대칭 연산자의 확장

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기능 분석에서는 힐버트 공간에 작용하는 대칭 연산자의 확장에 관심이 있다.특히 중요한 것은 자기 적응 연장의 존재, 그리고 때로는 명시적인 구성이다.예를 들어 양자역학에서 관측 가능성의 형식적 표현에 대해 자기 적응 영역을 지정해야 할 때 이 문제가 발생한다.이 문제에 대한 해결책의 다른 적용은 다양한 순간 문제에서 볼 수 있다.

이 글에서는 이러한 유형의 몇 가지 관련 문제를 논한다.통일 주제는 각 문제에는 해결책의 파라메트리제이션에 상응하는 운영자-이론적 특성이 있다는 것이다.좀 더 구체적으로 말하면, 대칭 연산자의 다양한 요건이 있는 자가 적응 확장을 찾는 것은 적절한 부분 등위계의 단일 확장을 찾는 것과 같다.

대칭 연산자

H를 힐베르트의 공간이 되게 하라.조밀도 도메인 돔(A)으로 H에 작용하는 선형 연산자 A는 다음과 같은 경우 대칭이다.

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle A}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle }$ 모든 x에 대한$$ y, Dom(A)의 y.

돔(A) = H이면 헬링거-투플리츠 정리에서는 A가 경계 연산자라고 되어 있는데, 이 경우 A는 스스로 적응하고 연장 문제는 사소하다.일반적으로 대칭 연산자는 그 부호인 Dom(A*)의 도메인이 Dom(A)에 있을 경우 자가 적응한다.

무제한 연산자를 대할 때, 해당 연산자가 폐업했다고 가정할 수 있는 것이 바람직할 때가 많다.현 상황에서는 모든 대칭 연산자 A가 닫힐 수 있다는 것이 편리한 사실이다.즉 A의 폐쇄라고 하는 폐쇄연장이 가장 작다는 것이다.이것은 대칭 가정과 리에즈 표현 정리를 호출함으로써 알 수 있다.A와 A의 폐쇄는 동일한 폐쇄 확장을 가지므로, 항상 대칭적 관심 운영자가 폐쇄된다고 가정할 수 있다.

후속편에서는 대칭 연산자가 조밀하게 정의되고 폐쇄되는 것으로 가정한다.

문제 밀도 있게 정의된 폐쇄 대칭 연산자 A의 경우, 자체 적응 확장자를 찾으십시오.

이 문제는 운영자-이론적 질문으로 번역할 수 있다.경험적 동기 부여로서, 케이리가 복잡한 평면에서 변형되는 것을 주목하라.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}}$

실제 선을 단위 원에 매핑한다.이는 대칭 연산자 A에 대한 하나의 정의를 시사한다.

${\displaystyle U_{A}=(A-i)(A+i)^{-1}\,}$

Ran(A + i)에서 A + i의 범위.연산자 U는_A 사실상 Dom(A)에서 x에 대해 (A + i)x에서 (A - i)x까지 걸리는 닫힌 서브스페이스 사이의 등위계다.지도

${\displaystyle A\mapsto U_{A}}$

대칭 연산자 A의 Cayley 변환이라고도 한다.U가_A 주어지면 A는 다음과 같이 회복할 수 있다.

${\displaystyle A=-i(U+1)(U-1)^{-1},\,}$

Dom(A) = Ran(U - 1)에 정의됨.만약

${\displaystyle {\tilde{U}}$

연산자 U의_A 등축 확장이다.

${\displaystyle{\tilde{A}}=-i({\tilde{U}+1)({\tilde{U}-1)^{-1}$

에 대해 행동하는.

${\displaystyle Ran(-{\frac {i}{2}}({\tilde{U}-1)=Ran({\tilde{U}-1)}$

A의 대칭 확장이다.

정리 폐쇄 대칭 연산자 A의 대칭 확장자는 케이리 변환 U의_A 등축 확장자와 일대일 일치한다.

더 흥미로운 것은 자기 성장의 존재다.다음은 사실이다.

정리 A 폐쇄 대칭 연산자 A는 Ran (A ± i) = H, 즉 그것의 Cayley 변환 U가_A H의 단일 연산자일 때에만 자체 적응한다.

코롤라리 폐쇄 대칭 연산자 A의 자기 적응 연장은 케이리 변환 U의_A 단일 연장자와 일대일 일치한다.

A의 결점 하위 공간 정의 기준

${\displaystyle K_{+}=Ran(A+i)^{\perp }}}$

그리고

${\displaystyle K_{-}=Ran(A-i)^{\perp }}$

이 언어에서, 코롤리 변환 U가 H에_A 대한 단일 확장, 즉 결핍 하위 영역 K와₊ K가₋ 동일한 치수를 갖는 경우에만 대칭 연산자 A가 자체 확장성을 갖는다는 설명은 다음과 같이 재작성할 수 있다.

예

Hilbert 공간² L[0,1]을 고려하십시오.경계에서 사라지는 절대 연속 함수의 하위 공간에서는 연산자 A를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle Af=i{\frac {d}{dx}f.}$

부품별 통합은 A가 대칭임을 나타낸다.그것의 부호 A*는 동일한 연산자로 경계조건이 없는 절대 연속함수인 Dom(A*)이 된다.우리는 A를 연장하는 것이 경계 조건을 수정하여 두 가지가 일치할 때까지 돔(A)을 확대하고 돔(A*)을 줄이는 것을 보게 될 것이다.

직접 계산에 따르면₊ K와₋ K는 다음과 같이 주어진 1차원 서브스페이스다.

${\displaystyle K_{+}=\operatorname {span} \{\phi _{+}=a\cdot e^{x}\}}}}}}$

그리고

${\displaystyle K_{-}=\operatorname {span} \{\phi _{-}=a\cdot e^{-x}\}}}}}}$

여기서 a는 정규화 상수다.따라서 A의 자체 적응 확장은 복잡한 평면 내의 단위 원 {α = 1}에 의해 파라메타된다.U_α(φ₋) = αφ에₊ 의해 정의된 각 단일 U_α : K₋ → K에₊ 대해, 도메인을 가진 확장 A가_α 있다.

${\displaystyle \operatorname {Dom}(A_{\alpha })=\{f+\beta(\alpha \phi _{+}) f\in \operatorname {Dom}(A)\;\beta \mathb {C}}}}}}}}$

만약 f ∈ Dom(A_α)이면 f는 절대적으로 연속적이고

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {f(0)}{f()}}{f()}\오른쪽 =\frac {e\flict -1}{\fract -1}{\flict -e}\오른쪽 = 1.$

반대로 f가 절대적으로 연속적이고 f(0) = γf(1)가 γ = 1인 어떤 복잡한 γ의 경우, f는 위의 영역에 놓여 있다.

자가 적응 연산자 { A_α }은 양자역학에서 모멘텀 연산자의 인스턴스다.

더 큰 공간에 자체 부착 확장

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

모든 부분적 등위계는 아마도 더 큰 공간에서 단일 운영자로 확장될 수 있다.따라서 모든 대칭 연산자는 아마도 더 큰 공간에 자기 적응 확장자를 가진다.

양의 대칭 연산자

대칭 연산자 A는 Dom(A)의 모든 x에 대해$$ $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle \langle Ax,x\angle \geq$ 0$}$인 경우 양수라고 부른다.그러한 A마다 딤(K₊) = 딤(K₋)이 있는 것으로 알려져 있다.따라서 모든 양의 대칭 연산자는 자체 승인 확장자를 가진다.이 방향에서 더 흥미로운 질문은 A가 긍정적인 자기 적응 연장이 있는지 여부다.

A와 B의 두 양성 연산자에 대해서는 다음과 같이 A if B를 배치하였다.

${\displaystyle (A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}$

한정된 운영자의 의미로는

2 × 2 매트릭스 수축 구조

일반 대칭 연산자의 확장 문제는 본질적으로 부분 등위계를 단위로 확장하는 것이지만, 양성 대칭 연산자의 경우 문제는 수축 확장 중 하나가 된다: 2 × 2 자기 적응 수축의 특정 알려지지 않은 항목을 "완료"함으로써, 우리는 양의 자기 적응 확장을 얻는다.대칭 연산자

관련 결과를 말하기 전에 먼저 몇 가지 용어를 수정한다.H에 작용하는 수축 γ의 경우, 우리는 다음과 같이 결점 연산자를 정의한다.

${\displaystyle D_{\Gamma }=(1-\Gamma ^{*}}\gamma )^{1}{1}{1}{1}{{1}}}}}{\frac {1}{1}}}}}}{\frac {1}{1}}}}}}}$

γ의 결점 공간은

${\displaystyle{\mathcal{D}_{\Gamma }=Ran(D_{\mbox{and}}}\quad{\mathcal{D}}}{\Mathcal{D}}}}}}}}}}}=Ran(D_{\Gamma ^{*}}}}}}).}$

결점 연산자는 γ의 비단위성을 나타내며 결점 공간은 일부 매개변수에서 고유성을 보장한다.이 기계를 사용하면 일반적인 매트릭스 수축 구조를 명시적으로 설명할 수 있다.우리는 2 × 2 케이스만 필요할 것이다.매 2 × 2 수축 γ은 다음과 같이 고유하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}}$

여기서 각 γ은_i 수축이다.

양의 대칭 연산자의 확장

일반 대칭 연산자를 위한 Cayley 변환은 이 특수한 경우에 적용할 수 있다.음수가 아닌 모든 숫자 a에 대해,

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {a-1}{a+1}\오른쪽 \leq 1.}$

이것은 우리가 모든 양의 대칭 연산자 A에게 수축을 할당한다는 것을 시사한다.

${\displaystyle C_{A}Ran(A+1)\오른쪽 화살표 Ran(A-1)\subset {\mathcal {H}}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\cHB {\mbox{i.e.e.}}}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}\,}$

매트릭스 표식이 있는

${\displaystyle C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\Gamma _{3}D_{1}D_{1}:{1}\Damma _{1}\end{bmatrix}}}:Ran(A+1)\오른쪽 화살표 {\begin{matrix}Ran(A+1)\\\oplus \\Ran(A+1)^{\perp }\end{matrix}}.}$

Ran(A + 1) = Dom(C_A)에 투영된 γ₁ 항목 C가_A 자기성격임을 쉽게 확인할 수 있다.연산자 A는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle A=(1+C_{A})(1-C_{A}^{-1}\,}$

Dom(A) = Ran(C_A - 1)과 함께.만약

${\displaystyle {\tilde{C}}$

C를_A 확장하는 수축이고 그 영역으로의 투영은 자기 적응이다. 그러면 그것의 역 Cayley 변환이 분명하다.

${\displaystyle{\tilde{A}}=(1+{\tilde{C})^{-1}$

에 대해 정의된.

${\displaystyle Ran(1-{\tilde{C})}$

A의 양의 대칭 확장이다.대칭적 속성은 자신의 영역에 대한 투영에서 자기 적응으로 따르고 긍정은 계약성에서 따른다.그 반대는 또한 사실이다: A의 양의 대칭적 확장이 Cayley 변환은 명시된 "부분적" 자기 적응 특성을 만족시키는 수축이다.

정리 A의 양의 대칭적 확장은 C가 그러한 확장인 경우, 우리는 Dom(C)에 투영된 C가 스스로 적응할 것을 요구하는 Cayley 변환의 확장과 일대일 일치한다.

Cayley 변환의 단위성 기준은 양성 연산자에 대한 자기 적응성으로 대체된다.

정리 A 대칭 양수 연산자 A는 그 케이리 변환이 모든 H에 정의된 자기 적응 수축인 경우에만, 즉 Ran(A + 1) = H일 때 자기 적응이다.

따라서 양의 대칭 연산자에 대한 자가 적응 확장을 찾는 것은 "매트릭스 완료 문제"가 된다.구체적으로는 2×2 자기 성찰 수축에 기둥 수축 C를_A 삽입할 필요가 있다.이것은 항상 수행될 수 있으며 그러한 수축 구조는 가능한 모든 확장의 파라메트리제이션(parametrization)을 제공한다.

앞의 항에 의해 C의_A 모든 자기장 확장은 형식을 취한다.

${\displaystyle {\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.}$

따라서 A의 자기 성인의 양성 확장은 결점 공간에 대한 자기 성인의 수축 Ⅱ와₄ 경쟁적으로 일치한다.

${\displaystyle {\mathcal{D}_{\Gamma _{3}^{*}}}$

γ의₃. 수축은

${\displaystyle {\tilde {{C}(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\tilde{C}(1)}$

긍정적인 연장이 생기다.

${\displaystyle A_{0}\quad {\mbox{and}}\quad A_{\inflt }}$

각각이것들은 A의 양연장이라는 의미에서 가장 작고 큰 것이다.

${\displaystyle A_{0}\leq B\leq A_{\ft}}}$

A의 임의의 양성 자기 성장의 확장자 B에 대해.연산자 A는_∞ 프리드리히의 A의 연장선이고, A는₀ A의 폰 노이만-크레인의 연장선이다.

접근성 연산자에 대해서도 유사한 결과를 얻을 수 있다.

참조

• A. 알론소와 B.사이먼, 반자동 연산자의 자기 적응 확장에 대한 비르만-크레인-비식 이론.J. 연산자 이론 4(1980), 251-270.
• 아르센과 A.G헌데아, 행렬 수축 완료, J. 연산자 이론 7(1982), 179-189.
• N. 던포드 앤 J.T.슈워츠, 선형 연산자, 파트 2, 인터사이언스, 1958.
• 기원전 홀, 수학자들을 위한 양자 이론, 9장 스프링거, 2013.
• M. 리드와 B.사이먼, 현대 수학 물리학의 방법, vol.1975년 나, 제2학술신문사