순진한 집합론

순진한 집합론은 ^[3]수학의 기초에 대한 논의에서 사용되는 집합의 여러 이론 중 하나이다.형식 논리를 사용하여 정의되는 공리 집합론과 달리, 순진한 집합론은 비공식적으로, 자연 언어로 정의된다.이산 수학에서 친숙한 수학 집합의 측면(예: 벤 다이어그램과 부울 대수에 대한 상징적 추론)을 설명하고 현대 ^[4]수학에서 집합론 개념을 일상적으로 사용하는 데 충분하다.

집합은 수학에서 매우 중요하다; 현대의 공식 처리에서, 대부분의 수학적 객체(숫자, 관계, 함수 등)는 집합의 관점에서 정의된다.순진한 집합론은 많은 목적으로 충분하며, 더 공식적인 치료로 가는 디딤돌이 되기도 한다.

방법

"순진한 집합론"의 의미에서의 순진한 이론은 공식화되지 않은 이론, 즉 집합과 연산을 설명하기 위해 자연 언어를 사용하는 이론입니다.그리고 만약... 그러면, 어떤 사람들에게는, 모든 것이 일반적인 수학처럼 취급되지 않는다.편의상, 순진한 집합론과 그 형식주의의 사용은 심지어 집합론 자체의 보다 공식적인 설정을 포함한 고등 수학에서도 우세하다.

집합론의 첫 번째 발전은 순진한 집합론이었다.그것은 19세기 말에 게오르크 칸토르가 무한 집합^[5] 연구의 일환으로 만들었고 Gottlob Frege가 그의 Grundgesetze der 산술메틱에서 개발했다.

순진한 집합론은 몇 가지 매우 뚜렷한 개념을 언급할 수 있다.를 참조할 수 있습니다.

예를 들어 Paul Halmos의 Naigive 집합론에서와 같은 자명한 집합론의 비공식적인 프레젠테이션.
게오르크 칸토르의 이론과 기타 비공식 시스템의 초기 또는 이후 버전.
러셀의 역설과 주세페^[7] 페아노와^[6] 리처드 데데킨드의 이론과 같이 확실히 모순된 이론(자율적이든 아니든)이다.

패러독스

어떤 속성도 제한 없이 집합을 형성하기 위해 사용될 수 있다는 가정은 역설로 이어진다.한 가지 일반적인 예는 러셀의 역설이다: "자신을 포함하지 않는 모든 집합"으로 구성된 집합은 없다.따라서 순진한 집합론의 일관된 시스템은 집합을 형성하기 위해 사용될 수 있는 원리에 대한 몇 가지 제한을 포함해야 한다.

칸토르의 이론

어떤 사람들은 게오르그 칸토르의 집합론이 실제로 집합 이론의 역설에 관련되지 않았다고 믿는다.이것을 확실히 결정하는데 한 가지 어려움은 칸토어가 그의 시스템의 공리화를 제공하지 않았다는 것이다.1899년까지, 칸토르는 그의 이론의 무제한적인 해석으로부터 오는 역설들, 예를 들어 칸토르의 역설과^[8] 부랄리-포르티 ^[9]역설들을 알고 있었고, 그들이 그의 ^[10]이론을 신뢰하지 않는다고 믿지 않았다.칸터의 역설은 실제로 P $(x)$ "x는 기수"에 사용되는 집합의 형성에 $사용$ 될 수 있다는 위의 (거짓) 가정으로부터 도출될 수 있다.프레게는 순진한 집합론의 정형화된 버전이 해석될 수 있는 이론을 분명히 공리화했고, 버트런드 러셀이 그의 역설들을 제시했을 때, 언급했듯이, 아마도 몇 가지 역설들을 알고 있었던 칸토르 이론이 아니라, 실제로 이 형식적인 이론을 다루었다.

자명한 이론

공리 집합론은 집합을 이해하려는 이러한 초기 시도에 대응하여 어떤 연산이 허용되고 언제 허용되는지 정확하게 결정하는 것을 목표로 개발되었습니다.

일관성.

순진한 집합론은 고려될 수 있는 집합을 올바르게 지정한다면 반드시 일관성이 없는 것은 아닙니다.이것은 암묵적인 공리인 정의를 통해 이루어질 수 있다.할모스의 순진한 집합론의 경우와 같이 모든 공리를 명시적으로 진술할 수 있는데, 이것은 실제로 일반적인 공리적인 체르멜로-프랭켈 집합론의 비공식적인 표현이다.언어와 표기가 일반적인 비공식 수학의 그것이라는 점과 공리 시스템의 일관성이나 완전성을 다루지 않는다는 점에서 "순진"하다.

마찬가지로, 자명한 집합론은 반드시 일관성이 있는 것은 아니다: 반드시 모순이 없는 것은 아니다.괴델의 불완전성 이론으로부터, 충분히 복잡한 1차 논리 체계(가장 일반적인 공리 집합 이론 포함)는 이론 자체로부터 - 비록 그것이 실제로 일치하더라도 - 일관성을 증명할 수 없다는 것이 뒤따른다.하지만, 일반적인 공리체계는 일반적으로 일관성이 있다고 믿어진다; 그들의 공리에 의해 러셀의 역설과 같은 몇몇 역설은 배제된다.괴델의 정리에 근거해, 이러한 이론이나 1차 집합 이론에서 전혀 모순이 없다면, 전혀 알려지지 않고, 결코 그럴 수 없다.

순진한 집합론이라는 용어는 현대의 자명한 집합론의 비공식적인 대응보다는 프레게와 칸토르가 연구한 집합론을 언급하기 위해 오늘날에도 여전히 일부 문헌에서^{[citation needed]} 사용되고 있다.

효용.

자명한 접근법과 다른 접근법 사이의 선택은 대체로 편의상의 문제이다.일상적인 수학에서 최선의 선택은 자명한 집합론을 비공식적으로 사용하는 것일 수 있다.특정 공리에 대한 참조는 일반적으로 전통에 의해 요구될 때만 발생한다. 예를 들어 선택 공리는 사용될 때 종종 언급된다.마찬가지로, 형식적인 증명은 예외적인 상황에 의해 정당화될 때만 발생한다.이 공리 집합론의 비공식적인 사용은 (표기에 따라) 아래에 요약된 것처럼 순진한 집합론의 모습을 정확하게 가질 수 있다.읽기 및 쓰기(대부분의 진술, 증명 및 논의 행의 공식화)가 엄격히 공식적인 접근법보다 훨씬 쉽고 오류 발생률이 낮습니다.

세트, 멤버십 및 동등성

순진한 집합론에서 집합은 잘 정의된 개체의 집합으로 설명됩니다.이러한 개체를 집합의 요소 또는 구성원이라고 합니다.개체는 숫자, 사람, 기타 집합 등 무엇이든 될 수 있습니다.예를 들어, 4는 모든 짝수 정수 집합의 멤버입니다.짝수 집합은 무한히 크므로 집합이 유한할 필요는 없습니다.

Georg Cantor의 원래 집합 정의가 있는 통로

세트의 정의는 Georg Cantor로 거슬러 올라간다.그는 1915년 그의 기사 Beitrége zur Begründung der transiniten Menglehre에서 다음과 같이 썼다.

'Menge' versteen wir Jede Zusamenfassung M von bestimmten wohlunterschieden Objekten 언프레서 안샤웅 오더 언프레서 덴켄스(Elemente von Genannt werden) zu em Ganzen – Geen – Geinem Gen – Georg.

"세트는 우리의 지각이나 생각의 확실하고 뚜렷한 대상들, 즉 세트의 요소라고 불리는 전체로 모이는 것입니다." – 게오르크 칸토어

Giuseppe Peano의 작품 산술적 원리 nova methodo exposita에서 기호 ①의 첫 사용.

일관성에 관한 주의사항

이 정의에서는 집합이 어떻게 형성될 수 있는지, 그리고 집합에서 어떤 연산이 집합을 다시 생성하는지 설명하지 않습니다."잘 정의된 객체 집합"에서 "잘 정의된"이라는 용어 자체는 정확하게 구성되는 것과 집합을 구성하지 않는 것의 일관성과 명확성을 보장할 수 없다.이를 달성하기 위한 시도는 자명한 집합론 또는 자명한 계급론의 영역일 것이다.

이 맥락에서, 어떤 특정한 공리 이론에서 파생되지 않고 비공식적으로 공식화된 집합 이론의 문제는, 새로운 집합이 어떻게 형성될 수 있는지에 대한 다른 규칙과 모든 것이 원래의 비공식적 정의에 부합하는 여러 개의 서로 다른 공식화된 버전이 있을 수 있다는 것이다.예를 들어, 칸토르의 말 그대로의 정의는 집합을 구성하는 것에 상당한 자유를 허용한다.반면에, 칸토어가 고양이와 개가 들어 있는 세트에 특별히 관심을 가졌을 것 같지는 않고, 오히려 순수하게 수학적인 물체가 들어 있는 세트에만 관심을 가졌을 것이다.그러한 집합의 한 예는 폰 노이만 우주일 수 있다.그러나 고려 중인 집합의 클래스를 수정할 때에도 역설 없이 어떤 집합 형성 규칙이 허용되는지 항상 명확하지는 않습니다.

아래의 논의를 수정하기 위해, 대신 "잘 정의된"이라는 용어는 불일치를 배제하기 위한 암묵적 또는 명시적 규칙(축 또는 정의)을 가진 의도로 해석되어야 한다.그 목적은 종종 심오하고 어려운 일관성의 문제를 보통 단순한 문맥에서 멀리 떨어뜨리는 것입니다.생각할 수 있는 모든 모순(파라독스)의 명시적 배제는 어쨌든 괴델의 두 번째 불완전성 정리 때문에 공리 집합론에 대해 달성될 수 없기 때문에, 이것은 아래에 고려된 단순한 맥락에서의 공리 집합론과 비교하여 순진한 집합론의 효용성을 전혀 방해하지 않는다.그것은 논의를 단순화할 뿐이다.그러므로 일관성은 명시적으로 언급되지 않는 한 당연시 된다.

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x가 집합 A의 멤버인 경우, x가 A에 속하거나 x가 A에 속한다고도 합니다.이것은 x ÷ A로 나타납니다.기호 is는 1889년 주세페 페아노가 도입한 그리스어 소문자 엡실론 엡실론에서 파생된 것으로, 엡실론(is)의 첫 글자이다.기호 is는 종종 "x가 A에 없다"는 뜻의 x , A를 쓸 때 사용됩니다.

평등

두 집합 A와 B는 정확히 동일한 요소를 가지고 있을 때, 즉 A의 모든 요소가 B의 요소이고 B의 모든 요소가 A의 요소일 때 동일하도록 정의된다(확장성 공리 참조).따라서 집합은 그 요소에 의해 완전히 결정되며 설명은 중요하지 않습니다.예를 들어 요소 2, 3, 5가 있는 집합은 6보다 작은 모든 소수 집합과 동일합니다.집합 A와 B가 같을 경우, A = B(통상대로)로 기호적으로 표시됩니다.

빈 집합

빈 세트(종종 and 또는 $\{\}$ { $}$ { $displaystyle$ \ { \ $\{\}$ )는 멤버가 전혀 없는 세트입니다.집합은 그 요소에 의해 완전히 결정되므로 빈 집합은 하나만 있을 수 있습니다(빈 집합의 공리 참조).빈 세트에는 멤버가 없지만 다른 세트의 멤버가 될 수 있습니다.따라서 전자는 멤버가 없고 후자는 멤버가 1개이기 때문에 ø { {},}이다.수학에서, 관심을 가질 필요가 있는 유일한 집합은 빈 집합에서만 ^[11]쌓일 수 있다.

세트 지정

세트를 설명하는 가장 간단한 방법은 해당 요소를 중괄호(확장적으로 세트를 정의하는 것으로 알려져 있음) 사이에 나열하는 것입니다. $따라서$ {1 $,2}$ 은 요소가 $1$ 과 $2인$ 집합을 나타냅니다(쌍의 공리 참조).다음의 점에 주의해 주세요.

요소의 순서는 중요하지 않습니다(예: {1 $,2}$ = {2 $, 1}).$
요소의 반복(불규칙성)은 관련이 없습니다(예: {1 $,$ $2, 2$ ) = { $1, 1, 2$ , 2}= {1 $, 2}).$

(이것들은 이전 섹션의 평등 정의의 결과이다.)

이 표기법은 모든 개의 집합을 나타내는 {dogs $}와$ 같은 말로 비공식적으로 남용될 수 있지만, 수학자들은 보통 이 예를 "단일 요소 개를 포함하는 집합"으로 읽습니다.

이 표기법의 극단적인(올바른) 예는 빈 집합을 나타내는 ${}$ 입니다.

${x$ : $P (x)},$ 또는 $때로는$ { $x P ($ x)} 표기법은 $조건$ P가 보유하는 모든 개체를 포함하는 집합을 나타내기 위해 사용됩니다(일정을 의도적으로 정의하는 것으로 알려져 있음).예를 들어 { $x$ : $x r$ R $}은$ 실수의 집합을 나타내고 ${x$ : $x has blond$ hair $}$ 는 금발의 모든 것의 집합을 나타냅니다.

이 표기법을 세트빌더 표기법(특히 기능 프로그래밍의 맥락에서 "set comprehence")이라고 합니다.set builder 표기법에는 다음과 같은 종류가 있습니다.

${x a$ A : $P (x)}$ 는 $조건$ P가 x에 $대해$ 유지되도록 이미 $A$ 의 $멤버$ 인 모든 x의 집합을 나타냅니다. 예를 들어 $Z$ 가 정수 집합인 $경우$ { $x)$ Z : x $is$ equal $}$ 는 모든 짝수 정수의 집합입니다(사양 공리 참조).
${F (x)$ : $x a$ A $}$ 는 $집합$ A의 멤버를 $식$ F에 대입하여 얻은 모든 객체의 집합을 나타냅니다.예를 들어 { $2x$ : $x z$ Z $}$ 는 다시 모든 짝수 정수의 집합입니다(치환 공리 참조).
{ $F (x)$ : $P (x)}$ 은(는) set builder 표기법의 가장 일반적인 형식입니다 $.$ 예를 들어 { $x의 소유자: x는 개}$ 는 모든 개 소유자의 집합입니다.

서브셋

2개의 세트 A와 B가 주어졌을 때 A의 모든 요소가 B의 요소라면 A는 B의 서브셋이다.특히, 각 집합 B는 그 자체의 서브셋입니다.B와 동일하지 않은 B의 서브셋을 적절한 서브셋이라고 부릅니다.

A가 B의 서브셋이라면 B가 A의 슈퍼셋이거나 A가 B에 포함되어 있거나 B가 A를 포함하고 있다고 할 수도 있다.기호에서 A b B는 A가 B의 서브셋임을 의미하고 B a A는 B가 A의 슈퍼셋임을 의미한다.서브셋에 ,과 for를 사용하는 저자도 있고, 적절한 서브셋에만 이러한 기호를 사용하는 저자도 있습니다.명확하게 하기 위해 기호 and과 기호 to를 사용하여 부등식을 나타낼 수 있습니다.

예를 들어 R을 실수의 집합, Z를 정수의 집합, O를 홀수 정수의 집합, P를 현재 또는 이전 미국 대통령의 집합으로 합니다.다음으로 O는 Z의 서브셋, Z는 R의 서브셋, (따라서) O는 R의 서브셋이며, 모든 경우 서브셋은 적절한 서브셋으로 읽힐 수 있습니다.모든 세트가 이 방법으로 비교되는 것은 아닙니다.예를 들어, R이 P의 서브셋이거나 P가 R의 서브셋인 경우는 없습니다.

위의 집합의 동일성에 대한 정의에서 바로 뒤이어, 두 집합 A와 B가 주어졌을 때, A b B와 B a A일 경우에만 A = B이다. 사실 이것은 종종 동등성의 정의로 주어진다.보통 두 집합이 동일하다는 것을 증명하려고 할 때, 하나는 이 두 가지 포함을 보여주는 것을 목표로 합니다.빈 집합은 모든 집합의 서브셋입니다(빈 집합의 모든 요소도 임의의 집합 A의 멤버라는 스테이트먼트는 vacy true입니다).

특정 세트 A의 모든 서브셋 세트를 A의 전원 세트라고 하며, $(\$ 2 $^{A})$ $P(A)$ P $(\displaystyle$ P $(A$ 로 $P(A)$ .P는 스크립트 글꼴로 표시되는 경우가 있습니다.세트 A에 n개의 요소가 있는 $P(A)$ $P(A)$ A $)$ { $displaystyle P($ A)}에는 $P(A)$ $2^{n}$ 의 $\$ 2 $^{n}$ 개의 $2^{n}$ 요소가 $2^{n}$ .

범용 집합 및 절대 보완

특정 컨텍스트에서는 고려 대상인 모든 세트를 특정 범용 집합의 서브셋으로 간주할 수 있습니다.예를 들어, 실수 R(및 R의 부분 집합)의 특성을 조사할 때는 R을 범용 집합으로 간주할 수 있다.진정한 보편 집합은 표준 집합 이론에는 포함되지 않지만(아래 패러독스 참조), 일부 비표준 집합 이론에는 포함됩니다.

범용 집합 U와 U의 부분 집합 A가 주어지면, A의 보완은 다음과 같이 정의된다.

A^C : = {x ∈ U : x ∉ A } 。

즉^C, A는 A의 멤버가 아닌 U의 모든 멤버의 집합이다.따라서 부분 집합의 섹션과 같이 R, Z 및 O가 정의되어 있는 경우^C, Z가 유니버설 집합이면 O는 짝수 집합이고, R이 유니버설 집합이면^C O는 짝수이거나 전혀 정수가 아닌 모든 실수의 집합입니다.

조합, 교차로 및 상대적 보완

2개의 집합 A와 B가 주어졌을 때, 이들의 합집합은 A, B 또는 양쪽의 요소인 모든 물체로 구성된 집합이다(합집합 공리 참조).그것은 A b B로 나타난다.

A와 B의 교차는 A와 B에 있는 모든 물체의 집합이다.그것은 A b B로 나타난다.

마지막으로, A와 B의 집합 이론차라고도 하는 A에 대한 B의 상대적인 보수는 A에 속하지만 B에 속하지 않는 모든 물체의 집합이다.A \ B 또는 A - B로 표기되어 있습니다.

상징적으로, 이것들은 각각

A ∪ B : = {x : (x a A) 또는 (x b B)}

A b B : = {x : (x a A) 및 (x b B)} = {x a A : x b B } = {x b B : x a A};

A \ B : = {x : (x a A ) 、 not (x b B ) = {x a A : not (x b B ) 。

집합 B가 A \ B에 대해 A의 서브셋일 필요는 없습니다. 이것은 이전 섹션의 상대 보와 절대 보의 차이입니다. (A^C = U \ A)

이 아이디어를 설명하기 위해 A를 왼손잡이의 세트로 하고 B를 금발의 세트로 한다.그럼 A는 모든 왼손잡이의 금발 머리 세트, A는 모든 왼손잡이의 금발 머리 세트 또는 둘 다 세트입니다.반면 A는 왼손잡이지만 금발이 아닌 모든 사람들의 집합이고, B는 금발이지만 왼손잡이가 아닌 모든 사람들의 집합이다.

이제 E를 만인의 집합으로 하고 F를 만물의 집합으로 하자.이 경우 E f F는 무엇입니까?1000년 이상 된 인간은 없으므로 E f F는 빈 집합 {}이어야 합니다.

모든 집합 A에 대해 $P(A)$ P $)$ { $displaystyle$ P $(A)}$ 는 $P(A)$ 합집합 및 교집합 연산에 따른 부울 대수입니다.

주문 쌍 및 데카르트 제품

직관적으로 순서쌍은 단순히 두 개체의 집합으로, 하나는 첫 번째 요소로, 다른 하나는 두 번째 요소로 구분할 수 있으며, 두 개의 순서쌍은 첫 번째 요소가 동일하고 두 번째 요소가 동일한 경우에만 동일하다는 기본 특성을 가집니다.

공식적으로는 (a, b)로 표시되는 제1좌표 a와 제2좌표 b를 갖는 순서쌍은 집합 {{a}, {a, b}로 정의할 수 있다.

따라서 a = c 및 b = d인 경우에만 두 순서 쌍(a,b)과 (c,d)이 동일하다.

또는 순서쌍은 공식적으로 전체 순서를 가진 집합 {a,b}으로 생각할 수 있습니다.

(표기법(a, b)은 실수행의 오픈인터벌을 나타내기 위해서도 사용되고 있습니다만, 컨텍스트에 의해서 어떤 의미가 의도되고 있는지를 명확하게 할 필요가 있습니다.그 이외의 경우는, 오픈 간격을 나타내기 위해서, ]a, b[ 라고 하는 표기가 사용되는 경우가 있습니다만, 순서쌍에는 (a, b) 가 사용됩니다.

A와 B가 세트일 경우 데카르트 곱(또는 단순 곱)은 다음과 같이 정의된다.

A × B = {(a,b) : a는 A에 있고 b는 B에 있습니다.

즉, A × B는 첫 번째 좌표가 A의 원소이고 두 번째 좌표가 B의 원소인 순서쌍의 집합이다.

이 정의는 순서 3배 집합 A × B × C로 확장될 수 있으며, 보다 일반적으로 양의 정수 n에 대한 순서 n-튜플 집합으로 확장될 수 있다.무한 데카르트 제품을 정의할 수도 있지만, 이를 위해서는 제품에 대한 보다 정확한 정의가 필요합니다.

데카르트 산물은 해석 기하학의 맥락에서 르네 데카르트에 의해 처음 개발되었다.R이 모든 실수의 집합을 나타내면, R² : = R × R은 유클리드 평면을 나타내며, R³ : = R × R × R은 3차원 유클리드 공간을 나타낸다.

중요한 세트

표기법이 거의 보편화된 유비쿼터스 집합이 있습니다.이들 중 일부는 다음과 같습니다.이 리스트에서 a, b, c는 자연수를 나타내고 r과 s는 실수입니다.

자연수는 숫자를 셀 때 사용된다.대부분의 경우 칠판 굵은 $\mathbb {N}$ N $(\displaystyle$ \mathbb { $N$ )은 이 집합을 나타냅니다.
정수는 x + a = b와 같은 방정식에서 x에 대한 해로 나타납니다. 칠판 굵은 대문자 Z( $\mathbb {Z}$ Z ${\displaystyle \mathbb$ {Z} $\mathbb {Z}$ } )는 종종 이 집합을 나타냅니다(독일어 Zahlen에서 숫자를 의미).
유리수는 a + bx = c와 같은 방정식에 대한 해로 나타납니다. 칠판 굵은 대문자 Q( $Q$ displaystyle $\mathbb$ {Q} $}$ )는 종종 이 집합을 나타냅니다(R은 실수 집합에 사용되기 때문에 몫).
대수적 숫자는 (정수 계수와 함께) 다항식 방정식에 대한 해로 나타나며, ( $i$ - $i={\sqrt {-1\,}}$ { $style$ i $=sqrt$ {- $1$ $i={\sqrt {-1\,}}$ ) 및 다른 비합리적인 숫자를 포함할 수 있다.대부분의 경우 오버라인을 가진 $({$ mathbb { $Q$ 가 이 세트를 나타냅니다.오버라인은 대수적 폐쇄 연산을 나타냅니다.
실수는 "실선"을 나타내며, 유리수로 근사할 수 있는 모든 숫자를 포함합니다.이 숫자들은 유리하거나 대수적일 수 있지만, 합리적인 계수를 가진 다항식 방정식에 대한 해로 나타날 수 없는 초월수일 수도 있다.대부분의 경우 칠판 굵은 $\mathbb {R}$ R $(\$ )은 이 집합을 나타냅니다.
복소수는 $r+s\,i$ 와 허수의 합계입니다 $r+s\,i$ + $r+s\,i$ i { $displaystyle$ r + $s$ $r$ , $i$ } 。여기서r { $displaystyle$ r} $또는$ s { $displaystyle$ s $s$ } (또는 둘 다)는 0이 될 수 있습니다.따라서 실수의 집합과 엄밀한 허수 집합은 복소수의 부분 집합이며, 이 부분 집합이 됩니다.실수 집합, 즉 R $(\$ 에 $\mathbb {R}$ 계수가 있는 모든 다항식이 이 집합에서 하나 이상의 루트를 가집니다.대부분의 경우 칠판 굵은 $\mathbb {C}$ C $(\$ )는 이 집합을 나타냅니다. $r+s\,i$ r + $r+s\,i$ i $(r,s)$ $displaystyle$ $(r,s)$ r $+s,i)$ 는 $r+s\,i$ 평면 내의 점 $(r,s)$ $)$ 과 $(r,s)$ 식별할 수 있으므로 C $(\$ 는 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 으로 데카르트 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ R × $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ (\ $displaystyle \mathbb {R}$ \ $times {R})$ 과 동일합니다 $.$ etermines는 다른 점의 고유한 점을 나타내며 계산 결과에 대해서는 곱셈 규칙이 C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle \mathbb {C}}$ 에 적절하다면 어느 점이 계산에 사용되는지는 중요하지 않습니다.

초기 집합론의 역설

무제한 이해의 공리 스키마라고 불리는 집합의 무제한 형성 원리

P가 속성인

경우

집합

Y = {

x

:

P (x)}(

false)^[12]가 존재합니다.

는 몇 가지 초기 출현 역설의 근원이다.

$Y = x$ { :}는 1897년에 처음으로 발표된 반절제술인 부랄리-포르티 역설로 이끈서수이다 $.$
$Y = x 1897년$ [8]칸토르의 역설로 탄생한 $추기경$ { : $}.$
$Y = x$ { : { } $=$ {}}^[10] 1899년에 칸토르의 두 번째 항문합 수술을 했다 $.$ 여기서 $속성$ P는 $모든$ $x$ 에 대해 참이므로 $Y$ 는 모든 것을 포함하는 범용 집합입니다.
$Y = x$ { : $\notin$ }, 즉, 원소로서 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합은 1902년에 러셀의 역설(paradox)을 주었다 $.$

무제한 이해의 공리 스키마가 사양의 공리 스키마 또는 분리의 공리 스키마로 약해진 경우,

P가 속성이면

모든

집합

X에 대해 집합

= x

{ ∈ : (

)} x

^[12]이(가) 존재합니다.

그러면 위의 모든 역설은 ^[12]사라진다.그에 따른 결과가 있다.이론의 공리로서 분리라는 공리 스키마를 사용하면 이론의 정리로서 다음과 같이 된다.

모든 집합의 집합이 존재하지 않습니다.

또는 좀 더 화려하게 (Halmos의 표현^[13]) :우주는 없다.증명: 그것이 존재한다고 가정하고 그것을 $U$ 라고 부릅니다.이제 =와 분리라는 공리 스키마를 적용하고 ()는 $. x$ 를 사용합니다.이것은 러셀의 역설로 이어집니다. $그러므로$ U는 이 ^[12]이론에서 존재할 수 없다.

위의 구성과 관련된 것은 세트의 구성입니다.

$Y = x x$ { : ( $으) \to$ {} ${$ {}},

함축된 뒤에 나오는 진술은 확실히 거짓입니다.따라서, $Y$ 의 정의에서, 일반적인 추론 규칙(그리고 아래 링크된 기사에서 증명을 읽을 때)을 사용하면 → ${} \neq$ {} 및 holds가 모두 유지되므로 {} $}.$ {} { {}이(가) 유지됩니다.이게 Curry의 역설이야.

문제가 되는 것은 (아마도 의외로) that의 가능성이 아니다.이는 다시 ()에 대해 $x$ ( ) ) → ${} {$ {}을 $(x$ 를) 허용하는 무제한 이해의 공리 스키마입니다.무제한 이해 대신 사양의 공리 스키마를 사용하면 결론 does이 유지되지 않으므로 ${} {$ {}은(는) 논리적 결과가 아닙니다.

그럼에도 불구하고 δ의 가능성은 종종 명시적으로 또는^[14] 예를 들어 ^[15]ZFC에서 암묵적으로 규칙성의 공리를 ^[15]유지하도록 요구함으로써 제거된다.그 결과 중 하나는

X , ,

x

x x x

X

는 없습니다.

즉, 어떤 집합도 그 ^[16]자체의 요소가 아닙니다.

분리의 공리 스키마는 위에서 ^[12]설명한 통상적인 연산과 구성으로 집합론을 전개하기에는 너무 약하다(한편 무제한 이해는 매우 강한 공리이다).규칙성의 공리 또한 제한적인 성질의 것이다.그러므로, 하나는 집합론을 형성하기에 충분한 집합의 존재를 보장하기 위해 다른 공리의 공식으로 유도된다.이들 중 일부는 위에서 비공식적으로 설명되었고 다른 많은 것들은 가능하다.생각할 수 있는 모든 공리가 일관된 이론으로 자유롭게 결합될 수 있는 것은 아니다.예를 들어, ZFC의 선택 공리는 생각할 수 있는 "모든 실수는 르베게 측정 가능"과 호환되지 않는다.전자는 후자가 거짓임을 암시한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)". April 14, 2020.
^ Halmos 1960, 순진한 집합론.
^ 제프 밀러는 (공리적인 집합론과 대조적으로) 순진한 집합론은 1940년대에 가끔 사용되었고 1950년대에 확립된 용어가 되었다고 쓰고 있다.헤르만 바일의 리뷰와 라즐로 칼마르의 Laszlo Kalmar (1946). "The Paradox of Kleene and Rosser". Journal of Symbolic Logic. 11 (4): 136.^[1]리뷰에 나타난다.이 용어는 후에 Paul ^[2]Halmos의 책에서 대중화 되었다.
^ 맥 레인, 손 더스(1971년),"정언적 대수와set-theoretic 재단", Axiomatic 집합 이론(Proc.Sympos.순수 수학입니다., Vol13세, PartI, 대학교캘리포니아, 로스 앤젤레스, 캘리포니아, 1967년), 프로비던스, R1:아메르.수학. 속짱, pp. 231–240, MR0282791." 일하는 수학자들은 대개 순진한 집합론의 관점에서(은 아마 한쪽, 아니면 덜 더 발사 지대)등가...실질적인 요구 사항[ 새로운 기초 시스템의]은 이 시스템을 사용될 수 있을 수 있을 것으로 생각"naively"수학자들에 의해 기초 연구에 부담스럽지 않"(우편 236).
^ 칸토르 1874.
^ Frege 1893 제2권, Jena 1903. 페이지 253-261 Frege는 후술에서 항전절제술에 대해 논한다.
^ Peano 1889 Axiom 52. chap.IV는 안티미니를 발생시킨다.
^ ^a ^b 1897년 9월 26일 칸토르가 데이비드 힐버트에게 보낸 편지, 메쉬코스키 & 닐슨 1991 페이지 388.
^ 1899년 8월 3일 칸토르가 리처드 데데킨드에게 보낸 편지, 메쉬코스키 & 닐슨 1991 페이지 408.
^ ^a ^b 1899년 8월 3일과 1899년 8월 30일에 칸토르가 리처드 데데킨드에게 보낸 편지, 체르멜로 1932 페이지 448(시스템 얼러 덴크바렌 클라센)과 메슈코스키 & 닐슨 1991 페이지 407(모든 세트의 집합은 없습니다.)
^ Halmos 1974, 페이지.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Jech 2002, 페이지 4
^ 1974년 2장
^ Halmos 1974, 러셀의 역설에 대한 논의를 참조하십시오.
^ ^a ^b Jech 2002, 섹션 1.6.
^ Jech 2002, 페이지 61

레퍼런스

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Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", J. Reine Angew. Math., 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 124035379, See also pdf version {{citation}}:외부 링크 postscript=(도움말)CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크)
Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 제2판, 스프링거-벌러그, 뉴욕, 1993.
마리아 J. 프라폴리, 마리아 J., 1991년, "칸토리아 집합론은 집합의 반복 개념인가?"모던 로직, v. 1 n. 4, 1991, 302 – 318.
Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, Jena
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Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
켈리, J.L., 제너럴 토폴로지, 밴 노스트랜드 라인홀드, 뉴욕, 뉴욕, 1955년
From Frege to Gödel, 1879-1931, Harvard University Press, MA, 1967, From Frege to Göjedel, J., Harvard University Press.1977년 수정본으로 전재되었습니다.ISBN 0-674-32449-8.
Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., Berlin: Springer, ISBN 3-540-50621-7
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Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., Berlin: Springer

외부 링크

세인트루이스의 집합론 페이지 시작앤드류스
일부 수학 단어의 가장 오래된 사용법(S)

[1] "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)". April 14, 2020.

[FOOTNOTEHalmos1960''Naive_Set_Theory''-2] Halmos 1960, 순진한 집합론.

[3] 제프 밀러는 (공리적인 집합론과 대조적으로) 순진한 집합론은 1940년대에 가끔 사용되었고 1950년대에 확립된 용어가 되었다고 쓰고 있다.헤르만 바일의 리뷰와 라즐로 칼마르의 Laszlo Kalmar (1946). "The Paradox of Kleene and Rosser". Journal of Symbolic Logic. 11 (4): 136.^[1]리뷰에 나타난다.이 용어는 후에 Paul ^[2]Halmos의 책에서 대중화 되었다.

[4] 맥 레인, 손 더스(1971년),"정언적 대수와set-theoretic 재단", Axiomatic 집합 이론(Proc.Sympos.순수 수학입니다., Vol13세, PartI, 대학교캘리포니아, 로스 앤젤레스, 캘리포니아, 1967년), 프로비던스, R1:아메르.수학. 속짱, pp. 231–240, MR0282791." 일하는 수학자들은 대개 순진한 집합론의 관점에서(은 아마 한쪽, 아니면 덜 더 발사 지대)등가...실질적인 요구 사항[ 새로운 기초 시스템의]은 이 시스템을 사용될 수 있을 수 있을 것으로 생각"naively"수학자들에 의해 기초 연구에 부담스럽지 않"(우편 236).

[FOOTNOTECantor1874-5] 칸토르 1874.

[6] Frege 1893 제2권, Jena 1903. 페이지 253-261 Frege는 후술에서 항전절제술에 대해 논한다.

[7] Peano 1889 Axiom 52. chap.IV는 안티미니를 발생시킨다.

[Letter_to_Hilbert-8] 1897년 9월 26일 칸토르가 데이비드 힐버트에게 보낸 편지, 메쉬코스키 & 닐슨 1991 페이지 388.

[9] 1899년 8월 3일 칸토르가 리처드 데데킨드에게 보낸 편지, 메쉬코스키 & 닐슨 1991 페이지 408.

[Letters_to_Dedekind-10] 1899년 8월 3일과 1899년 8월 30일에 칸토르가 리처드 데데킨드에게 보낸 편지, 체르멜로 1932 페이지 448(시스템 얼러 덴크바렌 클라센)과 메슈코스키 & 닐슨 1991 페이지 407(모든 세트의 집합은 없습니다.)

[FOOTNOTEHalmos1974[[Category:Wikipedia_articles_needing_page_number_citations_from_September_2021]]<sup_class="noprint_Inline-Template_"_style="white-space:nowrap;">&#91;<i>[[Wikipedia:Citing_sources|<span_title="This_citation_requires_a_reference_to_the_specific_page_or_range_of_pages_in_which_the_material_appears.&#32;(September_2021)">page&nbsp;needed</span>]]</i>&#93;</sup>-11] Halmos 1974, 페이지.

[FOOTNOTEJech20024-12] Jech 2002, 페이지 4

[FOOTNOTEHalmos1974Chapter_2-13] 1974년 2장

[FOOTNOTEHalmos1974See_discussion_around_Russell's_paradox-14] Halmos 1974, 러셀의 역설에 대한 논의를 참조하십시오.

[FOOTNOTEJech2002Section_1.6-15] Jech 2002, 섹션 1.6.

[FOOTNOTEJech200261-16] Jech 2002, 페이지 61

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v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(설정 차이) 드 모르간의 법칙 분리 결합 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

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