다중 일반성의 문제

Problem of multiple generality

다중 일반성의 문제는 전통적인 논리의 실패를 특정 직관적으로 유효한 추론을 기술하는 것으로 명명한다. 예를 들면 다음과 같은 경우 직관적으로 명확하다.

어떤 고양이는 모든 쥐에 의해 두려워한다.

그 다음 논리적으로 다음과 같다.

모든 쥐들은 적어도 한 마리의 고양이를 무서워한다.

전통 논리(TL)의 구문에서는 'All As As Bs', 'No As As Bs', 'Some As As Bs', 'Some As is Bs' 등 4가지 문장이 정확히 허용된다. 각 유형은 정확히 하나의 정량자를 포함하는 정량화된 문장이다. 위의 문장들은 각각 두 개의 정량자('일부'와 '모두'와 '적어도 하나'를 포함하고 있기 때문에 TL로 적절하게 표현할 수 없다. TL이 할 수 있는 최선의 방법은 각 문장의 두 번째 정량자를 두 번째 문장으로 통합하여 인위적으로 들리는 용어인 '모든 쥐가 좋아'와 '하나의 고양이 무서워'를 표시하는 것이다. 이것은 사실상 추론의 타당성에 필수적인 이러한 정량자를 하이픈으로 연결된 용어 내에서 "부담"한다. 따라서 "어떤 고양이는 쥐마다 무서워한다"라는 문장은 "어떤 고양이는 배고프다"라는 문장과 같은 논리적인 형태로 할당된다. 따라서 TL의 논리적 형식은 다음과 같다.

Some As is B
모든 C는 Ds이다.

그것은 명백히 무효다.

그러한 추론을 다룰 수 있는 최초의 논리 미적분은 현대 술어 논리의 조상인 고틀롭 프레지의 베그리프슈흐리프트(1879)로 가변 바인딩을 이용하여 정량자를 다루었다. 겸손하게 프레지는 그의 논리가 현존하는 논리적인 칼쿨리보다 더 표현력이 있다고 주장하지 않았지만, 프레지의 논리에 대한 논평가들은 이것을 그의 핵심 업적 중 하나로 여긴다.

현대의 술어 미적분을 이용하여 우리는 그 진술이 모호하다는 것을 재빨리 발견한다.

어떤 고양이는 모든 쥐에 의해 두려워한다.

모든 쥐가 (모든 쥐가 어떤 고양이를 두려워하는 것처럼 패러프레이즈 가능), 즉 (어떤 고양이는 두려워한다)를 의미할 수 있다.

모든 생쥐 m에는 고양이 c가 존재하는데, c는 m에 의해 두려워진다.

이 경우 결론은 사소한 것이다.

그러나 그것은 또한 어떤 고양이들은 (모든 쥐가 먹는) (모든 쥐가 먹는)을 의미할 수도 있다. 즉, 모든 쥐가 두려워하는 고양이가 있기 때문에 패러프라스 할 수 있다.

고양이 c가 하나 있어서 모든 쥐 m에 대해 c가 m에 의해 두려워진다.

이 예는 존재하는 모든 정량자의 범위를 명시하는 것의 중요성을 보여준다.

추가 읽기

  • Patrick Suppes, Logic 소개, D. 반 노스트랜드, 1957년 ISBN978-0-442-08072-3.
  • A. G. 해밀턴, 수학자를 위한 논리, 캠브리지 대학 출판부, 1978, ISBN 0-521-29291-3.
  • Paul Halmos와 Steven Givant, Logic as Algebra, MAA, 1998, ISBN 0-88385-327-2.


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