타이트 추측

Tait conjectures
이 기사는 매듭 이론에 관한 것이다.그래프 이론의 추측에 대해서는, 태트의 추측을 참조하라.

태트족의 추측이란 19세기 수학자 피터 거스리 타이트가 매듭 연구에서 한 세 가지 추측이다.[1]Tait 추측은 교대, chirality, writhe와 같은 매듭 이론의 개념을 포함한다.태트족의 모든 추측이 해결되었는데, 가장 최근의 것은 플라이핑의 추측이다.

배경

축소된 도표는 모든 isthmi가 제거되는 도표다.

태트는 19세기 후반 모든 매듭을 표로 작성하려 한 후 그의 추측을 생각해냈다.매듭 이론 분야의 창시자로서 그의 작품에는 수학적으로 엄격한 틀이 결여되어 있으며, 그 추측이 모든 매듭에 적용되도록 의도했는지, 아니면 단지 교대로 매듭을 짓도록 의도했는지 불분명하다.이들 대부분은 교대로만 존재하는 것으로 밝혀졌다.[2]태트 추측에서 매듭 도표는 "축소" 즉 "난소 교차"가 모두 제거된 경우 "축소"라고 불린다.

교번노트의 교차

Tait는 특정 상황에서 교차하는 숫자는 특히 다음과 같은 매듭 불변이라고 추측했다.

교대 링크의 축소된 도표는 가능한 가장 적은 교차점을 가진다.

즉, 감소된 교대 링크의 교차 수는 매듭의 불변수다.이러한 추측은 1987년 루이스 카우프만, 쿠니오 무라스기(村iogigi), 모웬 테틀스와이트(Morwen Thistlethwaite)에 의해 존스 다항식(Jones 다항식)을 사용하여 증명되었다.[3][4] [5] 조슈아 그린은 2017년 매듭 다항식을 사용하지 않은 기하학적 증거를 제시했다.[6]

쓰임새와 치례성

Tait에 대한 두 번째 추측:

암피시바이러스(또는 아체바이러스) 교번 링크는 쓰기가 0이다.

이러한 추측도 카우프만과 테슬스와이트에 의해 증명되었다.[3][7]

플라이핑

플라이프 동작.

Tait flying 억측은 다음과 같이 진술할 수 있다.

두 개의 축소된 교대 1 및 2 } 방향의 프라임 교대 링크: D 1}는 플라이페스라는 특정 단순 이동 순서를 통해 D }}로 변환할 수 있다.[8]

Tait flying 추측은 1991년 Thistlethwaite와 William Menasco에 의해 증명되었다.[9]Tait의 플라이핑 추측은 Tait의 추측 중 몇 가지를 더 암시한다.

동일한 교차 매듭의 축소된 두 도표는 동일한 휘장을 가지고 있다.

이것은 플라이핑이 몸부림을 보존하기 때문에 뒤따른다.이것은 무라스기와 테슬스와이트에 의해 일찍이 증명되었다.[10][7]그린의 작품에서도 그 뒤를 잇는다.[6]대체적인 매듭에 대해서는 이 추측이 사실이 아니다; 페르코 쌍은 백범이다.[2]이 결과는 또한 다음과 같은 추측을 내포하고 있다.

암피시알 매듭은 교차하는 숫자도 가지고 있다.[2]

이것은 매듭의 거울 이미지가 반대방향으로 쓰이기 때문에 뒤따른다.이 추측은 다시 교대로만 적용된다: 15번 교차하는 비교체 원형질문 매듭이 존재한다.[11]

참고 항목

참조

  1. ^ Lickorish, W. B. Raymond (1997), An introduction to knot theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 175, Springer-Verlag, New York, p. 47, doi:10.1007/978-1-4612-0691-0, ISBN 978-0-387-98254-0, MR 1472978.
  2. ^ a b c Stoimenow, Alexander (2008). "Tait's conjectures and odd amphicheiral knots". Bull. Amer. Math. Soc. 45 (2): 285–291. arXiv:0704.1941. CiteSeerX 10.1.1.312.6024. doi:10.1090/S0273-0979-08-01196-8. S2CID 15299750.
  3. ^ a b Kauffman, Louis (1987). "State models and the Jones polynomial". Topology. 26 (3): 395–407. doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
  4. ^ Murasugi, Kunio (1987). "Jones polynomials and classical conjectures in knot theory". Topology. 26 (2): 187–194. doi:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
  5. ^ Thistlethwaite, Morwen (1987). "A spanning tree expansion of the Jones polynomial". Topology. 26 (3): 297–309. doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
  6. ^ a b Greene, Joshua (2017). "Alternating links and definite surfaces". Duke Mathematical Journal. 166 (11): 2133–2151. arXiv:1511.06329. Bibcode:2015arXiv151106329G. doi:10.1215/00127094-2017-0004. S2CID 59023367.
  7. ^ a b Thistlethwaite, Morwen (1988). "Kauffman's polynomial and alternating links". Topology. 27 (3): 311–318. doi:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Tait's Knot Conjectures". MathWorld.
  9. ^ Menasco, William; Thistlethwaite, Morwen (1993). "The Classification of Alternating Links". Annals of Mathematics. 138 (1): 113–171. doi:10.2307/2946636. JSTOR 2946636.
  10. ^ Murasugi, Kunio (1987). "Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 102 (2): 317–318. Bibcode:1987MPCPS.102..317M. doi:10.1017/S0305004100067335.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Amphichiral Knot". MathWorld.