팔팅스 정리

팔팅스 정리

게르트 팔팅스
들판	산술기하학
에 의해 추측됨	루이 모델
에서 추측됨	1922
첫 번째 증명:	게르트 팔팅스
첫번째 증거	1983
일반화	봄비에리-랑 추측 모델랑 추측
결과들	적분점에 관한 시겔 정리

팔팅스의 정리는 산술 기하학의 결과이며, 이에 따르면 $유리수$의$$Q {\$displaystyle \mathbb$ {Q$}$ 필드에 걸쳐 1보다 큰 속의 곡선은 유한하게 많은 유리점만을 가지고 있습니다. 이것은 1922년에 루이 모델에 의해 추측되었고,^[1] 1983년에 게르트 팔팅스에 의해 증명되기 전까지 모델 추측으로 알려졌습니다.^[2] 이 추측은 나중에 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 임의의 숫자 필드로 대체하여 일반화되었습니다.

배경

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle C}$를 Q ${\$ 위에$$ $있는{\displaystyle }$ g 속$${\$displaystyle$ g$}$의 비특이 대수 곡선이라고 하자$.$ $그러면{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$ 위의 유리점들의 집합은 다음과 같이 결정될 수 있습니다$$.

• $g$ = ${\$displaystyle g=0}일 때 점이 없거나 무한히 많습니다. 이러한 경우 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 원뿔형 섹션으로 처리될$$ 수 있습니다.
• $g$ = ${\$displaystyle g=1}일 때 점이 있으면 C {\displaystyle C}는 타원 곡선이며 유리점은 유한 생성된 아벨 군을 형성합니다. (이것은 나중에 모델-바일 정리로 일반화되는 모델 정리입니다.) 또한 마주르의 비틀림 정리는 비틀림 부분군의 구조를 제한합니다.
• > ${\displaystyle$ g$>1}$일 때 팔팅스의 정리에 따르면 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 유한 개의 유리수 점들만을 갖습니다$$.

증명

이고르 샤파레비치(Igor Shafarevich)는 고정된 유한한 장소 집합 외부에서 잘 감소하는 고정된 수 필드에 대해 고정된 차원과 고정된 편광 정도의 아벨 품종의 동형화 클래스가 유한하다고 추측했습니다.^[3] Aleksei Parshin은 Shafarevich의 유한 추측이 현재 Parshin의 트릭이라고 불리는 것을 사용하여 모델 추측을 암시한다는 것을 보여주었습니다.^[4]

게르트 팔팅스는 네론 모델 이론을 포함한 대수기하학의 도구와 함께 테이트 추측의 경우로 알려진 축소를 사용하여 샤파레비치의 유한 추측을 증명했습니다.^[5] Faltings의 증명의 주요 아이디어는 Siegel 모듈형 품종을 통해 Faltings의 높이와 순진한 높이를 비교하는 것입니다.^[a]

나중 증명

• 폴 보이타는 디오판토스 근사에 근거한 증명을 했습니다.^[6] 엔리코 봄비에리는 보이타의 증명의 더 기본적인 변형을 발견했습니다.^[7]
• Brian Lawrence와 Akshay Venkatesh는 P-adic Hodge 이론에 기초한 증명을 했고, Faltings의 원래 증명에서 더 쉬운 요소들을 빌렸습니다.^[8]

결과들

1983년 Faltings의 논문은 이전에 추측되었던 많은 진술을 초래했습니다.

• 어떤 수장 위에서 1보다 큰 속의 곡선은 유한하게 많은 유리점들을 가지고 있다는 모델 추측;
• 동형 테이트 모듈($Q$ℓ${\displaystyle$\mathbb ${$Q$}$_{\ell}} - 갈루아 작용이 있는 모듈)을 갖는 아벨 품종이 동형이라는 등식 정리.

팔팅스 정리의 예시적인 적용은 페르마의 마지막 정리의 약한 형태입니다. 임의의 $고정$된 $n개의$≥ 4 ${\displaystyle$ n\geq 4}에 대해 n+b $n$ = c ${\displaystyle$a^{n$}+b^{n$}=c^{n}}에 대해, 기껏해야 많은 원시 정수 해(pair${\displaystyle {}^{}}$ 코프라임${\displaystyle {}^{}}$해)가 있습니다. 이러한 $n$ ${\displaystyle n}$에 대하여 페르마 곡선 ${\displaystyle x}$ $n{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle y^{}}$ n = 1${\$displaystyle x^{n}+y^{n}=1}의 속은 1보다 큽니다.

일반화

모델-바일 정리 때문에 팔팅스 정리는 곡선 $C$ ${\displaystyle C}$와 아벨 품종$A$ ${\displaystyle$ A$\}$의 유한 생성 부분군$$γ${\displaystyle$\Gamma}의 교집합에 대한 문장으로 재구성될 수 있습니다. Generalizing by replacing ${\displaystyle A}$ by a semiabelian variety, ${\displaystyle C}$ by an arbitrary subvariety of ${\displaystyle A}$, and ${\displaystyle \Gamma }$ by an arbitrary finite-rank subgroup of ${\displaystyle A}$ leads to the Mordell–Lang conjecture, 1995년 로랑, 레이노, 힌드리, 보이타, 팔팅스의 작업을 거쳐 맥퀼런에^[9] 의해 증명되었습니다.

팔팅스 정리의 또 다른 고차원 일반화는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$가 $숫자{\displaystyle }$ 필드 k ${\displaystyle$ k$}$ 위에 있는 의사 정규 다양성(즉, 다양한 일반 유형)이라면$,$ X${\displaystyle }$(${\displaystyle k)}$ ${\displaystyle X(k)}$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 자리스키 밀도가 아니라는$$ 봄비에리-랑 추측입니다$.$ Paul Vojta에 의해 훨씬 더 일반적인 추측이 제시되었습니다.

함수장에 대한 모델 추측은 유리 이바노비치 마네와^[10] 한스 그라우어트에 의해 증명되었습니다.^[11] 1990년 로버트 F. 콜먼이 매닌의 증거에 있는 틈을 찾아내서 고쳤습니다.^[12]

메모들

인용

참고문헌