정상콘(기능분석)

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수학에서, 특히 순서 이론과 기능 분석에서 C ${\$$displaystyle C$}이(가) ${\displaystyle 0}$vector C {\$displaystyle$ 0\$in$ C$}$과(와) 같은$$ 위상학적 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 있는 원뿔이고 U ${\$ {$U$}이$원점에 있는$근린 필터라면 C {\\$displaystyline{\displaystyle }$}$e C}$은 U${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle {U\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\mathcal {U}=\왼쪽[{\mathcal {U}\오른쪽]$이면 $정상$이라고 부른다.${C},$ $여기$서${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle {U\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle :=}${${\displaystyle }$[ U ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C{}_{}}$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$} ${\$${C:=\left\{[U]_{C:$$U\in {\mathcal {U}}\right\}}$ and where for any subset ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$ is the ${\displaystyle C}$-saturatation of ${\displaystyle S.}$^[1]

정상 원뿔은 순서가 정해진 위상 벡터 공간과 위상 벡터 격자 이론에서 중요한 역할을 한다.

특성화

If ${\displaystyle C}$ is a cone in a TVS ${\displaystyle X}$ then for any subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ let ${\displaystyle [S]_{C}:=\left(S+C\right)\cap \left(S-C\right)}$ be the ${\displaystyle C}$-saturated hull of ${\displaystyle S\subsete$$q X}$ 및$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위$$ 집합 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {S}$에 대해${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle S_{}}$]${\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle }$:${\displaystyle {}_{}}${ [${\displaystyle S_{}}$]${\displaystyle {}_{}}$ : ${\displaystyle S}$s ${\displaystyle S\}\}.}${\$displaystyle \left[{\mathcal}\$ript}\right$]를 허용$하십시오.${C:=\좌측\{\좌측[S\우측]_$${C:S\in {\mathcal {S}\right\}.$$}$ TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에서 $C{\displaystyle }$ ${\$displaystyle C$}$이(가) 원뿔이라면, $U{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ C${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {U}=\왼쪽[{\mathcal {U}\right]$이면 $C{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle C}$은 정상이다.${C},$ $여기$서 U ${\$은(는) 출발지의 인접 필터다.^[1]

If ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ is a collection of subsets of ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a subset of ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is a fundamental subfamily of ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ if every ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ is contained as a subset of some element of ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ If ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is a family of subsets of a TVS ${\displaystyle X}$ then a cone ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle X}$ is called a ${\displaystyle \mathcal{G}}$$$${\displaystyle \{\backslash \stackrel{}{{}_{}}}$$displaystyle {\mathcal {G}$ -cone$,{\displaystyle }$ { [${\displaystyle \stackrel{}{G_{}}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$가 $displaystyle \left\{\\$overline ${\reft[G\right]_$일 경우 -cone$$${C}}}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$ is a fundamental subfamily of ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ and ${\displaystyle C}$ is a strict ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-cone if ${\displaystyle \left\{\left[G\right]_$${C}:G\in {\mathcal {G}\오른쪽\}}}$은(는) $G{\displaystyle \mathcal{}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$의 기본 하위 계열로, Let$$^[1] $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) $X{\displaystyle }$.${\displaystystyle$ X$.}$의 모든 경계 하위 집합 계열을 의미한다$$.

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 콘인 경우(실제 또는 복잡한 숫자에 걸쳐)$$ 다음과 같다.^[1]

1. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) 일반 원뿔이다.
2. $X$ , ${\displaystyle X}$의 모든 $필터$ F ${\$displaystyle ${\$$mathcal$$${$F}$에 대해, ${\displaystyle 림\mathcal{}}$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim{\$$mathcal$ {$F$}=$0}$이면 림 [${\displaystyle {F\mathcal{}}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystystylem \leftep[{\F}\F}\$ftimecalep]${C}=0.}$
3. ${\displaystyle X\mathcal{}}$ ${\\displaystyle$$${\$mathcal {G$$}$에 인접 베이스 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$B$\in {\mathcal {G}$이$($가) 있으므로,${\displaystyle {}_{}}$$B$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ $.$ {\$displaystyle \left[B\cap C\오른쪽]$을 의미한다$.$${C}\subseteq B.}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) reals에 대한 벡터 공간인 경우 다음 목록에 추가하십시오.^[1]

4. 발원지에는 $볼록하고{\displaystyle }$균형 $잡힌$ C {\$displaystyle$ C$$} -포화 세트로 구성된 근린 기지가 있다.
5. There exists a generating family ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of semi-norms on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$ for all ${\displaystyle x,y\in C}$ and ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록한 공간이고$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$C}의 이중 $콘$이 X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{\prime}}$에 의해 표시된 경우 다음 목록에 추가하십시오.^[1]

6. 모든 등가 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle S\subseteq$ X$^{\prime }}$에 대해, $S{\displaystyle -}$ ${\displaystyle B}$ - ${\displaystyle B.}$${\$$displaystyle S\subseteq C$$^{\premium }}$과 같은$$ 등가 ${\displaystyle {}^{}}$$.$$}$
7. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위상은 C ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의 등가 부분 집합에 대한 균일한 수렴의 위상이다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ C$^{\prime }}$

$그리고{\displaystyle }$ 만약$$X {\$displaystyle$ X$}$이(가) 현지의 볼록한 $공간$이고, B${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}${$${\$displaystyle${\$b}^{\prime}}$이(가) X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${ ${\$ X$^{\premium }$의 모든 강력한 경계가 있는 하위 집합의 제품군이라면 다음 목록에$$ 추가해도 된다.^[1]

8. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 토폴로지는 $′.$ {\$displaystyle$ C$^{\prime$}의 강하게 경계된 하위 집합에 대한 균일한 수렴의 토폴로지 입니다${\displaystyle {}^{}}$
9. $′{\$은(는) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의$$B${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$$display$ {\$displaystyle$ ${\b$$}^{\premy$ $}}$ -cone$$ 입니다$.$
   • 이것은 가족${\displaystyle }${${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$[ ${\displaystyle \stackrel{}{{{}^{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{{\prime \mathrm{}}^{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{{}^{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$} } } }$}$ {\$displaystyle$\left\{\$overline {\reft[$B^{\$prime$}\$right]__$을 의미한다.${C}}:B^{\premiumcal$ {$B}^{\premiumcal}\오른쪽\}}}}$은(는) B ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$의 기본 하위 계열이다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$B}^{\premy }}$
10. $′{\$은(는) $엄격$한 B${{\$}}-cone$$ in $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\premy}}}}}}}$
    • 이것은 가족${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime \mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$ } } } ${\displaystyle {}^{}}$ $}$ {\$displaystyle \left\{\\lft[B^{\prime }\right]$_을 $의미$한다.${C}:B^{\primate }\in$ {\$mathcal$ {B$}^{\primate$}\right$\}}}}$은(는) $B{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$의 기본 하위 계열이다${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle${\$mathcal$ {B$}^{\primate }}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 양의 콘이 $C{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ C$,}$인 실물을 통해 로컬 볼록한 TVS라면$$ 이 목록에$$ 추가할 수 있다.

11. there exists a Hausdorff locally compact topological space ${\displaystyle S}$ such that ${\displaystyle X}$ is isomorphic (as an ordered TVS) with a subspace of ${\displaystyle R(S),}$ where ${\displaystyle R(S)}$ is the space of all real-valued continuous functions on ${\displaystyle X}$ under콤팩트 컨버전스의 ^[2]토폴로지

If ${\displaystyle X}$ is a locally convex TVS, ${\displaystyle C}$ is a cone in ${\displaystyle X}$ with dual cone ${\displaystyle C^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is a saturated family of weakly bounded subsets of ${\displaystyle X$$^{\premy }}$그렇다면$$^[1]

1. $′{\$이(가) G$${\$displaystyle {G}$ -cone인$$ 경우, $C{\displaystyle }${\$displaystyle C}$은$($는) X$$${\$$displaystyle$ X$}의$G {\$mathcal$ {G$$} -topology$;$
2. if ${\displaystyle C}$ is a normal cone for a ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topology on ${\displaystyle X}$ consistent with ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ then ${\displaystyle C^{\prime }}$ is a strict ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-cone$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\premy }}$에.

If ${\displaystyle X}$ is a Banach space, ${\displaystyle C}$ is a closed cone in ${\displaystyle X,}$, and ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$ is the family of all bounded subsets of ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ then the dual cone ${\displaystyle C^{\prime }}$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) $엄격$한 B ${\$$}^{\prime$} -cone인$$ 경우에만$$ $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ b$$ ${\$ {\$mathcal}$ -cone에서 정상이다.^[1]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Banach 공간이고 C ${\displaystyle$ $C$$}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 원뿔이면 다음과 같다$$.^[1]

1. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) $B{\displaystyle }$ ${\$ -cone$$ in X ${\displaystyle$ X$\};$
2. ${\displaystyle X}$= $'{\$
3. $'{\$은(는) $엄격$한 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {B$} -cone$ in$$ X${\displaystyle .}$ ${\displaysty X.}$

특성.

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff TVS라면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 모든 일반 원뿔은 적절한 원뿔이다$$.^[1]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 규범 가능한 공간이고$$C ${\$$displaystyle X}$의 ${\displaystyle {}^{}}$ 콘인$$ 경우 $X$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$= C ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\prime ^{}=C^{}-$C^{}\$premium$}}}}}.
• Suppose that the positive cone of an ordered locally convex TVS ${\displaystyle X}$ is weakly normal in ${\displaystyle X}$ and that ${\displaystyle Y}$ is an ordered locally convex TVS with positive cone ${\displaystyle D.}$ If ${\displaystyle Y=D-D}$ then ${\displaystyle H-H}$ is densein ${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$ where ${\displaystyle H}$ is the canonical positive cone of ${\displaystyle L(X;Y)}$ and ${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$ is the space ${\displaystyle L(X;Y)}$ with the topology of simple convergence.^[3]
  • If ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is a family of bounded subsets of ${\displaystyle X,}$ then there are apparently no simple conditions guaranteeing that ${\displaystyle H}$ is a ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-cone in ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y),}$ even for the most$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G(}_{}X}$; Y$){\displaystyle L_{\mathcal{G}}(X;Y)}$의 경계 하위 집합의$$ $공통{\displaystyle \mathcal{}}$유형 T {\displaystyle {\$mathcal$ {$T}($$$매우 특수한 경우 제외)^[3]

충분한 조건

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 위상이 로컬로 볼록한 경우$$ 일반 원뿔의 닫힘은 일반 원뿔이다.^[1]

Suppose that ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ is a family of locally convex TVSs and that ${\displaystyle C_{\alpha }}$ is a cone in ${\displaystyle X_{\alpha }.}$ If ${\displaystyle X:=\bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ is the locally convex direct sum then the cone ${\displaystyle C:=\bigoplus _{\alpha }C_{\alpha }}$ is a normal cone in ${\displaystyle X}$ if and only if each ${\displaystyle X_{\alpha }}$ is normal in ${\displaystyle X_{\alpha }.}$^[1]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록 공간인 경우 일반 콘의 닫힘은 일반 콘입니다.^[1]

국내에서 180°보다 작은 터널 비전 시스템 X{X\displaystyle}에 만약 C{C\displaystyle}는 콘과 만약 C′C의{\displaystyle C^{\prime}}은 이중 콘,{\displaystyle C,}그 후에 X′=C({\displaystyle X^{\prime}=C^{\prime}-C^{\prime}}만일 C{C\displaystyle}힘없이 보통이다.[1]국소 볼록한 TVS의 모든 정상 원뿔은 약하게 정상이다.^[1]규범화된 공간에서 원뿔은 약하게 정상인 경우에만 정상이다.^[1]

If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are ordered locally convex TVSs and if ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ is a family of bounded subsets of ${\displaystyle X,}$ then if the positive cone of ${\displaystyle X}$ is a ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-cone in ${\displaystyle$$X}$ and if the positive cone of ${\displaystyle Y}$ is a normal cone in ${\displaystyle Y}$ then the positive cone of ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ is a normal cone for the ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-topology on ${\displaystyle L(X;Y).$$}$^[3]

참고 항목

• 원뿔 포화도
• 위상 벡터 격자
• 벡터 격자

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.