엡실론 수

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수학에서, 엡실론 수(엡실론 수)는 지수 지도의 고정점이라는 특성을 갖는 초한수의 집합이다.결과적으로, 그것들은 선택된 지수 맵과 덧셈과 곱셈과 같은 "위커" 연산의 유한한 일련의 애플리케이션을 통해 0에서 도달할 수 없다.원래의 엡실론 수는 게오르크 칸토어에 의해 서수 산술의 맥락에서 도입되었다; 그것들은 방정식을 만족시키는 서수 µ이다.

${\displaystyle \varepsilon =\mega ^{\varepsilon },}$

여기서 θ는 가장 작은 무한 서수이다.

이러한 최소 서수는 엡실론₀ 0 또는 엡실론 0으로 발음되는 엡실론이며, 이는 보다 작은 한계 서수의 연속에서 무한 재귀로 얻은 "한계"로 볼 수 있다.

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\Omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}=\sup\{\sup\mega ^{\Omega }},\obega ^{\opha ^{\opha }}},\opha },$

여기서 sup은 서수의 폰 노이만 표현의 경우 집합 합집합과 동일한 최고 함수이다.

$지수$ 맵의 큰 서수 $고정점$은 서수 첨자에 의해 색인화되며, 그 결과 "${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}{}_{}}$ $2$, ${\displaystyle ",}$ "${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {1{}_{}}_{}}$, ${\displaystyle ",}$ ", ", ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle ",}$ ${\displaystyle ",}$ ", ", ", ${\displaystyle ",}$ ", ", ${\displaystyle ",}$ ${\displaystyle ",}$ $",$ ", ", ", ", ", ", ", ", ", $",$ ", ", ", ", ", ", ", ", $",$ ", ", ", $",$ ", ", ", ", ", ", ", ", ", ", ", ", ", ", $",$ ", ", ", ", ", ", ",엡실론_{0}: {volon_volon_son_volon_volon_volon_volon_volon_sonnson_sl)- 아니, 아니에요! - 왜요?

가장 작은 엡실론 수 µ는₀ 많은 목적으로, 초한 유도는 (겐젠의 일관성 증명과 굿스타인의 정리의 증명과 같이) µ까지만₀ 요구되기 때문에 많은 유도 증명에서 나타난다.괴델의 두 번째 불완전성 정리와 함께 페아노 산술의 일관성을 증명하기 위해 겐젠에 의해 사용된 것은 페아노 산술이 이 순서의 충분한 근거를 증명할 수 없음을 보여준다(실제로 이것은 이 성질을 가진 최소 서수이며, 따라서 증명 이론의 서수 해석에 있어서 O 이론의 강도의 척도로 사용된다).f Peano 산술).

Veblen 함수를 사용하여 더 큰 엡실론 수를 정의할 수 있습니다.

더 일반적인 등급의 엡실론 수는 존 호튼 콘웨이와 도널드 크누스에 의해 초현실적 수 체계에서 확인되었으며, 이는 기저의^x 고정점인 모든 주변으로 구성되어 있다.

에베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르베르버그() 또는 =)에 따라 숫자(예: 숫자)를 참조).t; = 이 ε항상 1<α<1>를 누릅니다.그의 감마수는 ,형이고^β 델타수는^ωβ ω형이다.

서수 numbers 숫자

염기α를 갖는 순서형 지수의 표준 정의는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1,}$
• ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{\beta }}^{}}$ - ${\displaystyle 1}$$α ,$ \ $displaystyle$\$alpha ^{\ displaystyle$$$} = \ alpha ^{\ $cdot$\ $alpha }$（$$） 。 ($\beta$ \ $displaystyle$ \$cdisplaystyle$ - $1$$）$ ${\displaystyle 。}$
• $$ sup {$α$ <0 <$β$> $β >$ $= \sup$ \$lbrace$ \alpha ^{\$mid 0 <\$$displaystyle$ \$rbrace$$}$ β가$$ 한계 서수인 $경우{\displaystyle }$.

이 정의로부터, 임의의 고정 서수 α > 1에 대해서, $매핑{\displaystyle }$ β${\displaystyle {\beta }^{}}$β {\$displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta$}}는$$ 정규 함수이므로, 정규 함수에서 고정점 보조항으로 임의로 큰 고정점을 가진다.α ${\displaystyle =}$ ${\$ { $displaystyle \alpha$= \ $메가$일 $때{\displaystyle }$, 이 고정점들은 정확히 순서형 엡실론 수이다.

• $\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \lbrace 1,\obega ,\obega ^{\obe ^{\obe }},\obe ^{\obe ^{\obe }},\ldots \rbrace \,},}$
• $=$$β$$(\displaystyle\$displaystyle$$$\$displaystyle)에 직전 $버전인\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle -}$(\$displaystyle\display-1)$이 $있는$ $경우{\displaystyle }$$,$ \$ldots$ \$rbrace \,.$
• $β$$=$ {${$ { δ β $δ$ β β β$}$ $=\sup$\lbrace \$varepsilon _{\display$ $style$ \rrace }\$mid \$mid \display style \$rrace$$$}가 한계 순서인 경우$.$

왜냐면

$\displaystyle \mega ^{\varepsilon _{0}+1}=\varepsilon _{0}\cdot \mega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \mega,}$

${\displaystyle \mega ^{\varepsilon _{0}+1}=\obe ^{\varepsilon _{0}\cdot \obe}}={\obe } =\varepsilon _{0}^{\obe },}$

${\displaystyle \obepsilon ^{\varepsilon _{0}+1} =\obe ^{\varepsilon _{0}^{\obe } =\obe ^{\varepsilon _{0}^{\cd } =\obe ^{{\varepsilon _0} {\varepsilon _0} } } }$

0부터 시작하여 대신 기저₀ θ로 지수화함으로써 동일한 상위 수열인 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$1$(\displaystyle$ \$varepsilon _$1})을 구한다.

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{1,\varepsilon _{0}{\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}{\varepsilon _{0}},\ldots \}$

일반적으로 엡실론 ${\displaystyle \mathrm{번호}}$${\displaystyle {\beta }_{}}$(\$displaystyle\varepsilon_{\beta})$는 $직전$의${\displaystyle }$β $-$ 1(\$displaystyle\beta-1)$을 갖는 임의의 서수에 의해 색인화 된다.

$\displaystyle \varepsilon _{\sup}={1,\varepsilon _{\supervalon -1}^{\varepsilon _{\supervalon -1},\varepsilon _{\supervalon -1},\varepsilon _{\supervalon -1},\supervalon _{\silon-1}:{\silon-1}$

특히 지수β가 한계서수인지 아닌지에 관계없이 ${\displaystyle {\beta }_{}}$ {\$displaystyle$ $\$$varepsilon$ _${\beta$는 모든 1에 기저 β의 지수뿐만 아니라 기저 의 지수인 고정점이다$.$

엡실론은 서수의 무한 서브클래스이기 때문에 서수 자체를 사용하여 열거됩니다.bet } mid bet d {\ v it & ilon δ ε ∣ δ point)는 μmula_n1}: (가).발맞다반복된 지수화를 사용하는 구성 정의의 nt; 그러나 두 정의는 지수 급수의 최상위를 취하는 것보다 높은 차수의 초무한 재귀를 나타내는 한계 서수에 의해 색인화된 단계에서 동일하게 비연속적이다.

엡실론 수에 대한 다음과 같은 사실은 증명하기 쉽습니다.

• 꽤 큰 숫자이지만 ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 0$(\$ _${0})$은 셀 수 있는 서수의 결합이므로 셀 수 있습니다.실제로 ${\displaystyle {\beta }_{}}$$(\displaystyle$$\varepsilon$ _${\beta$}})는 셀 수 있는 경우에만 셀 수 있습니다.style $\beta)$가 셀 수 있는 $경우$에만 셀 수 있습니다.
• 비어 있지 않은 엡실론 수 집합의 합집합(또는 최상)은 엡실론 수이다.

$\displaystyle \varepsilon _{\obega }=\sup\{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}$

는 엡실론 번호입니다.$따라서{\displaystyle }$ 매핑 β β$$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ \ $displaystyle$\ $beta$\$mapto$\ $varepsilon$ _ { \ $beta }$ 은 정규$$ 함수입니다.

• 셀 수 없는 기수의 첫 번째 서수는 엡실론수이다.

${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha },}$

루트 트리에 의한 by의₀ 표현

엡실론 수 has은 칸토어 정규형 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ \ $displaystyle$\ $varepsilon$= \ $omega ^{$ \ $varepsilon$를 가지며, 이는 칸토어 정규형이 엡실론 수에는 그다지 유용하지 않다는 것을 의미한다.그러나 θ보다₀ 작은 서수는 칸토어 정규형으로 유용하게 기술할 수 있으며, 이는 다음과 같이 θ를₀ 모든 유한 루트 트리의 순서 집합으로 표현한다.ld 0 ε 0 { + ={n2}}:{ ={ 1{ μmula_2 \{ μmula_2 k{ μmula_2s, 엑스테네요. -네.$베타$ _${k}$는 α> 1β ≥ β k\ $displaystyle$\$alpha$> \ $beta$_ {$}$ \ $geq$\ $cdots$ \$geq$\$beta$_ {k$$의 서수이며$,$ 각 $서수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle k_{}}$\ $displaystyle$$$\ $beta _ {$$\}$에 $의해{\displaystyle }$$$ 고유하게 결정됩니다$.$${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ k$${\$displaystyle \dots,\dots$ _${k}}$를 나타내는 트리의 루트를 새로운 루트에 결합함으로써 α를 나타내는 유한 루트 트리를 얻는다. (이는 숫자 0이 단일 루트로 표현되는 반면 $숫자{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$=$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$\$displaystyle$ 1\$ope ^0}$은 0으로 표현된다.)뿌리와 단일 잎을 포함하는 나무)유한 루트 트리 집합의 순서는 재귀적으로 정의됩니다.먼저 루트에 결합된 서브 트리를 내림차순으로 정렬한 후 이들 서브 트리의 순서에서 사전 편찬 순서를 사용합니다.이와 같이 모든 유한 루트 트리의 집합은 θ와₀ 순서 동형인 양호한 순서가 된다.

이 표현은 그래프 이론 게임으로서 서수의 감소 시퀀스를 나타내는 히드라 정리의 증명과 관련이 있다.

베블렌 계층

"eilon $mapping{\displaystyle }$" x ${\displaystyle \mapsto }$ {\ ${\$ ${\displaystyle x_{}}$ \ $displaystyle$x\$mapsto$\ $varepsilon$ _${x}$의 고정점은 정규 함수를 형성합니다. 이것은 베블렌 계층이라고 합니다(베블렌 함수는 기저값 θ₀(α) = 로 알려져^α 있습니다).Veblen 계층의 표기법에서는 엡실론 매핑은 엡실론이며₁, 그 고정점은 엡실론으로₂ 열거되어 있다.

이러한 맥락에서, 최소 고정점 θ_α+1(0)가 점차 큰 서수α(이 희박한 형태의 초무한 재귀에 의해 한계 서수를 포함한다)에 대해 지도 θ를_α 정의할 수 있다.이 절차에서 0에서 도달할 수 없는 최소 서수 α, 즉 $지도$의 첫 번째 고정점 α_α${\displaystyle {}_{}{\delta \alpha }_{}}$ ($)$ (\$displaystyle$\alpha $\mapsto$ \$varphi _${\alpha }($0$ - Feferman-Schüte 서수 δ₀)이다$.$이 이론에서는 μm의 μm(예: μm)의 μm(예: μm)를 열거할 수 있다.s.

초현실 » 숫자

초현실적인 숫자에 대한 고전적인 전시회인 On Numbers and Games에서, John Horton Conway는 서수에서 서수까지 자연스럽게 확장되는 개념의 많은 예를 제공했습니다.$이러한{\displaystyle }$ 함수 중 하나는 $"\displaystyle \obega"$ $-map$ n$$ {\ n \$displaystyle$ n$\mapsto \obega ^{n$입니다. 이 매핑은 영역에 모든 초현실적인 숫자를 포함하도록 자연스럽게 일반화되며, 다시 초현실적인 숫자에 대한 칸토어 정규 형식을 자연스럽게 일반화시킵니다.

엄밀하게 순서수인지 아닌지에 관계없이 이 확장된 지도의 고정점을 엡실론 수로 간주하는 것은 자연스러운 일이다.비직선 엡실론수의 예는 다음과 같다.

$\displaystyle \varepsilon _{-1}=\{0,1,\obega ^{\obega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\obega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \}$

그리고.

$\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\{\varepsilon _{0}+1,\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\obe ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \.}$

초현실적인 숫자 n마다 ${\displaystyle {every}_{}}$n \ $displaystyle$\ $varepsilon$_ {$n}$을(를) 정의하는 자연스러운 방법이 있으며 맵은 질서를 유지합니다.콘웨이는 계속해서 엡실론 수를 포함하는 "축소 불가능한" 초현실적 숫자의 더 넓은 클래스를 특히 흥미로운 하위 클래스로 정의합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 서수 산술
• 큰 계산 가능 서수

레퍼런스

• J.H. Conway, On Numbers and Games(1976년)아카데미 프레스 ISBN0-12-186350-6
• 섹션 XIV.20