양의 선형 연산자

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수학에서, 더 구체적으로 기능 분석에서, 사전 순서가 지정된 벡터 공간(X, ))에서 사전 순서가 지정된 벡터 공간(Y, into)으로 가는 양의 선형 연산자는 X의 모든 양의 원소 x에 대해, 즉 x ≥ 0으로, f(x) that 0으로 고정하는 선형 연산자다. 즉, 양의 선형 연산자는 양의 원뿔을 맵핑한다. 코도메인의 양극 원뿔의 영역

모든 양의 선형 기능은 양의 선형 연산자의 한 유형이다. 양의 선형 연산자의 중요성은 리에츠-마코프-카쿠타니 표현 정리 같은 결과에 있다.

표준순서

(X, ≤)와 (Y, ≤)는 미리 순서가 정해진 벡터 공간으로, $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle (X;}$ Y$){\displaystyle {\mathcal {L}(X;Y)}$을 X에서 Y로 가는 모든 선형 지도의 공간으로 한다$$. The set H of all positive linear operators in ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ is a cone in ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$ that defines a preorder on ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$. If M is a vector subspace of ${\displaystyle {\mathcal {L}}$$(X;Y)}$과(와) 만약 H ∩ M이 적절한 원뿔이라면 이 적절한 원뿔은 M에 대한 표준적인 부분 순서를 정의하여 M을 부분 순서의 벡터 공간으로 만든다.^[1]

If (X, ≤) and (Y, ≤) are ordered topological vector spaces and if ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is a family of bounded subsets of X whose union covers X then the positive cone ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ in ${\displaystyle L(X;Y)}$, which is the space of all continuous linear maps from X into Y, is $L{\displaystyle (X}$${\displaystyle }$; Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(X$이(가) $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -topology를 부여한$$ 경우$$ L${\displaystyle (}$X ; ${\displaystyle Y}$ ) ${\displaystyle$ L$(X$$;Y$$)}$에서 닫힘.^[1] $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $L{\displaystyle (X;}$ Y$){\displaystyle L(X;Y)}$에서 적절한 원뿔이 되려면$$ X의 양의 원뿔은 X(즉, X의 양의 원뿔의 범위는 X의 밀도)로 합하면 충분하다$$. Y가 0보다 큰 치수의 국소 볼록한 공간인 경우 이 조건도 필요하다.^[1] 따라서 X의 양의 원뿔이 총 X이고 Y가 국부적으로 볼록한 공간이라면, $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 의해 정의된$$ $L{\displaystyle }$($Y){\displaystyle L(X;Y)}$의 표준 순서는 정규 순서다$$.^[1]

특성.

제안: X와 Y는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간으로, X는 모든 양의 선형 기능이 연속적인 Mackey 공간이라고 가정해 보자. Y의 양의 원뿔이 Y의 약한 정규 원뿔이라면 X에서 Y까지의 모든 양의 선형 연산자는 연속이다.^[1]

제안: X가 X = C - C를 만족시키는 양의 콘 C를 가진 바레일 순서의 위상 벡터 공간(TV)이고 Y는 일반 콘인 양의 콘 D를 가진 반반반복 순서 TVS라고 가정하자. L(X; Y)에게 표준적인 순서를 부여하고 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\mathcal${U}}$을(를) 위쪽으로 향하도록 하고 L(X; Y)의 일부 요소에 의해 위쪽으로(위쪽으로) 또는 단순 경계로 하는 L(X; Y)의 하위 집합이 되도록$$ 한다. 그러면 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle Supp}$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\$이(가) 존재하며 섹션 필터 $F{\displaystyle \mathcal{}(U\mathcal{}}$ )${\$ {U$}\오른쪽)$가 X의 모든 사전 컴팩트 하위 집합에서 u로 균일하게 수렴된다$$.^[1]

참고 항목

• 원뿔 포화도
• 양의 선형 함수
• 벡터 격자

참조

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.