대수오목함수

볼록 분석에서 음이 아닌 $함수$ f : $R n$ → $R$ 은₊ 그 영역이 볼록 집합인 경우 로그오목(또는 짧게 로그콘케이브)이며, 불평등을 만족하는 경우

f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}}}

$모든$ x $, y$ ∈ $돔$ f와 0 < $θ$ < 1. $f$ 가 엄격히 양성이면, $함수$ 로그log $f$ 가 오목하다고 말하는 것과 같다; 즉,

\log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)

모든 $x, y$ dom 돔 $f$ 와 $0$ < $θ$ < < $1$ .

로그 콘케이브 함수의 예로는 볼록 세트(더 유연한 정의를 필요로 함)의 0-1 표시기 함수와 가우스 함수를 들 수 있다.

마찬가지로 함수는 역불평등을 만족하면 로그 콘벡스다.

f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}}}

모든 $x, y$ dom 돔 $f$ 와 $0$ < $θ$ < < $1$ .

특성.

로그 콘케이브 함수도 준콘케이브다. 이는 로그가 단조로움으로 이 함수의 수퍼레벨 집합이 볼록함을 암시한다는 사실에서 비롯된다.^[1]
그 영역에서 음성이 아닌 모든 오목함수는 로그 콘케이브다. 그러나, 그 역이 반드시 유지되는 것은 아니다. 일례로 가우스 함수 $f (x)$ = $exp(-x 2 /2)$ 가 있는데, $로그$ $f (x)$ = $-x 2 /2$ 는 $x$ 의 오목함수이므로 로그 콘케이브인 가우스 함수 f(-x/2)가 있다. 그러나 두 번째 파생상품은 x > 1에 대해 양성이므로 $f$ 는 오목하지 않다.

f"(x)=e^{-{\frac {x^{2}}:{2}}(x^{2}-1)\nleq 0

위의 두 지점부터 $\Rightarrow$ conc {\ $displaystyle \Rightarrow }$ 로그-concavity $\Rightarrow$ $display$ {\displaystyle \ $Rightarrow }$ quasiconcavity $\Rightarrow$ .
볼록한 영역을 가진 두 번 다르고 음이 아닌 함수는 $모든$ $x$ 만족 f $(x)$ > $0$ 일 경우에만 로그 콘케이브,

{\

f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

^[1]

T},

즉

{\

{T}

은

f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}

(는)

음의 반음극 한 변수의 함수에 대해 이 조건은 다음과 같이 단순화된다.

f(x)f"\leq(f'(x))^{2}

로그 일치성을 보존하는 작업

제품: 로그 콘케이브 기능의 산물도 로그 콘케이브다. 실제로 $f$ 와 $g$ 가 로그 콘케이브 함수라면 $로그$ $f$ 와 $로그$ $g$ 는 정의에 의해 오목하게 된다. 그러므로

\log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x))

오목하며, 따라서 f

g

도 로그-트레이닝이다.

여백: $f (x, y)$ : $R n + m$ → $R$ 이 로그 콘케이브인 경우,

[\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}

로그 콘케이브(Prékopa-Lindler 불평등 참조)

$이$ 는 h $(x, y)$ = $f (x-y)$ $g (y)$ 가 $log-concave이면$ log-concave이기 때문에 convolution이 로그-concavity를 보존한다는 것을 의미한다.

(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int h(x,y)dy

로그에 기록된다.

로그-콘카브 분포

로그-콘카브 분포는 적응 거부 샘플링과 같은 여러 알고리즘에 필요하다. 로그 콘케이브 밀도가 있는 모든 분포는 지정된 평균 μ와 편차 위험 측정 D를 갖는 최대 엔트로피 확률 분포다.^[2] 그것이 일어날 때, 많은 공통 확률 분포는 로그 콘카베이다. 몇 가지 예:^[3]

정규 분포 및 다변량 정규 분포.
지수 분포.
모든 볼록 집합에 대한 균일한 분포.
로지스틱 분포.
극단값 분포.
라플라스 분포.
기 분포.
쌍곡선 제분 분포.
위시아트 분포(여기서 n >= p + 1).^[4]
모든 모수가 >= 1인 디리클레 분포.^[4]
형상 모수가 >= 1인 경우 감마 분포.
자유도가 >= 2인 경우 카이-제곱 분포.
두 형상 모수가 모두 >= 1인 경우 베타 분포.
형상 모수가 >= 1인 경우 Weibull 분포.

모든 파라미터 제한은 동일한 기본 소스를 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 함수가 로그 콘케이브되려면 음수가 아닌 양의 지수가 음수가 되어야 한다.

다음 분포는 모든 모수에 대해 로그가 포함되지 않은 것이다.

모든 로그-컨베어 분포의 누적분포함수(CDF)도 로그-콘베어라는 점에 유의한다. 그러나 일부 비로그 콘케이브 분포에는 다음과 같은 로그 콘케이브 CDF도 있다.

로그 정규 분포.
파레토 분포.
형상 모수가 < 1일 때 Weibull 분포.
형상 모수가 < 1일 때의 감마 분포.

로그-콘카브 분포의 속성은 다음과 같다.

밀도가 로그 콘케이브인 경우 누적분포함수(CDF)도 마찬가지다.
다변량 밀도가 로그-콘카브인 경우 변수의 하위 집합에 대한 한계 밀도도 마찬가지다.
두 개의 독립적인 로그 콘케이브 랜덤 변수의 합은 로그 콘케이브다. 이는 두 가지 로그 콘케이브 기능의 콘볼루션이 로그 콘케이브라는 사실에서 비롯된다.
두 개의 로그 콘케이브 함수의 산물은 로그 콘케이브다. 이는 두 개의 확률 밀도를 곱하여 형성된 관절 밀도(예: 항상 형상 모수 >= 1)가 로그 콘케이브 된다는 것을 의미한다. 이 특성은 BUGS, JAGS와 같은 범용 Gibbs 샘플링 프로그램에 많이 사용되며, 따라서 다른 분포의 제품에서 파생된 다양한 조건부 분포에 대한 적응적 거부 샘플링을 사용할 수 있다.
만약 밀도가 로그 콘케이브라면, 그것의 생존 기능도 마찬가지다.^[5]
밀도가 로그 콘카브일 경우 단조 위험률(MHR)을 가지며, 생존함수의 로그의 파생상품이 음의 위험률이며, 구체성에 의한 단조 위험률(Monotone)이므로 정규분포다.

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

1

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

-

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

( x

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

)

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

=

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

-

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

(

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

)

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

- F

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

(

{\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}

)

{\

는 오목함수의 파생형으로 감소하고 있다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). "Log-concave and log-convex functions". Convex Optimization. Cambridge University Press. pp. 104–108. ISBN 0-521-83378-7.
^ Grechuk, B.; Molyboha, A.; Zabarankin, M. (2009). "Maximum Entropy Principle with General Deviation Measures". Mathematics of Operations Research. 34 (2): 445–467. doi:10.1287/moor.1090.0377.
^ 참조
^ ^a ^b Prékopa, András (1971). "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming". Acta Scientiarum Mathematicarum. 32: 301–316.
^ 참조

참조

Barndorff-Nielsen, Ole (1978). Information and exponential families in statistical theory. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. Chichester: John Wiley \& Sons, Ltd. pp. ix+238 pp. ISBN 0-471-99545-2. MR 0489333.
Dharmadhikari, Sudhakar; Joag-Dev, Kumar (1988). Unimodality, convexity, and applications. Probability and Mathematical Statistics. Boston, MA: Academic Press, Inc. pp. xiv+278. ISBN 0-12-214690-5. MR 0954608.

Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994). Parametric Statistical Theory. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. MR 1291393.

Pečarić, Josip E.; Proschan, Frank; Tong, Y. L. (1992). Convex functions, partial orderings, and statistical applications. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 187. Boston, MA: Academic Press, Inc. pp. xiv+467 pp. ISBN 0-12-549250-2. MR 1162312.

[:0-1] Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). "Log-concave and log-convex functions". Convex Optimization. Cambridge University Press. pp. 104–108. ISBN 0-521-83378-7.

[Grechuk1-2] Grechuk, B.; Molyboha, A.; Zabarankin, M. (2009). "Maximum Entropy Principle with General Deviation Measures". Mathematics of Operations Research. 34 (2): 445–467. doi:10.1287/moor.1090.0377.

[3] 참조

[prekopa-4] Prékopa, András (1971). "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming". Acta Scientiarum Mathematicarum. 32: 301–316.

[5] 참조

[1]

[2]

[3]

[4]

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