플랫 메트릭이 매우 특별하다는 것을 보여주었다.강하게 스칼라 평탄한 최소 5차원의 단순 연결된 리만 다양체 M의 경우, M은 홀로노미 군 SU(n)를 가진 리만 다양체의 산물이어야 한다(캘러비-Yau 매니폴드), Sp(n)(하이퍼켈러 매니폴드) 또는 Spin(7).^[9]특히 이러한 메트릭은 스칼라 플랫뿐만 아니라 리치 플랫입니다.반대로 스핀이고 0이 아닌 α 불변성을 갖는 K3 표면과 같이 이러한 홀로노미 그룹을 가진 다양체의 예는 매우 스칼라 평탄하다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 베세(1987), 정리 4.35.
^ 로손 & 미셸슨(1989), 정리 IV.4.4.
^ 로손 & 미셸슨(1989), 정리 II.8.12.
^ Stolz(2002년),정리 2.4
^ 로슨 & 미셸슨(1989), Collollary IV.5.6.
^ Stolz(2002년),정리 3.10
^ Marques(2012), 소개.
^ LeBrun(1999), 정리 1.
^ Petersen (2016), C.4.4.

레퍼런스

Besse, Arthur L. (1987), Einstein Manifolds, Springer, ISBN 3-540-15279-2, MR 0867684
Jost, Jürgen (2011) [1995], Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5, MR 1031992
LeBrun, Claude (1999), "Kodaira dimension and the Yamabe problem", Communications in Analysis and Geometry, 7: 133–156, arXiv:dg-ga/9702012, doi:10.4310/CAG.1999.v7.n1.a5, MR 1674105, S2CID 7223836
Marques, Fernando Codá (2012), "Deforming three-manifolds with positive scalar curvature", Annals of Mathematics, 176 (2): 815–863, arXiv:0907.2444, doi:10.4007/annals.2012.176.2.3, MR 2950765, S2CID 16528231
Petersen, Peter (2016) [1998], Riemannian Geometry, Springer, ISBN 978-3-319-26652-7, MR 3469435
Ricci, G. (1903–1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Veneto, 63 (2): 1233–1239, JFM 35.0145.01
Stolz, Stephen (2002), "Manifolds of positive scalar curvature" (PDF), Topology of High-Dimensional Manifolds, Trieste: ICTP, pp. 661–709, MR 1937026

[1] 베세(1987), 정리 4.35.

[2] 로손 & 미셸슨(1989), 정리 IV.4.4.

[3] 로손 & 미셸슨(1989), 정리 II.8.12.

[4] Stolz(2002년),정리 2.4

[5] 로슨 & 미셸슨(1989), Collollary IV.5.6.

[6] Stolz(2002년),정리 3.10

[7] Marques(2012), 소개.

[8] LeBrun(1999), 정리 1.

[9] Petersen (2016), C.4.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

v t 리만 기하학 (용어)
기본 개념	곡률 텐서 스칼라 리치 섹션 지수 지도 측지학 내부 제품 미터법 텐서 Levi-Civita 접속 공변 미분 서명 지수 상승 및 하강/음악 동형 병렬 전송 리만 다양체 유사 리만 다양체 리만 부피 형식
리만 기하학을 이용한 다양체 구조	에르미트인 쌍곡선 케흘러 켄모츠
주요 토픽	리만 기하학의 기본 정리 가우스 보조군 호프-리노우 정리 내쉬 삽입 정리 리치 플로우 슈르 보조군
일반화	핀슬러 힐베르트 다양체 서브리만어
적용들	일반상대성이론 기하학적 추측 푸앵카레 추측 균등화 정리

v t 미분 기하학에서 정의된 곡률의 다양한 개념
미분 지오메트리 곡선의	곡률 곡선의 비틀림 프레네-세레 공식 곡률 반지름(어플리케이션) 아핀 곡률 총 곡률 총 절대 곡률
미분 지오메트리 표면의	주요 곡선 가우스 곡률 평균 곡률 다르부스 프레임 가우스-코다치 방정식 제1기초형식 제2기초형식 제3의 기본형
리만 기하학	리만 다양체의 곡률 리만 곡률 텐서 리치 곡률 스칼라 곡률 단면 곡률
접속 곡률	곡률 형태 비틀림 텐서 코커버처 홀로노미

Search

스칼라 곡률

네임스페이스

더

목차

정의.

직접 기하학적 해석

특수한 경우

표면

공간 형태

상품들

전통적인 표기법

야마베 문제

양의 스칼라 곡률

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

Search

스칼라 곡률

정의.

직접 기하학적 해석

특수한 경우

표면

공간 형태

상품들

전통적인 표기법

야마베 문제

양의 스칼라 곡률

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.