일반화된 극단값 분포

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표기법	${\displaystyle {\textrm {GEV}(\mu,\,\sigma,\,\xi )}$
매개변수	㎕∈ R — 위치, σ > 0 — 척도, ξ ∈ R — 모양.
지원	x ∈ [ μ - μ / / ,, +)) > > 0일 때, x ∈(-∞, +∞) = 0일 때 x ∈(-∞, μ, μ - / / ] ])일 때 ξ < 0.
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{\proxma }\,t(x)^{\xi +1}e^{-t(x)},}$ where ${\displaystyle t(x)={\begin{cases}{\big (}1+\xi ({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}){\big )}^{-1/\xi }&{\textrm {if}}\ \xi \neq 0\\e^{-(x-\mu )/\sigma }&{\textrm {if}}\ \xi =0\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle e^{}}$${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle t^{}}$( ${\displaystyle x^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\$ x } 지원용
평균	${\displaystyle{\case}\mu +\case}\mu (g_{1}-1)/\xi &amp;{\text{if}\xi <1,\\\\\\mu +\comma \\\xi=0,\\complex &amp;\cext &amp;\case}}\}\case}}}}}\case}}}}}}\copend}}}}}\case}$ 여기서k g = γ(1 - kξ), 그리고 $\gamma {\displaystyle }${\$displaystyle \gamma}$은(는) 오일러의 상수다.
중앙값	${\displaystyle {\case}\mu +\frac {(\ln 2)^{-\xi 1}{\xi }{\cHIP}\xi \neq 0,\\\\mu -\ln \ln \ln \{\cext}}\xi =0.\end{case}}}$
모드	${\displaystyle {\case}\mu +\frac {(1+\xi )^{-\xi 1}{\xi 1}{\xi }{\cext{if}\xi \neq 0,\\\mu &{\text}\xi = 0.\end{case}}}$
분산	{σ 2(g2− g12)/ξ 2만약 ξ ≠ 0,ξ<12, σ 2π 26ξ=0∞ 만약 ξ ≥ 12,{\displaystyle{\begin{경우}\sigma ^ᆫ\,(g_{2}-g_{1}^{2})/\xi ^{2}&,{\text{만약}})\xi \neq 0,\xi<>{\frac{1}{2}},\\\sigma ^{2}\,{\frac{\pi ^{2}}{6}}&{\text{만약}})\xi =0,\\.\infty$&{\text{if}}\xi \geq {\frac {1}{1$}:{2$}},\end{case$ .
왜도	${\displaystyle {\displaysty}\sgname {sgn}(\xi ){\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{3}},\\{\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}&{\text{if}}\ \xi =0.\end{case}}}$ 여기서 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \displayname {sgn}(x)}$은(는) 기호 함수임 및 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \zeta (x)}$은(는) Riemann 제타 함수임
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}-3g_{2}^{2}+12g_{2}g_{1}^{2}-6g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}&{\text{if}}\ \xi \neq 0,\xi <{\frac {1}{4}},\\{\frac {12}{5}}&{\text{if}}\ \xi =0.\end{case}}}$
엔트로피	${\displaystyle \log(\displaystyle \log(\basma )\,+\\,\xi \,+\,\n1}$
MGF	[1]
CF	[1]

확률 이론과 통계에서 일반화된 극한값(GEV) 분포는^[2] 극한값 이론 내에서 개발된 연속 확률 분포의 계열로서 유형 I, II, III로도 알려진 금벨, 프레셰트, 와이불 패밀리를 결합한다.극단값 정리에 의해 GEV 분포는 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 시퀀스 중 적절한 정규화된 최대값의 유일한 한계 분포다.^[3]한계 분포가 존재해야 하며, 분포의 꼬리에 규칙성 조건이 있어야 한다는 점에 유의하십시오.그럼에도 불구하고, GEV 분포는 종종 난수 변수의 긴 (마인드) 시퀀스의 최대치를 모형화하기 위한 근사치로 사용된다.null

일부 적용 분야에서는 일반화된 극단값 분포를 Fisher-Tippett 분포로 알려져 있으며, 이 분포는 Ronald Fisher와 L. H. C의 이름을 따서 명명되었다. 아래에 요약된 세 가지 양식을 인식한 티펫.그러나 이 명칭의 사용은 때때로 금벨 분포의 특별한 경우를 의미하는 것으로 제한된다.세 가지 분포 모두에 대한 공통 기능 형태의 기원은 폰 미세스(Von Mises), R.(1936)에 의해 제공되었을 수 있다고 주장되지만^[5] 적어도 젠킨슨(Jenkinson, A. F.(1955)으로 거슬러 올라간다.^[4][6]null

사양

표준화된 변수 $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x -${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle s=(x-\mu )/\sigma \...}$ 여기서$$$$ $\mu {\displaystyle }$, ${\displaystyle \mu \...}$ 위치 파라미터는 임의의 실수가 될 수 있으며 > ${\displaystylement \sigma$ >$0}$은 GEV 분포의 누적 분포 함수가 된다.

$${\displaystyle F(s;\xi)={\begin{경우}\exp{\Bigl(}-\exp(-s){\Bigr)}&, ~~{\text{에}}~~\xi =0\\{}\\\exp{\Bigl(}-(1+\xi는 그것)^{-1/\xi}{\Bigr)}&, ~~{\text{에}}\neq, -1\\{}\\0&, ~~{\text{에}}~~\xi 을 0~~{\text{과}}~~\xi \,s> ~~\xi, 0~~{\text{과}}~~\xi\,s\leq -1\\{}\\1&, ~~{\text{에}}~~\xi<>0~~{\text{과}}~~\xi \,s\l.eq -1~,\end{경우}}}$$

여기서 형상 모수는${\displaystyle }parameter$ , ${\displaystyle \xi \...}$ 임의의 실제 숫자가 될 수 있다.따라서 ξ를 0{\displaystyle \xi>0},;,에 대한 표현 s>;− 1/ξ,{\displaystyle s>, -1/\xi \,,}ξ<>에;0{\displaystyle \xi<0}그것에<유효합니다;첫번째 경우에 − 1/ξ.{\displaystyle s<, -1/\xi \,.}, − 1/ξ{\displaystyle -1/\xi}은 부정적인 경우 l. 유효합니다ower end-point,${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 0이고, 두 번째 경우에는 -${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle -1/\xi }$이(가) 양의 위쪽 끝점이며$$, $여기$서 F ${\displaystyle F}$은 1이다.$\xi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \xi =0}$의 경우 두 번째$$ 식이 공식적으로 정의되지 않고 첫 번째 식으로 대체되며, 이는 두 번째 식을 제한한 ${\displaystyle \mathrm{결과}}$로${\displaystyle ,}$ $\$ → 0 {\$displaystyle \xi \$to 0}으로$,$ 이 경우$$ s {\$displaystystyle$ s$}$은 실제 숫자가 될 수 있다$$.null

In the special case of ${\displaystyle x=\mu \,,}$ so ${\displaystyle s=0}$ and ${\displaystyle F(0;\xi )=\exp(-1)}$ ≈ ${\displaystyle 0.368}$ for whatever values ${\displaystyle \xi }$ and ${\displaystyle \sigma }$ might have.null

표준화된 분포의 확률밀도함수는

$${\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-s)\exp {\Bigl (}-\exp(-s){\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0\\{}\\{\Bigl (}1+\xi s{\Bigr )}^{-(1+1/\xi )}\exp {\Bigl (}-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \,s>-1\\{}\\0&~~{\text{ otherwise, }}\end{cases}}}$$

> ${\displaystyle \xi$ > $, {\$displaystyle \xi $>0\}$에서 >/ $[\displaystyle$s]에$대해$다시 $유효$하며, 사례valid < ${\displaystyle \xi <0\,$ .} 밀도는 0이다.$사례{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \xi =0}$의 경우 밀도는 전체 실제 라인에서 양수다.null

누적분포함수는 변환불가능하므로 GEV분포의 정량함수는 명시적 표현, 즉,

$${\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{case}\mu -\sigma \log(}-\log \left(p\right)\,{\\bigr )&#{}}{}}}\ci =0~{\text{{{},{}}\p\p\p\in \p\p.\{}\\\mu +\displaystyle {{\,\sigma \,} \over {\,\xi \,}}\left({\Bigl (}-\log(p)\,{\Bigr )}^{-\xi }-1\right)&~{\text{ for }}~\xi >0~{\text{ and }}~p\in \left[0,1\right)\\{}&~{\text{{\text{}\\,\xi <0~{\text{ 및 }}~p\in (0,1]\,\case}}}}}$$

따라서 ${\displaystyle q\frac{density\mathrm{}}{}}$ d${\displaystyle \frac{}{}}({\displaystyle }$ Q d ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{\mathrm{}}}$) ${\$은(는$$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{다음}}{}}$과 같다.

${\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{\\\bigl (}-\log \left(p\right)\,{\\\bigr )^{\xi +1}\p\}\}}}}}}}}{{}}*xixi +1\xi#xi\ci#xi\p\chdata.$

> ${\$ 및 모든 실제 ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle ~\xi \;$에 유효하다.$}$

요약통계

분포에 대한 몇 가지 간단한 통계는 다음과 같다.^{[citation needed]}

${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$) =${\displaystyle \mu }$+ (${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sigma \frac{}{}}$ ${$ {\$displaystyle \operatorname {E}(X)=\mu +\left(g_{1}-1\오른쪽){\frac {\$$sigma$}}}}}}

${\displaystyle \operatorname {Var}(X)=\left(g_{2}-g_{1}^{1}^{2}\오른쪽){\frac {\sigma ^{2}}:{\xi ^2}},}}$

${\displaystyle \operatorname {Mode}(X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}}{\xi }}}}}:{\xi }^{-\xi }-1].}$

왜도는 ξ>0을 위한 것이다.

${\displaystyle \operatorname {skeweness}(X)={\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}g_{1}+2g_{1}}^{3}}}{(g_{2}-g_{1}^{2}}^{3/2}}:$

ξ<0의 경우, 분자의 기호가 거꾸로 되어 있다.null

과도한 첨도는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {kurtosis\ exput}(X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}g_{1}^{1}^{1}^{2}-3g_{1}^{4}}}}{{2}-g_{1}^{1}}}}}}-3}}}}}}}}}}}}}}}-3.}$

$여기$서 ${\displaystyle g_{}}$=$$${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle k}$ $ξ$${\displaystyle }$) ${\displaystyle g_{k}=\gamma(1-k\xi ),$k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$,$$$displaystyle$ k=1,2$,3,4$$},$$,($$)은$감마함수다.null

프레셰트, 웨이벌 및 금벨 가족에 대한 링크

$형상{\displaystyle }$ 매개변수 ▼ ${\displaystyle \xi }$이(가) 분포의 테일 동작을 제어한다$$.$\xi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \xi =0},$> 0 ${\displaystyle \xi$ >$0}$ 및 < 0 ${\displaystyle \xi <0}$에 의해 정의된 하위 패밀리는 각각 Gumbel, Fréchet 및 Weibull 패밀리와 일치하며, 누적 분포 함수는 다음과 같다.null

• ${\displaystyle }$ 또는 ${\displaystyle \mathrm{유형}}$ I 극단값 분포( (${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \xi =0$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=e^{-e^{-(x-\mu )/\sigma }\\;\\\\\text{for}\;\;x\in \mathb {R}}}$

• =α- 1> {\$displaystyle \xi =\alpha ^{-1}}$및 $y$ = ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \xi (x}$ -${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaysty y=1+\xi(x-\mu )/\sigma }$인 경우 프레셰트 또는 타입 II 극단값 분포.

${\displaystyle F(x;\mu,\sigma,\xi )={\begin{case}e^{-y^{-\alpha }}}0&y_leq 0.\end{case}}}$

• 반전된 Weibull 또는 타입 III 극값 분포(만약 =- - < ${\displaystyle \xi =-\alpha$^{-$1}$ 및${\displaystyle }$y${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 1\mathrm{}}$+ ${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle x}$- ${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sigma }$) ${\$ y$=-\reft(x-\mu )/sigma$\rigma \rigma \rigma \rigma \rigma \rigma \rigma \$rig)}).$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{case}e^{-y)^{-^{\alpha }}}{0\&y\1&y\geq 0\case}}}}$

아래 절에서는 이러한 분포의 특성에 대해 설명한다.null

최대값이 아닌 최소값 수정

여기서의 이론은 데이터 최대값과 관련되며 논의되고 있는 분포는 최대값의 극단값 분포다.예를 들어 분포함수에서 x를 x로 대체하고 1에서 빼면 데이터 미니마에 대한 일반화된 극단값 분포를 얻을 수 있다. 이는 별도의 분포 계열을 산출한다.null

Weibull 분포를 위한 대체 규약

일반적인 Weibull 분포는 신뢰성 애플리케이션에서 발생하며, 여기서 극단값 이론에서 사용되는 것과 대조적으로 엄격히 긍정적인 지지를 제공하는 $변수{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$- x ${\displaystyle t=\mu -x$를 사용하여 여기에서 분포로부터 얻는다.이는 일반적인 Weibull 분포가 데이터 최대값이 아닌 데이터 미니마를 다루는 경우에 사용되기 때문이다.이곳의 분포는 일반적인 형태의 Weibull 분포와 비교했을 때 추가 모수를 가지고 있으며, 또한 분포가 하한보다는 상한을 가지도록 역전된다.중요한 것은 GEV의 적용에서 상한을 알 수 없으므로 추정해야 하는 반면, 신뢰성 적용에서 일반적인 Weibull 분포를 적용할 때 하한을 0으로 알고 있다.null

분포 범위

세 가지 극한 값 분포에 대한 관심 범위의 차이점에 유의하십시오.옴벨은 무제한, 프레셰트는 하한, 역전된 웨이벌은 상한이다.보다 정확히 말하면 극한가치론(일변수론)은 초기의 법칙 X에 따라, 특히 꼬리에 따라 세 가지 중 어느 것이 제한법인가를 기술하고 있다.null

로그 변수 분포

One can link the type I to types II and III in the following way: if the cumulative distribution function of some random variable ${\displaystyle X}$ is of type II, and with the positive numbers as support, i.e. ${\displaystyle F(x;0,\sigma ,\alpha )}$, then the cumulative distribution function of ${\di$$splaystyle \ln X}$ is of type I, namely ${\displaystyle F(x;\ln \sigma ,1/\alpha ,0)}$. Similarly, if the cumulative distribution function of ${\displaystyle X}$ is of type III, and with the negative numbers as support, i.e. ${\displaystyle F(x;0,\sigma ,-\alpha )}$, then the${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ln(-X)}$의 누적 분포 함수는 I 유형이며$$, 즉 $F{\displaystyle (x}$;${\displaystyle }$- ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle F(x;-\ln \sigma ,1/\alpha ,0)$ 입니다$.$

로짓 모형에 연결(로지스틱 회귀 분석)

다항 로짓 모형 및 특정 유형의 로지스틱 회귀 분석은 오차 변수가 Gumbel 분포로 분포된 잠재적 변수 모델로 표현될 수 있다(I형 일반화된 극단값 분포).이 표현은 로짓 모델, 프로빗 모델, 그리고 그것들의 다양한 확장을 포함하는 이산선택 모델 이론에서 공통적이며, I형 GEV 분배 변수의 차이가 로짓 함수인 로짓 함수인 로짓 분포를 따른다는 사실에서 유래한다.따라서 유형 I GEV 분포는 해당 프로빗 모델에서 정상 분포와 동일한 역할을 한다.null

특성.

일반화된 극단값 분포의 누적 분포 함수는 안정성 추정 방정식을 해결한다.^{[citation needed]}일반화된 극단값 분포는 최대 안정 분포의 특별한 경우로서 최소 안정 분포의 변환이다.null

적용들

• GEV 분포는 보험에서 금융에 이르는 분야에서 "테일 리스크"의 치료에 널리 사용된다.후자의 경우, 위험의 가치와 같은 측정기준을 통해 다양한 재무위험을 평가하는 수단으로 여겨져 왔다.^[7][8]

• 그러나 결과 형상 모수는 정의되지 않은 평균과 분산을 초래하는 범위에 있는 것으로 확인되었으며, 이는 신뢰할 수 있는 데이터 분석이 종종 불가능하다는 사실을 강조한다.^[10]

• 수문학에서 GEV 분포는 연간 최대 1일 강우량 및 하천 방류와 같은 극단적인 사건에 적용된다.CumFreq와 함께 만들어진 파란색 그림은 GEV 분포를 연간 최대 일일 강우량에 맞추는 예를 보여주며, 또한 이항 분포를 기준으로 90% 신뢰 벨트를 보여준다.강우 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타낸다.

정규 분포 변수의 예제

(${\displaystyle X_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) i${\displaystyle i_{}}$ [ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\$은(는) 평균 0과 분산 1을 갖는 정규 분포 랜덤 변수를 i.i.d로 한다.Fisher-Tippett-Gnedenko 정리는 ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$∈${\displaystyle \underset{}{}}$[${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{]}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$~ G ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$(${\displaystyle {\mu n}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$μn , ,${\displaystyle \mathrm{n}{}_{}}$, 0 )${\displaysty \max _{i_{i}\sim GEV(\mu _{n}, sigma _{n},0)$를 알려준다$.$

$\$$\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\좌측(1-{\frac${1$}{n1}}\cdot$\cdot \$mathrm {e}^{-1}\우측)-\Phi ^{-1}\좌측(1-{\frac {1}{n}\우$)\$end{$liged

이를 통해 GEV 분포의 평균으로부터$$ ${\displaystyle \underset{}{최대}}$ ${\displaystyle \underset{}{i\in }}$ [${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{]}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$ [$n]}X_{i}}}$의 평균을 추정할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}$$E\left[\max] _{i\in [n]X_{i}\right]&\\\cHBFFF\\\\\n=1-\gamma )\\\\\\\\\\\\\$$에 대한 \mu _{n}+\gma \camma )\\\\\\\\$$Phi ^{-1}(1-1/n)+\gamma \Phi ^{-1}(1-1/(en)\$$\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{2\pi \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)}}\right)}}\cdot \left(1+{\frac {\gamma }{\log(n)}}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\log(n)}}\right)\right)\end{aligned}},}$ where ${\displaystyle \gamma }$ is the Euler–Mascheroni constant.null

관련 분포

1. If ${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )}$ then ${\displaystyle mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\,m\sigma ,\,\xi )}$
2. If ${\displaystyle X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\,\sigma )}$ (Gumbel distribution) then ${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
3. If ${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$ (Weibull distribution) then ${\displaystyle \mu \left(1-\sigma \mathrm {log} {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
4. If ${\displaystyle X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$ then ${\displaystyle \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$ (Weibull distribution)
5. If ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\,}$ (Exponential distribution) then ${\displaystyle \mu -\sigma \log {X}\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$
6. If ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$ and ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$ then ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\$$,}($로지스틱_distribution 참조).
7. If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$ then ${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\,}$ (The sum is not a logistic distribution).Note that ${\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$.

교정쇄

4. Let ${\displaystyle X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )}$, then the cumulative distribution of ${\displaystyle g(x)=\mu \left(1-\sigma \mathrm {log} {\frac {X}{\sigma }}\right)}$ is:

${\displaystyle {\begin{aigned}P(\mu \왼쪽(1-\sigma \log{X}{\sigma }\x)&=P\left(\log {\frac {X}{\x}{\sigma }}}}}{\frac {1-x/ma}{\}{sigma}}}}}}{sigma}}{sigma}}}}}}\rigma \오른쪽)\\&gt;{\text{logarithm은 항상 증가하므로:}}\\&, =P\left(X<, \sigma \exp \left[{\frac{1-x/\mu}{\sigma}}\right]\right)\\&, =1-\exp \left(-\left({\cancel{\sigma}}\exp \left[{\frac{1-x/\mu}{\sigma}}\right]\cdot{\cancel{\frac{1}{\sigma}}}\right)^{\mu}\right)\\&, =1-\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac{{\cancelto{}{1}}\mu -x/{\cancel{\mu}}}{\sigma}}\right]\right)^{\cancel{\mu}}년.맞다)\\&=1-\exp \exp \exp \left[{\frac]{\mu -x}{\nma }\ipt[-s\오른쪽]\=1-\exp \exp \exp 왼쪽[-s\오른쪽]\precomput s={x-\ma-}}}}}}}}정렬했다.$

즉$,{\displaystyle }$ ~ ${\displaystyle \text{GEV용}}$ cdf${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$) ${\displaystyle \sim {\textrm {GEV}(\mu ,\,\sigma ,\,0)}$ 입니다$.$

5. $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \text{지수}(1}$) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}(1)$의$$누적 분포는 g${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$ -${\displaystyle \mu }$ - μ - σ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ X ${\$는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\begin}P(\mu -\sigma \log {X}<X)&=P\왼쪽(\log(X)<{\frac {\mu -x}{\sigma }}\오른쪽)로그는 항상 증가하므로 \\&gt;{\text{\text}:}}\\&=P\왼쪽(X<\ex \frac({\mu -x}{\sigma }}\right)\&=1-\exp \reft[-\ex]{\frac({\mu -x}{\sigma }오른쪽)\\\\\\\\\\\\]\\\&=1-\exp \left[-\exp \lefts\right]\right],\flac s={\x-\mu}}{\nd{aigned}}}}}}$

이 값은 ${\displaystyle \text{GEV}(\mu ,}$ μ, ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle 0}$)의 누적 분포로, ${\displaystyle {\textrm {GEV}(\mu,\sigma,0)}$ 입니다$.$

참고 항목

• 극단값 이론(단일변수 이론)
• 피셔-티펫-그네덴코 정리
• 일반화 파레토 분포
• 독일 탱크 문제, 주어진 최대 표본 수에 대한 반대 질문
• 피칸스-발케마-데 하안 정리

참조

추가 읽기

• Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia; Mikosch, Thomas (1997). Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin: Springer Verlag. ISBN 9783540609315.
• Leadbetter, M.R., Lindgren, G. and Rootzén, H. (1983). Extremes and related properties of random sequences and processes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Resnick, S.I. (1987). Extreme values, regular variation and point processes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9.
• Coles, Stuart (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer-Verlag. ISBN 1-85233-459-2.