프레첼 링크

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노트의 수학적 이론에서 프레첼 링크는 특별한 종류의 링크다.두 개의 서로 얽힌 원형 나선형으로 이루어진 유한한 수 접선으로 구성되며, 접선은 순환적으로 연결되고,^[2] 첫 번째 접선의 첫 번째 구성요소는 두 번째 접선의 두 번째 구성요소와 연결되며, 마지막 접선의 첫 번째 구성요소는 첫 번째 접선의 두 번째 구성요소와 연결된다.또한 매듭인 프레첼 연결(즉, 한 구성 요소와의 연결)은 프레첼 매듭이다.

각 엉클은 비틀림 횟수가 특징이며, 시계 반대 방향 또는 왼손 방향이면 양, 시계 방향 또는 오른손 방향이면 음이다.In the standard projection of the ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ pretzel link, there are ${\displaystyle p_{1}}$ left-handed crossings in the first tangle, ${\displaystyle p_{2}}$ in the second, and, in general, ${\displaystyle p_{n}}$ in thenth.

프레첼 링크는 정수 엉클이 있는 몬테시노 링크라고도 설명할 수 있다.

몇 가지 기본적인 결과

$({\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ 프레첼$$ 링크는 $n{\displaystyle }${\$displaystyn}$과 모든 ${\displaystyle p_{}}$i {\$displaystyle$ p_${i}$가 홀수이거나 정확하게 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 중 하나라면 매듭이다.^[3]

${\displaystyle p_{}}$${\displaystyle {}_{}{i\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1},\,p_{2},\dots,\,p_{n}}$ 프레첼$$ 링크는 최소한 두 개 이상이 0이면 분할되지만 역은 거짓이다.

$({\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$- p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ …${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{$${\displaystyle n_{}}$$})$ 프레첼$$ 링크는${\displaystyle }$(${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}p{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$p … , p ${\displaystyle n{}_{}}$) ${\displaystyle (p_{1}, p_{2},\dots ,p_{n}})$ 프레첼$$ 링크의 미러 이미지다.

The ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ pretzel link is isotopic to the ${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$ pretzel link.Thus, too, the ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ pretzel link is isotopic to the ${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$ pretzel link.^[3]

The ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ pretzel link is isotopic to the ${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$ pretzel link.그러나 표준적인 방법으로 링크 방향을 잡는다면, 이 두 링크는 반대 방향을 갖는다.

몇 가지 예

(1, 1, 1) 프레첼 매듭은 (우측) 트레포일이고 (-1, -1, -1) 프레첼 매듭은 거울 이미지다.

프레첼 매듭(5, -1, -1)은 스테어드 매듭(6)이다₁.

만약p,q,r1보다 큰 별개의 홀수 정수인 다음 (p, q, r) 프레첼 매듭은 되돌릴 수 없는 매듭이다.

(2p, 2q, 2r) 프레첼 링크는 세 개의 연결된 언코트에 의해 형성된 링크다.

(-3, 0, -3) 프레첼 매듭(제곱 매듭(수학))은 두 개의 트레포일 매듭의 연결된 합이다.

The (0,q, 0) 프레첼 링크는 언코트와 다른 매듭의 분할 결합이다.

몬테시노스

몬테시노스 링크는 프레첼 링크를 일반화하는 특별한 종류의 링크다(프레첼 링크는 정수 엉클이 있는 몬테시노 링크로도 설명될 수 있다).또한 매듭인 몬테시노스 링크(즉, 한 구성 요소와의 링크)는 몬테시노스 매듭이다.

몬테시노스 링크는 몇 개의 이성적인 엉킴으로 구성되어 있다.One notation for a Montesinos link is ${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$.^[4]

이 표기법에서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ 및$$ ${\displaystyle {모든}_{}}$ α $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$i}와$$${\displaystyle {\beta }_{}}$ i ${\$는 정수다$$.The Montesinos link given by this notation consists of the sum of the rational tangles given by the integer ${\displaystyle e}$ and the rational tangles ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

이 매듭과 고리는 1973년 처음 소개한 스페인의 토폴로지학자 호세 마리아 몬테시노스 아밀리비아의 이름을 딴 것이다.^[5]

효용

(−2, 3, 2n+ 1) 프레첼 링크는 특히 3각형 연구에 유용하다.특히 프레첼 매듭(-2,3,7)에 대한 딘 수술로 인한 다지관에 대한 많은 결과가 발표되었다.

(-2,3,8) 프레첼 링크를 보완한 쌍곡선의 부피는 카탈란 상수의 4배인 약 3.66이다.이 프레첼 링크 보완물은 가능한 최소 부피를 가진 두 개의 쿠스로 된 쌍곡 다지관 중 하나이며, 다른 하나는 화이트헤드 링크의 보완물이다.^[6]

참조

추가 읽기

• 트로터, 헤일 F:되돌릴 수 없는 매듭이 존재하며, 위상 2 (1963), 272–280.
• Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner (2003). Knots. De Gruyter studies in mathematics. Vol. 5 (2nd revised and extended ed.). Walter de Gruyter. ISBN 3110170051. ISSN 0179-0986. Zbl 1009.57003.