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존슨 고체 목록

List of Johnson solids

기하학에서 다면체다각형을 이루는 점에서 선이 만나는 3차원 물체입니다. 다면체의 점, 선 및 다각형은 각각 정점, 모서리으로 알려져 있습니다.[1] 다면체 내부의 모든 두 점에 대하여 다면체 내에도 다면체를 연결하는 선이 있다면, 다면체는 볼록하다고 합니다.[2] 다면체의 면들이 공면(모든 면이 동일 평면에 있지 않음을 의미함)이 아니고 가장자리가 동일 평면에 있지 않으면(가장자리가 동일 선에 있지 않음을 의미함) 다면체는 볼록하다고 합니다.[3] 모든 다각형 면이 정다면체정다면체라고 하고,[4] 다면체가 꼭짓점-경향성을 갖는 다면체를 균일다면체라고 합니다.[5] 존슨 고체(또는 존슨-잘갤러 고체)는 면이 정다각형인 볼록 다면체입니다. 일부 저자는 존슨 고체가 균일하지 않을 것을 요구하지 않으며, 이는 존슨 고체가 플라톤 고체, 아르키메데스 고체, 프리즘 또는 반프리즘이 아닐 수 있음을 의미합니다.[6]

92개의 볼록 다면체는 Norman Johnson에 의해 발표되었으며, 다른 고체는 없다고 추측했습니다. 그의 추측은 1969년에 Victor Zalgaller에 의해 존슨의 목록이 완전하다는 것을 증명했습니다.[7] 피라미드, 큐폴래, 로툰다는 존슨 고체 중에서 얼굴이 일정하고 볼록한 첫 번째 6개입니다. 이러한 고체는 동일한 특성을 갖는 다른 다면체를 구성하기 위해 적용될 수 있으며, 이를 증강(augmentation)이라고 하며, 프리즘 또는 안티프리즘을 부착하는 것을 각각 신장 또는 자이로 신장이라고 합니다. 다른 것들은 다면체의 구성요소에서 그것들을 제거하거나, 모서리를 잘라내고 면을 들어 올려 일정한 각도로 회전시킨 후 그 사이에 정삼각형을 추가하여 구성하는 것에 의해 구성될 수 있습니다.[8]

모든 다면체에는 대칭과 측정을 포함한 고유한 특성이 있습니다. 변화하는 면역력을 보존하는 그런 변형이 있으면 물체는 대칭이라고 합니다. 이러한 모든 변환은 순서로 알려진 요소의 수와 함께 그룹의 개념으로 구성될 수 있습니다. 이러한 변환은 2차원 공간에서 다각형의 중심을 중심으로 회전하고 다각형의 수직 이등분선을 중심으로 물체를 반사하는 것을 포함합니다. ∘ n {\}}{n}}에서 대칭적으로 회전하는 다각형은 C표시되며, 반사 대칭과 결합하면 2n정이면체 그룹 D의 대칭이 됩니다. 3차원 대칭 점군에서 다면체 대칭의 변환은 대칭축으로 알려진 기저 중심을 지나는 선 주위의 회전과 기저의 이등분선을 지나는 수직면에 대한 반사를 포함하며, 이는 2n차 피라미드 대칭 Cnv 알려져 있습니다. 이와 관련하여 ∘ {\circ}}에서 수평으로 회전하여 대칭성을 보존하는 다면체를 2n차각형 대칭성 D라고 합니다. 4n차의 반 카리스마 대칭 Dnd 반바닥과 반사가 수평면을 가로질러 회전함으로써 대칭을 보존합니다.[10] 2n차 대칭군 Cnh 대칭축을 중심으로 회전하여 대칭성을 보존하고 수평면에서 반사하는 대칭성을 보존합니다. 한 번의 완전 회전과 한 번의 반사 수평면에 의해 대칭성을 보존하는 한 경우는 2차 C이거나1h 단순히 Cs 표시됩니다.[11] 다면체의 치수는 표면적부피를 포함합니다. 면적은 길이와 너비의 곱으로 계산된 2차원 측정이며, 표면적은 다면체의 모든 면의 전체 면적을 합산하여 측정한 것입니다.[12] 부피는 3차원 공간에서 영역을 측정하는 것입니다.[13]

다음 표는 간선 길이 a의 92 Johnson 입체를 포함합니다. 각 열에는 Johnson 솔리드(Jn)의 열거,[14] 정점, 모서리 및 면의 수, 대칭, 표면적 A 볼륨 V가 포함됩니다.

모든 92개의 존슨 고체 표
Jn 견실명 이미지 꼭짓점 가장자리 얼굴들 대칭군과 그 순서[15] 표면적과 부피[16]
1 등변의
광장
피라미드의
5 8 5 8위4v C
2 오각형
피라미드의
6 10 6 주문5v 10의 C
3 삼각형
큐폴라
9 15 8 6위3v C
4 광장
큐폴라
12 20 10 8위4v C
5 오각형
큐폴라
15 25 12 주문5v 10의 C
6 오각형
로툰다
20 35 17 주문5v 10의 C
7 길쭉한
삼각형의
피라미드의
7 12 7 6위3v C
8 길쭉한
광장
피라미드의
9 16 9 8위4v C
9 길쭉한
오각의
피라미드의
11 20 11 주문5v 10의 C
10 자이로롱드
광장
피라미드의
9 20 13 8위4v C
11 자이로롱드
오각의
피라미드의
11 25 16 주문5v 10의 C
12 삼각형
바이피라미드의
5 9 6 D3h of order 12
13 오각형
바이피라미드의
7 15 10 D오더5h 20
14 길쭉한
삼각형의
바이피라미드의
8 15 9 D3h of order 12
15 길쭉한
광장
바이피라미드의
10 20 12 16위4h D
16 길쭉한
오각의
바이피라미드의
12 25 15 D오더5h 20
17 길쭉한
광장
바이피라미드의
10 24 16 16위4d D
18 길쭉한
삼각형의
큐폴라
15 27 14 6위3v C
19 길쭉한
광장
큐폴라
20 36 18 8위4v C
20 길쭉한
오각의
큐폴라
25 45 22 주문5v 10의 C
21 길쭉한
오각의
로툰다
30 55 27 주문5v 10의 C
22 자이로롱드
삼각형의
큐폴라
15 33 20 6위3v C
23 자이로롱드
광장
큐폴라
20 44 26 8위4v C
24 자이로롱드
오각의
큐폴라
25 55 32 주문5v 10의 C
25 자이로롱드
오각의
로툰다
30 65 37 주문5v 10의 C
26 자이로비파스티지움 8 14 8 D2d of order 8
27 삼각형
정사성 유폴라
12 24 14 D3h of order 12
28 광장
정사성 유폴라
16 32 18 16위4h D
29 광장
gyrobicupola
16 32 18 16위4d D
30 오각형
정사성 유폴라
20 40 22 D오더5h 20
31 오각형
gyrobicupola
20 40 22 D오더5d 20
32 오각형
오소쿠폴라로툰다
25 50 27 주문5v 10의 C
33 오각형
자이로쿠폴라로툰다
25 50 27 주문5v 10의 C
34 오각형
오르토비로툰다
30 60 32 D오더5h 20
35 길쭉한
삼각형의
정사성 유폴라
18 36 20 D3h of order 12
36 길쭉한
삼각형의
gyrobicupola
18 36 20 D3d of order 12
37 길쭉한
광장
gyrobicupola
24 48 26 16위4d D
38 길쭉한
오각의
정사성 유폴라
30 60 32 D오더5h 20
39 길쭉한
오각의
gyrobicupola
30 60 32 D오더5d 20
40 길쭉한
오각의
오소쿠폴라로툰다
35 70 37 주문5v 10의 C
41 길쭉한
오각의
자이로쿠폴라로툰다
35 70 37 주문5v 10의 C
42 길쭉한
오각의
오르토비로툰다
40 80 42 D오더5h 20
43 길쭉한
오각의
자이로로툰다
40 80 42 D오더5d 20
44 자이로롱드
삼각형의
쌍태아
18 42 26 순서3 6의 D
45 자이로롱드
광장
쌍태아
24 56 34 D4 of order 8
46 자이로롱드
오각의
쌍태아
30 70 42 차수 105 D
47 자이로롱드
오각의
컵폴라로툰다
35 80 47 C오더5 5
48 자이로롱드
오각의
비로툰다
40 90 52 차수 105 D
49 증강
삼각형의
프리즘
7 13 8 4위2v C
50 바이오션드
삼각형의
프리즘
8 17 11 4위2v C
51 Triaugmented
삼각형의
프리즘
9 21 14 D3h of order 12
52 증강
오각의
프리즘
11 19 10 4위2v C
53 바이오션드
오각의
프리즘
12 23 13 4위2v C
54 증강
육각형의
프리즘
13 22 11 4위2v C
55 파라비 증강
육각형의
프리즘
14 26 14 D2h of order 8
56 메타비아증강
육각형의
프리즘
14 26 14 4위2v C
57 Triaugmented
육각형의
프리즘
15 30 17 D3h of order 12
58 증강
십이십면체
21 35 16 주문5v 10의 C
59 파라비 증강
십이십면체
22 40 20 D오더5d 20
60 메타비아증강
십이십면체
22 40 20 4위2v C
61 Triaugmented
십이십면체
23 45 24 6위3v C
62 메타비디아가 감소하였습니다.
20면체의
10 20 12 4위2v C
63 트리디미니스트
20면체의
9 15 8 6위3v C
64 증강
삼수의
20면체의
10 18 10 6위3v C
65 증강
잘린
사면체의
15 27 14 6위3v C
66 증강
잘린
정육면체
28 48 22 8위4v C
67 바이오션드
잘린
정육면체
32 60 30 16위4h D
68 증강
잘린
십이십면체
65 105 42 주문5v 10의 C
69 파라비 증강
잘린
십이십면체
70 120 52 D오더5d 20
70 메타비아증강
잘린
십이십면체
70 120 52 4위2v C
71 Triaugmented
잘린
십이십면체
75 135 62 6위3v C
72 자이레이트
마름모 십이면체
60 120 62 주문5v 10의 C
73 Parabigyrate
마름모 십이면체
60 120 62 D오더5d 20
74 대사율
마름모 십이면체
60 120 62 4위2v C
75 트리기레이트
마름모 십이면체
60 120 62 6위3v C
76 축소
마름모 십이면체
55 105 52 주문5v 10의 C
77 파라자일레이트
축소된
마름모 십이면체
55 105 52 주문5v 10의 C
78 메타기레이트
축소된
마름모 십이면체
55 105 52 순서s 2의 C
79 비기레이트
축소된
마름모 십이면체
55 105 52 순서s 2의 C
80 파라비드 감소
마름모 십이면체
50 90 42 D오더5d 20
81 메타비디아가 감소하였습니다.
마름모 십이면체
50 90 42 4위2v C
82 자이레이트
비디미티드의
마름모 십이면체
50 90 42 순서s 2의 C
83 트리디미니스트
마름모 십이면체
45 75 32 6위3v C
84 스너브
디스페노이드
8 18 12 D2d of order 8
85 스너브
광장
반제국주의
16 40 26 16위4d D
86 Sphenocorona 10 22 14 4위2v C
87 증강
sphenocorona
11 26 17 순서s 2의 C
88 Sphenomegacorona 12 28 18 4위2v C
89 Hebesphenomegacorona 14 33 21 4위2v C
90 디스페노큘레이션 16 38 24 D2d of order 8
91 빌루나비로툰다 14 26 14 D2h of order 8
92 삼각형
헤베스페노로툰다
18 36 20 6위3v C

메모들

참고문헌

  • Berman, Martin (1971). "Regular-faced convex polyhedra". Journal of the Franklin Institute. 291 (5): 329–352. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
  • Boissonnat, J. D.; Yvinec, M. (June 1989). Probing a scene of non convex polyhedra. Proceedings of the fifth annual symposium on Computational geometry. pp. 237–246. doi:10.1145/73833.73860.
  • Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press.
  • Diudea, M. V. (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters. Springer. doi:10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
  • Flusser, Jan; Suk, Tomas; Zitofa, Barbara (2017). 2D and 3D Image Analysis by Moments. John & Sons Wiley.
  • Hergert, Wolfram; Geilhufe, Matthias (2018). Group Theory in Solid State Physics and Photonics: Problem Solving with Mathematica. John & Sons Wiley. ISBN 978-3-527-41300-3.
  • Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. doi:10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14441-7.
  • Johnson, Norman (1966). "Convex Solids with Regular Faces". Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/CJM-1966-021-8.
  • Litchenberg, Dorovan R. (1988). "Pyramids, Prisms, Antiprisms, and Deltahedra". The Mathematics Teacher. 81 (4): 261–265. JSTOR 27965792.
  • Meyer, W. (2006). Geometry and Its Applications. Academic Press. ISBN 978-0-12-369427-0.
  • Parker, Sybil P. (1997). Dictionary of Mathematics. McGraw-Hill.
  • Powell, Richard C. (2010). Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7598-0. ISBN 978-1-4419-7598-0.
  • Rajwade, A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
  • Solomon, Ronald (2003). Abstract Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4795-4.
  • Slobodan, Mišić; Obradović, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 19 (1): 79–91.
  • Todesco, Gian Marco (2020). "Hyperbolic Honeycomb". In Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN 978-3-030-42653-8.
  • Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
  • Walsh, Edward T. (2014). A First Course in Geometry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-78020-7.
  • Williams, Kim; Monteleone, Cosino (2021). Daniele Barbaro’s Perspective of 1568. Springer. doi:10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN 978-3-030-76687-0.
  • Zalgaller, Victor A. (1969). Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau.

외부 링크