Lp 합계

수학에서, 특히 기능 분석에서, 바나흐 공간 계열의^p L 합은 가족 구성원의 제품 집합의 일부를 그 자체로 바나흐 공간으로 바꾸는 방법이다.그 건축은 고전적인^p L공간에 의해 동기가 부여된다.^[1]

정의

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ I ${\$은(는) 바나흐 공간의 가족으로$$, $여기$서 I ${\displaysty I}$은(는) 임의로 큰 카디널리티를 가질 수 있다$$.세트

${\displaystyle P:=\prod _{i\in I}X_{i}}}$

제품 벡터 공간

지수 세트 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 계수 측정($[\displaystyle \mu }$ } μ[\$displaystyle$\mu } } $$})을 부여할$$ 때 측정 공간이 되며, 각 요소$x$ ) ${\displaystyle I_{}}${ ${\in$ I$}\$in P}은$함수를 유도한다.$

${\displaystyle I\to \mathb {R},i\mapsto \ x_{i}\}$

따라서, 우리는 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Phi :P\to \mathb {R} \cupt \}}{\in I}\i\in \mapsto \int _{I}\x_{i}\ ^{p}\,d\mu (i)}$

그리고 나서 우리는 설정했다.

${\displaystyle \sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}}=\{i\in I}\mid \Phi((x_{i}_{i}_{i\in I})}<\poth}}}}}}}$

표준과 함께

${\displaystyle \ (x_{i})_{i\in I}\ :=\왼쪽(\int_{i\in I}\x_{i}\^{p}\,d\mu(i)\right)^{1/p}}$

결과는 표준화된 Banach 공간이며, 이것은 정확히 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$) I${\displaystyle {\mathrm{sum^<i>p</i>}}_{}}$ I ${\$ I$}$의 L 합이다$.$

특성.

• 무한히 많은 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\$ X_${i}$이 0이 아닌 원소를 포함할$$ 때마다 위의 규범에 의해 유도된 위상은 제품과 박스 위상 사이에 엄밀히 존재한다.
• 무한히 많은 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이 0이 아닌 원소를 포함할$$ 때마다 L^p 합은 제품도 아니고 공동 유도도 아니다.

참조