스키인 관계

스키인 관계는 매듭을 연구하는 데 사용되는 수학적 도구다.매듭의 수학적 이론에서 중요한 문제는 두 개의 매듭 도표가 같은 매듭을 나타내는가 하는 것이다.그 질문에 대답하는 한 가지 방법은 매듭의 불변인 매듭 다항식을 사용하는 것이다.두 도표가 서로 다른 다항식을 갖는 경우, 서로 다른 매듭을 나타낸다.일반적으로, 그 반대는 유지되지 않는다.

스키인 관계는 종종 매듭 다항식의 간단한 정의를 내리는데 사용된다.스키닌 관계는 작은 지역에서만 서로 다른 세 개의 링크 집합에서 매듭 다항식의 값 사이에 선형 관계를 제공한다.콘웨이, 알렉산더, 존스 다항식과 같은 일부 매듭 다항식의 경우 관련 스키인 관계는 다항식을 반복적으로 계산하기에 충분하다.

정의

스키인 관계에는 하나의 교차점을 제외하고 동일한 세 개의 링크 다이어그램이 필요하다.세 개의 도표는 그 교차점에서 두 선 세그먼트에 발생할 수 있는 세 가지 가능성을 보여주어야 한다. 한 선은 아래를 통과할 수 있고, 같은 선은 넘거나 두 선이 전혀 교차하지 않을 수 있다.링크 다이어그램은 단일 스키인 변경으로 인해 매듭을 나타내는 다이어그램에서 링크를 나타내는 다이어그램으로 변경될 수 있으며 그 반대의 경우도 고려되어야 한다.문제의 매듭 다항식에 따라, 스키인 관계에서 나타나는 링크(또는 엉킴)는 방향이 잡히거나 방향이 맞지 않을 수 있다.

세 개의 도표는 다음과 같이 라벨을 표시한다.해당 건널목의 방향이 모두 대략 북쪽으로 향하도록 세 개의 링크 다이어그램을 돌리십시오.한 다이어그램은 북동쪽으로 북서쪽으로 표시되며, L로₋ 표시된다.또 다른 곳은 북서쪽으로 갈 거야, L이야₊.나머지 도표는 교차점이 부족하며 L로₀ 표시되어 있다.

(표시는 모든 방향이 뒤바뀌는 경우 그대로 유지되는 한 방향과는 무관하다.따라서 비방향 매듭의 다항식은 이 방법에 의해 명확하게 정의된다.그러나 링크의 지시사항은 다항식 계산을 통해 반복될 때 유지되어야 하는 중요한 세부사항이다.)

또한 패치가 호환되는 방향으로 적용되는 한, 기존 링크 다이어그램을 가져다가 다른 두 개의 도표를 만들기 위해 "패치"하는 방식으로 생성적 의미로 생각하는 것이 현명하다.

매듭(링크) 다항식을 재귀적으로 정의하기 위해, 함수 F는 고정되며, 위에서와 같이 라벨을 붙인 다이어그램과 그 다항식의 세 배에는,

${\displaystyle F{{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0}$

또는 그 이상에 따라.

${\displaystyle$$L_{0}(x),$모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 $L_{+}(x),x{\Big )}=0}$

(재귀에 사용되는 교차 순서와 독립적으로 다항식을 생성하는 F를 찾는 것은 사소한 연습이 아니다.)

좀더 형식적으로, 스키인 관계는 엉클의 평면대수학에서 인용된 지도의 커널을 정의하는 것으로 생각할 수 있다.이러한 지도는 모든 닫힌 다이어그램이 빈 다이어그램 이미지의 일부(폴리노멀) 배수로 가져가면 매듭 다항식에 해당한다.

예

1960년대 초, 콘웨이는 스케인 관계를 이용하여 알렉산더 다항식을 계산하는 방법을 보여주었다.그것은 재귀적이기 때문에, 알렉산더의 원래 매트릭스 방식만큼 직접적이지는 않다. 반면에, 한 매듭을 위해 행해진 작업의 일부는 다른 사람들에게 적용될 것이다.특히 도표 네트워크는 모든 스키인 관련 다항식에도 동일하다.

Let function P from link diagrams to Laurent series in ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ be such that ${\displaystyle P({\rm {unknot}})=1}$ and a triple of skein-relation diagrams ${\displaystyle (L_{-},L_{0},L_{+})}$ satisfies the equation

${\displaystyle P(L_{-}}=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})}}$

그리고 나서 P는 그것의 알렉산더 다항식 중 하나에 매듭을 매핑한다.

이 예에서는 최소 도표에서 5개의 교차점이 있는 교차 매듭()의 알렉산더 다항식을 계산한다.각 단계에서 우리는 더 복잡한 링크와 두 개의 간단한 도표를 포함하는 관계를 보여준다.보다 복잡한 링크는 마지막을 제외한 아래의 각 단계에서 오른쪽에 있다는 점에 유의하십시오.편의를 위해 A = x-x로^−1/21/2 두십시오.

우선, 우리는 신케포일의 교차점(노란색으로 강조 표시) 중 하나를 패치하여 두 개의 새로운 도표를 만든다.

P() = A × P() + P()

첫 번째 도표는 사실 삼포일이고, 두 번째 도표는 네 개의 교차점이 있는 두 개의 운코일이다.후자의 패치 적용

P() = A × P() + P()

다시 두 개의 교차점이 있는 트레포일과 두 개의 언코트를 준다(Hopf 링크 [1]).트레포일 패치하기

P() = A × P() + P()

unknot과, 다시, Hopf 링크를 준다.Hopf 링크 패치하기

P() = A × P() + P()

0 교차점(연결 해제)과 연결 해제 링크를 제공한다.이 연결 해제에는 약간의 은밀함이 필요하다.

P() = A × P() + P()

연산

이제 우리는 우리가 마주친 모든 링크의 다항식을 계산하기에 충분한 관계를 갖게 되었고, 위의 방정식을 역순으로 사용하여 신크포일 매듭 자체에 맞추어 작업할 수 있다.계산은 아래 표에 설명되어 있으며, 여기서 ?는 각 관계에서 우리가 해결하고 있는 미지의 양을 나타낸다.

매듭짓기	도표	P(다이아그램)
		스키틴 방정식	?	전체 P
매듭을 풀다		1로 정의됨		x→1
연결을 해제하다		1=A?+1	0	x→0
호프 링크		0=A1+?	-A	x→x1/2-x−1/2
삼겹살		1=A(-A)+?	1+A2	x→x−1-1+x
4 교차 링크		-A=A(1+A2)+?	-A(2+A2)	x→-x−3/2+x-x−1/21/2+x+x3/2
신케포일		1+A2=A(2+A2)+?	1+3A2+A4	x→x-x−2−1+1-x+x+x2

따라서 신크포일의 알렉산더 다항식은 P(x) = x⁻² -x⁻¹ +1 -x +x이다².

원천

• 미국 수학 협회, 노츠와 그들의 다항식, 피쳐 칼럼.
• Weisstein, Eric W. "Skein Relationship". MathWorld.
• Morton, Hugh R.; Lukac, Sascha G. (2003), "HOMFLY polynomial of decorated Hopf link", Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12: 395–416, arXiv:math.GT/0108011, doi:10.1142/s0218216503002536.