카우프만 다항식

매듭 이론에서 카우프만 다항식은 루이 카우프만 때문에 2변수 매듭 다항식이다.^[1]처음에는 링크 다이어그램에 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F}$( ${\displaystyle K}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle a^{}}$- w${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle K^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle K}$) ${\$

여기서 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle w($${\displaystyle K}$$)}$은 링크 다이어그램의 쓰기이고 $L{\displaystyle }$(K )${\displaystyle L(K)}$은 다음 속성에 의해 링크 다이어그램에 정의된 a와 z의 다항식이다.

• ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle O}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L(O)=1}($O는 unknot이다.
• ${\displaystyle L(s_{r}=aL),\qquad L(s_{\ell }}=a^{-1}L.}$
• L은 타입 II와 타입 III 레이데미스터의 움직임에서 변하지 않는다.

여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$}$은 가닥이고 ${\displaystyle s_{}}$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$resp. $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ ${\$은 오른손잡이(resp)와 같은 가닥이다$.$왼손) 컬이 추가됨(타입 I 레이데미스터 이동 사용).

또한 L은 카우프만의 스키닌 관계를 만족시켜야 한다.

그림은 그림과 같이 디스크 내부에서 다르지만 외부에서는 동일한 도표의 L 다항식을 나타낸다.

카우프만은 L이 존재하며 지향적이지 않은 링크의 규칙적인 동위원소 불변성임을 보여주었다.F는 주변 동위원소 방향 링크 불변성인 것을 쉽게 따른다.

존스 다항식은 L 다항식이 브래킷 다항식을 전문으로 하기 때문에 카우프만 다항식의 특수한 경우다.카우프만 다항식(Kauffman polyomial)은 SO(N)에 대한 체르-시몬스 게이지 이론과 관련이 있으며, 이는 HOMFLI 다항식이 SU(N)에 대한 체르-시몬스 게이지 이론과 관련이 있는 것과 같은 방식이다.^[2]

참조

추가 읽기

• Kauffman, Louis (1987). On Knots. Annals of Mathematics Studies. Vol. 115. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08435-1. MR 0907872.

외부 링크

• 수학 백과사전 "카우프만 다항식
• "The Kauffman Polyomial", The Knot Atlas.