리만 기하학 용어집

이것은 리만 기하학 및 미터법 기하학에서 사용되는 일부 용어의 용어집입니다. 미분 토폴로지의 용어는 다루지 않습니다.

다음 기사도 유용할 수 있습니다. 전문 용어를 포함하거나 아래에 제시된 정의에 대한 자세한 설명을 제공합니다.

다음 항목도 참조하십시오.

달리 명시되지 않은 한 아래의 문자 X, Y, Z는 미터법 공간을, M, N은 리만 다양체, xy $|xy|_{X}$ $|xy|_{X}$ X $({$ _ ${X})$ 는 $|xy|_{X}$ X에서 점 x와 y 사이의 거리를 나타냅니다.이탤릭체는 이 용어집에 대한 자기 참조를 나타냅니다.

주의: 볼록함수, 볼록 집합 등 리만과 미터법의 많은 용어는 일반적인 수학 용법과 정확히 같은 의미를 가지고 있지 않습니다.

A

알렉산드로프 공간 상한, 하한 또는 적분 곡률 한계를 갖는 리만 다양체의 일반화(마지막은 차원 2에서만 작동)

거의 평평한 매니폴드

호상등축은 경로등축과 동일하다.

자동평행은 완전히 측지선과 동일합니다.

B

바리센터, 질량 중심을 봐.

바이 립시츠 지도 $f:X\to Y$ f : $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ (\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $)$ 는 $f:X\toY$ X의 임의의 x와 y에 대해 양의 상수 c와 C가 있는 경우 bi-Lipschitz라고 한다.

\displaystyle c xy _{X}\leq f(x)f(y)_{Y}\leq C xy _{X}

부세만 함수는 광선 θ : [0, θ)→X가 주어졌을 때 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to\infty }(\displaystyle(t)-p -t)}

C

Cartan–Hadamard 정리 발언은non-positive 지방적 곡선으로 연결된, 단순히 연결되어 완전한 리만 다양체 Rn에 기하 급수적인 지도를 통해diffeomorphic, 미터 공간을 이 성명이non-positive 곡선으로 알렉산드 로프의 측면에서 연결된, 단순히 연결되어 완전한 측지 계량 공간은 a (글로벌) CAT(0) 공간.

카르탄은 리만 기하학 대신 리만-카르탄 기하학을 사용하여 아인슈타인의 일반 상대성을 아인슈타인-카르탄 이론으로 확장했다.이 확장은 비대칭 곡률 텐서와 스핀-오빗 커플링을 통합할 수 있는 아핀 비틀림을 제공합니다.

질량 중심점 q µ M은 함수의 전역 최소점일 경우 점 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ , $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ , $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ { $style p_{1}, p_{2},\dots, p_{k}$ 의 $p_{1}, p_{2},\syslog, p_{k}$ 질량 중심이라고 불립니다.

f(x)=\sum _{i} p_{i}x ^{2}

이러한 점은 모든 $|p_{i}p_{j}|$ $|p_{i}p_{j}|$ $|p_{i}p_{j}|$ j $displaystyle p_{i}p_{j})$ 가 $|p_{i}p_{j}|$ 볼록 반지름보다 작을 경우 고유하다.

크리스토펠 기호

붕괴 다지관

전체 공간

완료

등각 지도는 각도를 보존하는 지도입니다.

국소적으로 유클리드 공간과 등가라면 등가 평탄한 M은 등가 평탄하다. 예를 들어 표준구는 등가 평탄하다.

$\gamma$ ${\$ { $displaystyle \gamma$ } 위의 $\gamma$ 2개의 점 p와 q는 ${\$ { $displaystyle \gamma$ }의 $\gamma$ 야코비 필드가 p와 q에 0이 있는 경우 켤레라고 합니다.

볼록 함수리만 다양체의 함수 f는 측지학 $\gamma$ {\ $displaystyle \gamma}$ 에 $\gamma$ 대해 $f\circ \gamma$ f $f\circ \gamma$ {\ $displaystyle$ f $\circ \gamma}$ 가 $f\circ \gamma$ 볼록한 경우 볼록하다.함수 f는 자연 $파라미터$ t ${displaystyle$ t $t$ 를 갖는 측지학 $\gamma$ ${$ $displaystyle \gamma}$ 에 $\lambda$ $\gamma$ 대해 함수 f $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ t $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ - $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ { $displaystyle$ f $\circ \gama(t)-\lambda$ t $^2}}$ 가 $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ 볼록한 경우, 함수 $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ 는 볼록하다.

볼록 리만 다양체 M의 부분 집합 K는 K에 있는 두 점을 연결하는 최단 경로가 K에 있는 경우 볼록이라고 한다. 완전 볼록도 참조한다.

코탄젠트다발

공변 미분

궤적을 자르다

D

미터법 공간의 지름은 점 쌍 사이의 거리의 최상이다.

현상 가능한 표면은 평면에 대한 표면 등각도이다.

메트릭 공간 간의 맵 확장은 지정된 맵이 L-Lipschitz가 되도록 번호 L의 최소값입니다.

E

지수 지도: 지수 지도(거짓말 이론), 지수 지도(리만 기하학)

F

핀슬러 메트릭

매립 또는 침하를 위한 첫 번째 기본 형태는 미터법 텐서의 풀백이다.

G

측지선은 거리를 국소적으로 최소화하는 곡선입니다.

지오데식 흐름은 궤적이 ( $(\gamma (t),\gamma '(t))$ ( $(\gamma (t),\gamma '(t))$ ) , $(\gamma (t),\gamma '(t))$ ( $(\gamma (t),\gamma '(t))$ ) $(\gamma (t),\gamma '(t))$ \ $displaystyle$ ( \ $gamma$ ( $t$ ) ) \ $gamma$ ' ( $t$ ) )형인 $(\gamma (t),\gamma '(t))$ 벡터장에 의해 생성되는 매니폴드 M의 접선다발 TM 위의 흐름이다. $\gamma$ 서 ${\$ \ $displaystyle$ \ $gamma }$ 는 $\gamma$ 지오데식이다.

그로모프-하우스도르프 수렴

측지선 메트릭 공간은 임의의 두 점이 최소 측지선의 끝점이 되는 메트릭 공간입니다.

H

아다마르 공간은 양의 곡률이 아닌 완전히 단순하게 연결된 공간입니다.

부세만 함수의 수평 집합인 호로스피어.

I

주입 반지름 리만 다양체의 점 p에서의 주입 반지름은 p에서의 지수 맵이 미분 동형인 가장 큰 반지름입니다.리만 다양체의 주입 반지름은 모든 점에서 주입 반지름의 최소값이다.절단 궤적을 참조하십시오.

완전한 다양체의 경우, p에서의 주입 반지름이 유한수 r이면 p에서 시작하고 끝나는 길이 2r의 측지선이 존재하거나 p에 공역하는 점 q(위의 공역점 참조) 및 p로부터의 거리 r이 존재한다.닫힌 리만 다양체의 경우 주입 반지름은 닫힌 측지선의 최소 길이의 절반 또는 측지선의 공역점 사이의 최소 거리이다.

Infranilmanifold 왼쪽 곱셈에 의해 스스로 작용하는 단순접속 nilpotent Lie 군 N과 N의 유한한 자기동형군 F가 주어지면 N에 대한 $N\rtimes F$ N $N\rtimes F$ F \ $display$ N $\rtimes$ F의 $N\rtimes F$ 작용을 정의할 수 있다.N에 자유자재로 작용하는 N $N\rtimes F$ F {\ $displaystyle$ N $\rtimes$ F $}$ 의 $N\rtimes F$ 이산 서브그룹에 의한 N의 궤도공간을 인프라닐매니폴드라고 한다.인프라닐매니폴드는 완전히 제로매니폴드로 덮여있다.

등각도는 거리를 보존하는 지도입니다.

고유 측정 기준

J

Jacobi 필드 A Jacobi 필드는 다음과 같은 방법으로 얻을 수 있는 측지선 θ 위의 벡터 필드이다. $\gamma _{0}=\gamma$ = $\gamma _{\tau }$ $=$ 0 $\gamma _{0}=\gamma$ $\gamma _{\tau }$ （ \ $display$ style \ $display$ style $_$ $\gamma _{\tau }$ { 0 } = \ $display }$ $\gamma _{0}=\gamma$ parameter $\gamma _{\tau }$ parameter1 파라미터 패밀리의 매끄러운 패밀리를 취하면 Jacobi 필드는 다음과 같이 설명됩니다.

\displaystyle J(t)=\left.{\frac = 0} {\frac } {\frac = 0} {\frac } 。

조던 곡선

K

킬링 벡터 필드

L

길이 메트릭은 고유 메트릭과 동일합니다.

Levi-Civita 연결은 리만 다양체의 벡터장을 구별하는 자연스러운 방법입니다.

Lipschitz는 Lipschitz 메트릭에 의해 정의된 컨버전스를 컨버전스합니다.

메트릭 공간 사이의 립시츠 거리는 상수 exp(-r), exp(r)를 가진 이러한 공간 사이에 바이젝티브 바이 립시츠 맵이 존재하도록 숫자 r의 최소값이다.

립시츠 지도

로그 지도는 지수 지도의 오른쪽 역이다.

M

평균 곡률

미터법 볼

미터법 텐서

최소 표면은 (벡터가) 평균 곡률 0인 서브매니폴드입니다.

N

자연 파라미터화는 길이에 따른 파라미터화입니다.

Net. 미터법 공간 X의 서브셋 S는 X의 어느 점에서도 거리 $(\displaystyle\leq\epsilon$ 에 S의 점이 있는 경우 θ $(\displaystyle$ \epsilon $)$ 라고 $\epsilon$ 불리며, 이는 한계를 일반화하는 위상 그물과는 다르다.

Nilmanifold:점을 포함하는 최소 매니폴드 세트의 요소로서, nilmanifold에 대한 방향 $(\$ S $^{1})$ -bundle은 $S^{1}$ nilmanifold이다.격자에 의해 연결된 nilpotent Lie 그룹의 인자로 정의할 수도 있습니다.

노멀 번들: 주변 유클리드 ${\mathbb {R} }^{N}$ (\ $displaystyle$ $\mathbb {R}^{N$ $})$ 에 매니폴드 M을 삽입하는 것과 관련된 노멀 번들은 각 점 p가 접선 $T_{p}M$ PYL의 직교 보체(\ $style\$ display\ $mathbb {R}^{N$ 인 벡터 번들입니다. $e$ T_ ${p}M$ 입니다.

쇼트 맵과 동일한 맵 확장 없음

P

병렬 전송

다면체 공간은 유도 메트릭을 가진 각 심플렉스가 유클리드 공간에서 심플렉스와 등각되도록 메트릭을 가진 단순 복합체이다.

주 곡률은 표면의 한 점에서 최대 및 최소 정규 곡률입니다.

주방향은 주곡선의 방향이다.

경로 등각도

적절한 미터법 공간은 닫힌 모든 공이 콤팩트한 미터법 공간입니다.마찬가지로 모든 닫힌 경계 부분 집합이 압축된 경우.모든 적절한 메트릭 공간이 완성됩니다.

Q

준지오데식에는 두 가지 의미가 있습니다.여기서 우리는 가장 일반적인 의미를 부여합니다. $f:I\to Y$ f : $f:I\to Y$ $f:I\to Y$ \ $displaystyle$ f : $I$ $\toY$ $($ $I\subseteq \mathbb {R}$ 서 I $\$ $displaystyle$ I $\subseteq \$ $mathbb$ ${R$ $}$ 은 $I\subseteq \mathbb {R}$ $K\geq 1$ $C\geq 0$ 서브세그먼트)는 x $x,y\in I$ $x$ $x,$ x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x $C\geq 0$ $C\geq 0$ , x, x $,$ x, x, x, x, x, x, x, x, x, x $,$ x, x $,$ x, x, x, x, x, x, x, x, $C\geq 0$ x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, $K\geq 1$ , x

\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y)\leq Kd(x,y)+C.}

준지오데식이라고 해서 반드시 연속 곡선이 되는 것은 아닙니다.

준등각법. $f:X\to Y$ f : $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ (\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $)$ 는 $f:X\to Y$ 다음과 같은 $K\geq 1$ K $K\geq 1$ 1 (\ $displaystyle K\geq$ 1 $)$ $C\geq 0$ ${\$ 0 (\ $displaystyle C\geq$ 0 $)$ 이 있는 경우 준등축이라고 불립니다.

\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y)\leq Kd(x,y)+C.}

그리고 Y의 모든 점은 f(X)의 어떤 점으로부터 최대 C의 거리를 가진다.준등축은 연속적인 것으로 가정하지 않는다.예를 들어, 콤팩트 메트릭 공간 사이의 지도는 준등각계이다.만약 X에서 Y까지의 준등축이 존재한다면, X와 Y는 준등축이라고 한다.

R

메트릭 공간의 반지름은 공간을 완전히 포함하는 메트릭 볼 반지름의 최소값입니다.

리만 다양체의 점 p에서의 볼록 반지름은 볼록 부분 집합인 공의 가장 큰 반지름이다.

Ray는 각 간격에서 최소화하는 단면 무한 측지선입니다.

리만 곡률 텐서

리만 다양체

리만 수몰은 수몰과 서브메트리인 리만 다양체 사이의 지도이다.

S

두 번째 기본 형식은 하이퍼서페이스의 접선 공간상의 2차 형식이며, 보통 하이퍼서페이스의 형상 연산자를 기술하는 동등한 방법이다.

디스플레이 스타일II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle }

또한 임의의 코디멘션으로 일반화할 수 있으며, 이 경우 정규 공간에 값이 있는 2차 형식입니다.

하이퍼서페이스 M의 형상 연산자는 접선 공간의 선형 연산자_p S: TM_p→TM입니다_p.n이 M에 대한 단위 정규 필드이고 v가 탄젠트 벡터일 경우

S(v)=\pm \displayla _{v}n

(정의에 + 또는 -를 사용할지 여부에 대한 표준적인 합의는 없습니다).

쇼트 맵은 거리 비증가 맵입니다.

스무스 매니폴드

솔 다양체는 격자에 의해 연결된 용해 가능한 Lie 그룹의 인자입니다.

R > 0이 존재하면 서브메트리라고 불리며 임의의 점x 및 반지름r < R에 대해 메트릭 r-ball 이미지가 r-ball이 됩니다.

\displaystyle f(B_{r)(x)=B_{r}(f(x))}

서브리만 다양체

수축기 $syst_{k}(M)$ 의 k-sy $syst_{k}(M)$ $syst_{k}(M)$ ( $syst_{k}(M)$ ) { $displaystyle syst_{k}(M$ 는 0에 대한 k 사이클의 최소 볼륨입니다.

T

접선다발

완전히 볼록하다.리만 다양체 M의 부분집합 K는 K에서 이들을 연결하는 측지선이 모두 K에 있으면 완전 볼록이라고 한다.

완전 지오데식 서브매니폴드는 서브매니폴드이며 서브매니폴드의 모든 지오데식도 주변 매니폴드의 지오데식입니다.

U

고유 측지선 메트릭 공간은 임의의 두 점이 고유 최소 측지선의 끝점인 메트릭 공간입니다.

W

그룹의 단어 메트릭은 생성기 집합을 사용하여 구성된 케일리 그래프의 메트릭입니다.

v t 리만 기하학 (용어)
기본 개념	곡률 텐서 스칼라 리치 섹션 지수 지도 측지학 내부 제품 미터법 텐서 Levi-Civita 접속 공변 미분 서명 지수 상승 및 하강/음악 동형 병렬 전송 리만 다양체 유사 리만 다양체 리만 부피 형식
리만 기하학을 이용한 다양체 구조	에르미트인 쌍곡선 케흘러 켄모츠
주요 토픽	리만 기하학의 기본 정리 가우스 보조군 호프-리노우 정리 내쉬 삽입 정리 리치 플로우 슈르 보조군
일반화	핀슬러 힐베르트 다양체 서브리만어
적용들	일반상대성이론 기하학적 추측 푸앵카레 추측 균등화 정리

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