로가리듬 오목한계

수학에서 보렐 측정 μ는 n차원 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb{R$}{$n}}{n}}$에 대해 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$mathb <1, 1}의 콤팩트 하위 집합 A와 B가 있는 경우 로가리듬(또는 짧게 로그 콘베)이라고$$ 한다.

${\displaystyle \mu (1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}}}$

여기서 λ A + (1 - λ) B는 λ A와 (1 - λ) B의 민코스키 합계를 의미한다.^[1]

예

브룬-밍코프스키 불평등은 르베그 측정이 로그 콘케이브라고 주장한다.르베그 측정이 어떤 볼록 세트로 제한되는 것도 로그 콘케이브다.

보렐의 정리에 의해,^[2] 어떤 부속 하이퍼플레인에서 르베그 측정에 관한 밀도가 있는 경우에만 측정치가 로그 콘케이브이며, 이 밀도는 로그상 오목함수다.따라서 가우스 측도는 로그 콘베어(log-concave)이다.

Prékopa-Leindler 불평등은 로그 콘베어 조치의 경합이 로그 콘베어라는 것을 보여준다.

참고 항목

• 볼록 측정, 이 개념의 일반화
• 대수오목함수

참조