자기 레이놀즈 수

마그네틱 레이놀즈 번호_m(R)는 레이놀즈 번호의 마그네틱 아날로그로, 마그네토유체역학에서 발생하는 기본적인 차원 없는 그룹이다. 전도성 매체(흔히 유체)가 자기 확산에 미치는 움직임에 의해 자기장의 부착 또는 유도의 상대적 효과에 대한 추정치를 제공한다. 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m}={\frac {UL}{\eta}}}~\심각 {\frac {\mathrm {유도}{\mathrm {diffusion}}}}}}}}}}}}}$

어디에

• ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$은(는) 흐름의 일반적인 속도 척도임
• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$은(는) 흐름의 일반적인 길이 척도임
• ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$은(는) 자기 확산성임

전도유체의 운동이 자기장을 생성하는 메커니즘은 다이너모 이론의 대상이다. 그러나 자기 레이놀즈 수가 매우 크면 확산과 다이너모는 덜 걱정되며, 이 경우 집중은 대신 흐름에서 자기장의 영향에 의존한다.

파생

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 두 가지 유형의 단위(가우스 cgs 및 SI MKS)가 공통적인 플라즈마 물리학에서 널리 사용되고$$ 있는데, 이는 가우스 cgs 단위는 물리적 추론이 보다 명확한 더 깨끗한 파생을 허용하기 때문에 두 단위 세트로 적을 가치가 있기 때문이다. 자력유체역학 이론에서 자기장에 대한 전송 $방정식$인 B ${\$ $\}$은(는) 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t}{\partial t}=\nabla \times \mathbf {B}}}{\rho _{o}}}\nabla ^{2}\mathbf {B}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

SI mks 단위로,

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t}}{\mathbf {u}\times \mathbf {B}}}+{\rho _{e}c^{4\pi }}\nabla^{2}\mathbf {B}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

가우스 cgs 단위에서는 자유 공간 ${\displaystyle {\mu o}_{}}$ ${\$광 c {\$displaystyle$ c$\},$ 유체 $속도{\displaystyle }$ $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 저항$$$ivity{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$의 단위는 SI mks에서는 옴-m이고$$ 가우스 cgs에서는 초이다. 이러한 각 방정식의 최종 항은 확산 용어로서, $키네마틱{\displaystyle }$ 확산 계수 { ${\displaystyle \eta}$은 단위 시간 당 거리 제곱 단위를 가지며$$, $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ B ${\$을 곱하는 요인이 된다$.$ 따라서 이 두 방정식의 단위 독립형 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t}=\nabla \times (\mathbf {u}\times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B}.}}}}}$

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ is the ratio of the two terms on the right hand side, on the assumption that they share the scale length ${\displaystyle L}$ such that ${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$ in both terms, and that the scale of ${\displaystyle \mathbf {u} }$ is ${\$$displaystyle$ U$\}.$ 이렇게 하면 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m}={\frac {UL}{\eta}}={\frac {UL\mu_{o}}{\rho_{e}}}}}}}}}}$

SI mks 단위로,

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m}={\frac {UL}{\eta }}}={\frac {4\pi UL}{\rho _{e}c^{2}}:$

가우스 cgs 단위로.

$\eta {\displaystyle }${\$displaystyle \eta }$은(는$)$ 자기 확산성 및 플라즈마의 저항성 모두에 일반적으로 사용되며$$, SI mks 단위의 관계는 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {\rho }_{}}$ e /${\displaystyle {}_{}\mu {}_{}}$ μ ${\displaystyle o_{}}$ ${\$ _${e}/\mu _{o$가 되기 때문에 종종 혼동이 발생한다.

대_m·소 R의 일반적 특성

$R{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\ll }_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \matrm {R} _{\matrm {}}\ll$ 1$\}$의 경우, 비교적 중요하지 않기 때문에 자기장은 흐름보다는 경계 조건에 의해 결정되는 순수하게 확산되는 상태를 향해 이완하는 경향이 있을 것이다.

$R{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\gg }_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \matrm {R} _{\matrm {}\g 1$의 경우, 길이 척도 L에서는 확산이 상대적으로 중요하지 않다. 그리고 나서 자기장의 플럭스 라인은 충분히 짧은 길이 스케일의 영역에 그라데이션과 같은 시간이 집중될 때까지 유체 흐름과 결합되어 확산이 균형을 맞출 수 있다.

값의 범위

태양은 거대하고 큰 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 순서가 있다⁶$.$^{[citation needed]} 소산 영향은 일반적으로 작으며, 확산에 대한 자기장을 유지하는 데 어려움이 없다.

지구의 경우, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm{m}}}}$ 순서가 10으로³ 추정되며$$,^[1] 소산은 더 유의하지만, 액체 철 외심에서는 자기장이 움직임에 의해 지지된다. 태양계에는 목성, 토성, 수성과 같은 작동 발전기가 있는 다른 물체들과 화성, 금성, 달과 같은 다른 물체들이 있다.

인간 길이 척도는 ${\displaystyle \mathrm{매우}}$ 작아서 일반적으로 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $m{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\ll }_{}}$ 1 ${\displaystyle \matrm {R} _{\matrm {m} \ll$ 1$\}$ . 전도유체의 움직임에 의한 자기장의 생성은 수은이나 액화나트륨을 이용한 소수의 대규모 실험에서만 이루어졌다. ^[2][3][4]

경계

예를 들어 퀴리 온도 이상에서 $자기장{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ m {\$displaystyle \$matrm {R} $_{\$matrm${m}}}}$을(를) 유지하기 위해 영구 자화가 불가능한 상황에서는 유도가 확산보다 클 정도로 충분히 커야 한다$$. 유도에 중요한 것은 속도의 절대적 크기가 아니라 자기장 선을 뻗고 접는 흐름의 상대적 차이와 피복이다.^[5] 그러므로 이 경우 자기장 번호에 더 적합한 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {\hat {R} _{\mathrm {m}={\frac {L^{2}S}{\eta }}}}}}}}$

여기서 S는 스트레인의 척도다. 가장 잘 알려진 결과 중 하나는 백커스(Backus)에 기인한 것으로서, 구내에서 흐름으로 자기장을 생성하기$$ 위한 $최소{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이(가) 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle \mathrm {\hat {R} _{\mathrm {m}\geq \pi ^{2}}$

여기서 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle L=a}$은 구의 반지름이고 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\displaystyle a_{}}$ x ${\$S=$e_{max}}$는 최대 변형률이다. 이 바운드는 프록터에 의해 약 25% 개선되었다.^[7]

흐름에 의한 자기장 생성에 대한 많은 연구들은 계산적으로 합당한 주기적 큐브를 고려한다. 이 경우 최소값은 다음과^[8] 같은 것으로 확인된다.

${\displaystyle \mathrm {\hat {R} _{\mathrm {m} }=2.48}$

where ${\displaystyle S}$ is the root-mean-square strain over a scaled domain with sides of length ${\displaystyle 2\pi }$. If shearing over small length scales in the cube is ruled out, then ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$ is the minimum, where ${\displaystyle U}$ is the root-mean-제곱 값

레이놀즈 번호와 페클레 번호와의 관계

자석 레이놀즈 번호는 페클레 번호와 레이놀즈 번호 둘 다와 비슷한 형태를 가지고 있다. 이 세 가지 모두 특정 물리적 영역에 대해 확산 효과에 대한 부가적인 비율을 주는 것으로 간주할 수 있으며, 유사한 형태의 속도를 길이 곱한 값으로 나눈 값이다. 자기 레이놀즈 번호는 MHD 흐름에서 자기장과 관련이 있고, 레이놀즈 번호는 유체 속도 자체와 관련이 있으며, 페클레 번호는 열과 관련이 있다. 치수 없는 그룹은 각 지배 방정식, 유도 방정식, 운동 방정식, 열 방정식의 비차원화에서 발생한다.

와이드 전류 제동과의 관계

치수가 없는 자기 레이놀즈 번호인 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$도 물리적인 액체가 관여되지 않은 경우에 사용된다$.$

${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\mu \sigma }}$ ${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }×$ (특성 길이) × (특성 속도)

어디에

$[\displaystyle \mu }$은(는) 자기 투과성이다.

${\displaystyle \sigma }$ $[\displaystyle \sigma$}}은(는$$) 전기 전도성이다.

< ${\displaystyle R_{m}<1}$의 경우 피부 효과는 무시할 수 있으며 와이드 전류 제동 토크는 유도 모터의 이론적 곡선을 따른다.

> ${\displaystyle R_{m}}>30}$의 경우 피부 효과가 지배적이며 유도 모터 모델에 의해 예측된 속도보다 속도가 증가하면서 제동 토크가 훨씬 느리게 감소한다.^[9]

참고 항목

• 룬키스트 수
• 자기유체역학
• 레이놀즈 수
• 페클레 수

참조

추가 읽기

• Moffatt, H. Keith, 2000년 "자석유체역학에 대한 성찰"^{[dead link]} In: Perspects in Fluid Dynamics (ISBN 0-521-53169-1) (Ed. G.K. Batchelor, H.K. Moffatt & M.G. Worster) Cambridge University Press, 페이지 347–391).
• P. A. Davidson, 2001, Cambridge University Press (ISBN 0-521-79487-0) 자석유체역학 소개.