비율분포

비율 분포(quotient distribution)는 알려진 두 개의 다른 분포를 가진 확률 변수의 비율의 분포로 구성되는 확률 분포입니다.두 개의 (보통 독립적인) 랜덤 변수 X와 Y가 주어졌을 때, 비율 Z = X/Y로 형성되는 랜덤 변수 Z의 분포는 비율 분포입니다.

예를 들어, 코시 분포(정규 비율 ^{[citation needed]}분포라고도 함)는 평균이 0인 두 정규 분포 변수의 비율로 나타납니다.검정 통계학에서 자주 사용되는 다른 두 가지 분포도 비율 분포입니다. t-분포는 독립 카이 분포 랜덤 변수로 나눈 가우스 랜덤 변수에서 발생하는 반면, F-분포는 독립 카이 제곱 분포 랜덤 변수 두 개의 비율에서 발생합니다.보다 일반적인 비율 분포가 ^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9]}문헌에서 고려되었습니다.

종종 비율 분포는 꼬리가 무겁기 때문에 이러한 분포를 사용하고 관련 통계 검정을 개발하는 것이 어려울 수 있습니다.중앙값을 기반으로 하는 방법이 "해결 방법"^[10]으로 제안되었습니다.

확률변수대수

비율은 랜덤 변수에 대한 대수의 한 가지 유형입니다.비율분포와 관련된 것은 상품분포, 합분포, 차분분포 등입니다.일반적으로, 합, 차이, 곱 및 비율의 조합에 대해 이야기할 수 있습니다.이러한 분포의 대부분은 멜빈 D에 설명되어 있습니다. 1979년 스프링어의 책 무작위 ^[8]변수의 대수학

일반적인 숫자로 알려진 대수적 규칙은 무작위 변수의 대수에는 적용되지 않습니다.예를 들어, 어떤 제품이 C = AB이고 비율이 D = C/A이면 반드시 D와 B의 분포가 동일한 것은 아닙니다.실제로 코시 분포에 대한 독특한 효과가 나타납니다.두 개의 독립적인 코시 분포(같은 척도 모수와 위치 모수가 0으로 설정됨)의 곱과 비율은 동일한 ^[8]분포를 제공합니다.이는 코시 분포 자체를 0의 두 가우시안 분포의 비율 분포로 간주할 때 명확해집니다.${\displaystyle {두}_{}}$ 개의 가우시안 $분포$ C 1 ${\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ $C_{$1}}과 $C$2 ${\$displaystyle C_${2}}$를 각각 두 개의 가우시안 분포 ${\displaystyle C_{}}$ 1 = $G$1 / G 2$${\$displaystyle C_{1$} =$G_{$1}/$G_{$2}, C ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle G_{}3}$ / ${\displaystyle G_{}}$4 {\$displaystyle C_{$2} =$G_{3}/G_${4$}$를 고려한 다음

${\displaystyle {\frac {C_{1}}{{C_{2}}={\frac {G_{1}}/{G_{2}}{{G_{3}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{{2}}{G_{3}}={\frac {G_{1}}{{G_{2}}}\회 {\frac {G_{4}}{G_{3}}=C_{1}\회 C_{3}}}$

$여기$서 C ${\displaystyle 3_{}}$ = ${\displaystyle G_{}}$ 4${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle G_{}}$ 3$${\$displaystyle$ C_${3$} = $G_{4}$ / $G_{3$첫 번째 항은 두 코시 분포의 비율이고, 마지막 항은 두 분포의 곱입니다.

파생

$합동$ pdf ${\displaystyle {pX,}_Y}$ (${\displaystyle x,y}$)$${\$displaystyle$ p_{X, Y$}($x, y$)$ {\displaystyle $p_{X,$Y}($x,$y)}인 다른 두 랜덤 변수 X, Y의 합동 분포로부터 Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ {\$displaystyle Z$=$X/$}의 비율 분포를 도출하는 방법은 다음 형태의 적분에 의한 방법

${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty}^{+\infty} y \,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}$

두 변수가 독립적이면 ${\displaystyle {\mathrm{pXY}}_{}}$(${\displaystyle x,y}$) = ${\displaystyle {pX}_{}}$(${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle {pY}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}y)}${\$displaystyle p_{XY}(x,y$)= $p_{X}(x)p_{Y}(y)}$가 됩니다.

${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty}^{+\infty} y \,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}$

이것은 간단하지 않을 수 있습니다.예를 들어, 두 표준 가우스 샘플의 비율에 대한 고전적인 문제를 살펴봅니다.공동 pdf는

${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}\right)}$

Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z = $X/Y}$을(를) 정의합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}}\, y \,\exp \left{\frac {\left(zy\right)^{2}}\right)\,\exp \left{\frac {y^{2}}\right)\,dy\&={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}}\, y \,\exp \left{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right){2}\right},dy\end{aligned}}}$

알려진 정적분 ∫ $0_{}^{}$ ∞ $x$ exp ⁡ ($$- ${}^{}$ $x{2}^{}$ ) $d$ $x$ = $\frac{\mathrm{12}}{}$ c$${\$textstyle \int$ _${0}^{\infty}}\,x\,\exp$ \$left$ (-$cx^{2}\right)\,θ$={\$frac {1}{2c}}$를 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi(z^{2}+1)}}$

이 분포는 코시 분포 또는 n = 1인 학생의 t 분포입니다.

멜린 변환은 또한 비율 ^[8]분포의 유도를 위해 제안되었습니다.

양의 독립 변수의 경우 다음과 같이 진행합니다.이 다이어그램은 분리 가능한 이변량 $분포$ f ${\displaystyle x_{}{}_{}{}_{}{}_{}}$ (${\displaystyle x,y}$ ) = f x ( )${\displaystyle {fy}_{}}$ (${\displaystyle y}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle f_{x,y}(x,y$) = $f_{x}(x)f_{y}(y)$를 보여줍니다. 양의 x,y > {\$displaystyle$ x$,y>0}$에 지원되며 $비율$ R =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$ R =$X/Y$의 pdf를 구하고자 합니다. 선 y =${\displaystyle x}$ / ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$$y = x/$R}은 ${\displaystyle {함수}_{}}$f $,$${\displaystyle }$y$$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) {\$displaystyle$ $f_{x$,y$}(x,y$)}에 논리 $함수$ X/${\displaystyle Y}$≤$$R {\$displaystyle X/Y\leq$ R$\}$을 곱한 누적 분포를 나타냅니다. 밀도는 먼저 수평 스트립에 통합됩니다. 높이 y의 수평 스트립은 x $=$ 0에서 x $=$ Ry까지 확장되고 ${fy}_{}$($y)$ $\mathrm{dy}$ ${}_{}^{}$ $0_{}^{}$의 증분 확률을 갖습니다.${}_{}^{}{}_{}$ $f_{}$x ($x$ ) $x${\$textstyle f_{y}(y)dy\int$ _${0}^{Ry}f_{x}(x)\,dx$
둘째, 수평 스트립을 전체적으로 위로 통합하면 선 위의 확률 볼륨을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty}f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$

마지막으로 R ${\displaystyle$ R$}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle {FR}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}R)}${\$displaystyle F_{R}(R)}$을(를) $미분$하여 $pdf{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$R (${\displaystyle R)}${\$displaystyle f_{R}(R$을(를) 얻습니다.

${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int_{0}^{\infty}f_{y}(y)\left(\int_{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]}$

차분화를 적분 내부로 이동합니다.

${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty}f_{y}(y)\lefty\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$

그 이후로

${\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int_{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)}$

그리고나서

${\displaystyle f_{R}(R)=\int_{0}^{\infty}f_{y}(y)\;f_{x}(Ry)\;y\;dy}$

예를 들어 다음과 같은 경우 ratio R의 pdf를 구합니다.

${\displaystyle f_{x}(x)=\alpha e^{-\alpha x},\;\;\;\;f_{y}(y)=\alpha e^{-\alpha y},\;\;\;x,y\geq 0}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-e^{-\alpha x}\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}}$

따라서

${\displaystyle{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty}f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy=\int _{0}^{\infty}\left(1-e^{-\alpha Ry}\left(1-e^{-\alpha Ry}\left)dy\&=1-{\alpha R}{\beta +\alpha R}}\&={\frac {{\tfrac}{\alpha }}\end{aligned}}}$

차별화 쓰기.R은 R의 pdf를 산출합니다.

${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{\tfrac {\alpha}}{\alpha}}+R}\right)={\frac {\tfrac {\alpha}}{\left\tfrac {\alpha}}{\alpha}}+R\right)^{2}}$

랜덤 비율의 모멘트

멜린 변환 이론에서 양의 $반선$ x ≥ ${\displaystyle 0}${\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ x$\geq$ 0$\}$에만 존재하는 분포의 경우, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 제품 $아이덴티티$ E${\displaystyle {}^{}}$⁡${\displaystyle {}^{}}$[ (${\displaystyle UV)}$ p ]${\displaystyle }$=${\displaystyle E^{}}$ ⁡$[$ Up ] ${\displaystyle E^{}}$⁡$$[ V p ] ${\displaystyle \operatorname {E}$ [ ($UV$)^{p$}]$=$\operatorname$ {E} [U$^{p}]\$U${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle V}${\$displaystyle$ U$,\;V}$이(가) 독립적인 $경우{\displaystyle }$$\;\operator$name {$E}$ [$V^{p}]}.$E ⁡${\displaystyle }$[ (${\displaystyle X}$ /${\displaystyle {}^{}Y}$ )${\displaystyle p^{}}$ ]$${\$displaystyle \operatorname {E}$[ ($X/Y)^{p$와 $같은$ 표본 비율의 경우 이 항등식을 사용하려면 역분포의 모멘트를 사용해야 합니다.E ⁡ [${\displaystyle }$(${\displaystyle {XZ}^{}}$p ] = ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ⁡ [ ${\displaystyle X^{}p}$ ] E${\displaystyle }$⁡ [${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$p ]$${\$displaystyle \operatorname {E}$ [ ($XZ)$가 $되도록$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle Y}$ =$Z$ $설정$$^{p}]=\operatorname {E}$ [$X^{p}]\;\operatorname {E}$ [$Y^{-p$따라서 X ${\displaystyle p^{}}${\$displaystyle$ X$^{p}$와${\displaystyle Y^{}}$ - p$${\$displaystyle$ Y$^{-p}$의 모멘트를 따로 정할 수 있다면${\displaystyle }$X / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$/Y}$의 모멘트를 찾을 수 있습니다.Y${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}${\$displaystyle$ Y$^{-p}$의 모멘트는 Y$${\$displaystyle$ Y$}$의 역 pdf로부터 결정되며, 종종 다루기 쉬운 연습입니다.기껏해야 E ⁡ [${}^{}$ -$p^{}$ ] = ∫ $0_{}^{}$ ∞$y^{}$ - p${}_{}\mathrm{fy}$ ($$y ) $\mathrm{dy}${\$textstyle \operatorname {E}$ [$Y^{-p$}] =\$int$ _${0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)\,dy$입니다.

예를 들어,$$표준 $Gamma 분포$에서 X {\displaystyle$$ X$}$을(를) 표본으로 $추출$합니다.

${\displaystyle {}^{}}$$x{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$α - ${\displaystyle 1^{}{}^{}{}^{}{}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{x}^{}}$ /${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ (${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle$ x$^{\alpha$ -1$}e^{-x}/\Gamma (\alpha$)}, p$${\$displaystyle$p} -번째$$ 모멘트는${\displaystyle }\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle +p}$) /${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ (${\displaystyle \alpha }$)$${\$displaystyle \Gamma (\alpha$+ $p$) /\$Gamma (\alpha$입니다.

$=$$Y^{-1}}$는 $매개{\displaystyle }$ 변수$$${\displaystyle \beta {\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle \beta}$를 사용하는 역 Gamma 분포에서 샘플링되었으며, pdf${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}){z\mathrm{}}^{}}$ 1 + ${\displaystyle {}^{}{}^{\mathrm{e}}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ /$$z {\$displaystyle$\;\$Gamma$^{-$1}(\beta)z^{$1+\$beta }e^{-1/$z$\}$를 갖습니다. 이 pdf의 모멘트는

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\camma -p)}{\Gamma (\camma )}},\;p<\camma .}$

해당 순간을 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma(\alpha +p)}{\감마(\alpha )}}{\frac {\Gamma(\beta -p)}{\Gamma(\beta )}},\;p<\beta .}$

독립적으로 두 감마 $표본$ R =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ R = $X/Y}$의 비율이 베타 프라임 분포를 따르는 것으로 알려져 있습니다.

${\displaystyle f_{}}$ β${\displaystyle {\text{'}}_{}}$ (${\displaystyle r,\alpha {,}_{}}$β) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle B}$(${\displaystyle \alpha ,{}^{}}$β${\displaystyle {)}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$α -${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle 1}$+${\displaystyle {}^{}r{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- (${\displaystyle {\alpha }^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$β)$${\$displaystyle f_{\alpha'}(r,\alph$)=$B(\alpha,\γ)^{-1}r^{\alpha$ -1$}(1$+$r)^{-(\alpha$ + \${\displaystyle \frac{\delta }{}}$$)},$ $모멘트$는 E${\displaystyle \ge }$ [${\displaystyle R^{}}$${\displaystyle {}_{}}$p ] $=$ (${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$ ${\displaystyle \frac{+p}{}}$,${\displaystyle \frac{\beta }{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$ )${\displaystyle \operatorname {E}$ [$R$${\displaystyle {^}_{}}$${p$}]={\$frac${\$mathrm {B}(\alpha$+ $p,\δ$ - p$)}{\mathrm {B}(\alpha,$ β - p)}$\n*}}}$

$B{\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha ,}$β) =${\displaystyle \frac{}{}\Delta }$ (${\displaystyle \frac{\alpha )\mathrm{\Delta }}{}}$ (${\displaystyle \frac{\beta )}{}}$ (${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$+${\displaystyle \frac{\beta }{}}$)$${\$displaystyle \mathrm {B} (\alpha,$$\alpha$ )$={\frac {\Gamma (\alpha$)\$Gamma$(\$camma )}{\Gamma$ ${\displaystyle \frac{(\backslash }{}}$alpha +\$camma )}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$Gamma (${\displaystyle \frac{R}{}{}^{}}$p )} $=$ Δ (α + p )${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mathrm{\Delta }}{}\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ ${\displaystyle \frac{+}{p}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{\beta }{}}$+${\displaystyle \frac{}{}\beta }$ )${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{\alpha }{}\frac{}{}}$+${\displaystyle \frac{p}{}}$ ) $=$$Δ$ (${\displaystyle \frac{\beta }{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$p )$$ (α ${\displaystyle \frac{-}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$)${\displaystyle \frac{\Delta }{}}$ (${\displaystyle \frac{\beta }{}}$ ) ${\displaystyle \operatorname {$E} [R^{$p}]$$=$${\frac${\$Gamma$ (\alpha $+ p )}{\Gamma (\alpha +\$camma $)}}{\Bigg$ /$}{\frac {\$Gamma (\alpha + p )}{\$frac$ {\$Gamma (\$alpha )$\Gamma(\alpha )}{\Gamma(\alpha +\alpha$)}}$=${\$frac${\$Gamma(\alpha +p$)\$Gamma(\alpha -p)}{\Gamma(\$alpha )}이며, $위의 순간들의 곱$과 일치합니다$.$

랜덤 비율의 평균 및 분산

Mellin 변환 이론에서 파생된 제품 분포 섹션(위의 섹션 참조)에서 독립 변수의 제품 평균이 해당 평균의 제품과 동일하다는 것이 확인되었습니다.비율의 경우에는.

${\displaystyle \operatorname {E}(X/Y)=\operatorname {E}(X)\operatorname {E}(1/Y)}$

확률 분포의 관점에서 다음과 같은 값을 갖습니다.

${\displaystyle \operatorname {E}(X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }π_{x}(x)\,π\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy}$

$E$ ⁡ (${\displaystyle 1}$/${\displaystyle Y}$ ) ≠ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{E}{}}$ ⁡ (${\displaystyle \frac{Y}{}}$ )$${\$displaystyle \operatorname {E}$ ($1/Y)\neq${\$frac {1}{\operatorname {E}$ ($Y)}},$ 즉 ∫ - ∞ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$- ∞ ${\displaystyle {}^{}}$ - ∞ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{fy}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}y)}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{dy}}{}}${$int$ _${-\infty }^{\infty }f_{y}\,dy\neq${\$frac {1}{\int$ _${-\infty }^{y}\nfty$}^{\$nfty$}yf_{$y}\,dy}}$

독립 변수 비율의 분산은

${\displaystyle {\display{aligned}\operatorname {Var}(X/Y)&=\operatorname {E}([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}(X/Y)\&=\operatorname {E}(X^{2})-\operatorname {E}(1/Y^{2})-\operatorname {E}^{2}(1/Y)\end{aligned}}$

정규비율분포

이 부분을 정상 비율 분포라는 제목의 다른 기사로 분리할 것을 제안했습니다. (논의) (2021년 3월)

비상관 중심정규비

X와 Y가 독립적이고 평균이 0인 가우스 분포를 가질 때 비율 분포의 형태는 코시 분포입니다.이는 Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ = ${\displaystyle \tan }$ ⁡ ${\displaystyle$ Z =$X/Y$ =\$tan \theta }$를 $설정$한 다음 θ$${\$displaystyle \theta }$이(가) 원형 대칭임을 보여줌으로써 도출할 수 있습니다.이변량 상관 관계가 없는 가우스 분포의 경우 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}p(x,y)&={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}\tfrac {2}}\&={\tfrac {1}{2\pi }\&#e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\&={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}}r^{2}}{\tfrac {2}}}}r^{{2}=x^{2}+y^{2}}.}\end{aligned}}$

$p{\displaystyle (x,y}$)$${\$displaystyle$ p$(x,y)}$가 r의 함수일 경우 θ ${\displaystyle \theta}$가 $밀도$ 1$2$π ${\$$displaystyle$$[0,2\pi$]}의 $[{\displaystyle 0}$,2\$pi]$에서 균일하게 분포되므로 문제는 매핑 아래에서 Z의 확률 분포를 찾는 것으로 줄어듭니다.

${\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta }$

우리는, 가능성을 보존함으로써,

${\displaystyle p_{z}(z) dz = p_{\theta}(\theta) d\theta }$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ ${\displaystyle \mathrm{dz}}$/ ${\displaystyle d}$ ≥ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle {cos}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$dz / $d\theta$= $1$/ $cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {p_{\theta}(\theta )}{dz/d\theta }}={\tfrac {1}{2\pi }}{\cos ^{2}\theta }}$

${\mathrm{설정}}^{}$ ${cos}^{}$ 2 ⁡ θ ⁡ = 1$\frac{}{}\frac{1}{}\frac{}{}$+ ( $\frac{\tan }{}$ θ$\frac{{}^{}}{}$ ) θ ) $2$ = $\frac{{}^{}}{}$ +$$ 2${\textstyle$ \$cos ^{2$}\theta =${\frac {1}{1+(\tan$ \$theta$)^{2}} = ${\frac {1}{1+z^{$2}}}을(를)

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/2\pi}{1+z^{2}}}}$

여기에는 2라는 가짜 계수가 있습니다.실제로 θ$${\$displaystyle$$\theta }$의 두 개의 값이$$π {\$displaystyle$ \pi $}$ 간격으로 동일한 z 값에 매핑되어 밀도가 두 배로 증가하고 최종 결과는

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/\pi}{1+z^{2}},\;-\infty <z<\infty }$

두 정규 분포 중 하나가 중심이 아닌 경우 비율 분포에 대한 결과는 훨씬 더 복잡하며 David Hinkley가 ^[6]제시한 간결한 형태로 아래에 제시됩니다.그러나 비율에 대한 삼각법 방법은 밀도가 $반지름$ r$$=$\sqrt{x^{}}$ $\sqrt{{}^{}}$ + $\sqrt{y^{}}$ 2$${\$textstyle$ r = ${\sqrt {x$^{2} + y^{$2$}와 같은 반경 분포로 확장됩니다.$}}}}$1 자유도에 대해 아래 절에 제시된 코시 비율을 제공하는 두 개의 독립적인 학생 t 분포의 비율로 확장되지 않습니다$.$

비상관 비중심정규비

${\displaystyle \mathrm{상관관계}}$가$$없는 경우(상관관계 ⁡ ( ${\displaystyle X,Y}$ ) = ${\displaystyle 0}$)$${\$displaystyle$(\$operatorname {cor}$ ($X,$Y) =$0$ 두 정규 변수 X = N(μ, σ) 및 Y = N(μ, σ) 비율 Z = X/Y의 확률 밀도 함수는 여러 출처에서 도출된 정확한 다음 식으로 제공됩니다.

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {b(z)\cdot d(z)}{a^{3}(z)}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi}}}\displaystyle p_{x}\displaystyle {y}}\left[\Phi \left({\frac {b(z))}{a(z)}\right)-\Phi \left(-{\frac {b(z)}{a(z)}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}(z)\cdot \pi \sigma _{x}\sigma _{y}}e^{-{\frac {c}}}$

어디에

${\displaystyle a(z)={\sqrt {{\frac {1}{\display _x}^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\displaystyle {y}^{2}}}}$

${\displaystyle b(z)={\frac {\mu _{x}}{\mu _{x}^{2}}z+{\frac {\mu _{y}}{\mu _{y}^{2}}}$

${\displaystyle c={\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}}$

${\displaystyle d(z)=e^{\frac {b^{2}(z)-ca^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}}$

그리고 ${\displaystyle \Phi}$는 정규 누적 분포 함수입니다.

${\displaystyle \Phi(t)=\int _{-\infty}^{t}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}e^{-{\frac {1}{2}u^{2}}\du\,}$

• 몇 가지 가정(일반적으로 실제 적용에서 충족됨) 하에서 PDF에 대한 매우 정확한 솔리드 근사치를 도출할 수 있습니다.주요 이점은 공식 복잡성 감소, 폐쇄형 CDF, 단순 정의된 중위수, 잘 정의된 오류 관리 등입니다.심플함을 위해 $p$ = ${\displaystyle \frac{{\mu }_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ 2 σ x ${\displaystyle$ p = {\$mu _{x}}{\sqrt {2}}\mu$ _${x$ ${\displaystyle q}$ = μ ${\displaystyle \frac{y_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ σ y$${\$displaystyle$ q = {\$mu _{y}}{\sqrt {2}}\mu$ _${y}},$ $r$ = ${\displaystyle \frac{{\mu }_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ y {\$displaystyle$r = {\$frac${\$mu _x}{\mu$ _${y$그러면 상관 관계가 없는 비 중심 정규 비율 PDF에 대한 소위 $솔리드$ 근사 ${\displaystyle p_{}^{}}$ Z${\displaystyle {}_{}^{}}$† ( ${\displaystyle z)}${\$displaystyle p_{Z}^{\dagger$}($z)}$라고 하는 수식으로 표현됩니다.

${\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi}}}{\frac {p}{\mathrm {erf}[q]}{{r}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{r}}{\left(1+{\frac {p^{2}}}{{q^{2}}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{\frac {3}{2}}}}^{-{\frac {p^{2}}\left\frac {z}{r}-1\right)^{2}}}^{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}}\right]^{2}}}}}.$

• 특정 조건에서는 ^[12]분산을 사용하여 정규 근사치를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \displaystyle \display _{z}^{2}={\frac {\mu _{x}^{2}}\left({\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}\right)}$

상관 중앙정규비

위 식은 변수 X와 Y가 상관 관계에 있을 때 더 복잡해집니다.${\displaystyle {\mu }_{}}$ x = ${\displaystyle {\mu }_{}}$ y = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \mu$ _${x$}=\$mu$ _${y$}=$0$이지만 σ X σ Y$${\$displaystyle \mu$ _${X}\neq \mu _{$Y}}이고${\displaystyle }$≠ 0 {\$displaystyle \rho$ \$neq$ 0$}$인 $경우$ 보다 일반적인 코시 분포를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\pi}}{(z-\alpha)^{2}+\frac ^{2}}}}$

여기서 ρ는 X와 Y 사이의 상관계수이고

${\displaystyle \alpha =\rho {\frac {\display_{x}}{\display_{y}},}$

${\displaystyle \displaystyle \displaystyle = {\frac {\display_{x}}{\display_{y}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$

복잡한 분포는 또한 쿰머의 합류 초기하학 함수 또는 헤르마이트 ^[9]함수로 표현되었습니다.

상관 비중심정규비

상관 관계가 있는 비중심 정규 비율에 대한 근사치

Katz(1978)는 로그 도메인으로의 변환을 제안했습니다(아래 이항 섹션 참조).비율을 다음과 같이 하라.

$σ$$Y}}={\frac${\$mu$_{$x}}{\mu$ _${y}}{\frac {1+{\frac {X}}{\mu _{x$}}}}{$1+{\frac$ {Y$}{\mu _{y$

로그를 사용

${\displaystyle \log _{e}(T)=\log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}\right)+\log _{e}\left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}\right)-\log _{e}\left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ( 1${\displaystyle }$+${\displaystyle }$δ ) =${\displaystyle }$δ - δ 2${\displaystyle }$+ δ 3${\displaystyle }$+ ⋯ ${\displaystyle \log$ _${e}(1+\$displaystyle \log _{e})=\delta$-{\frac${\delta$$^{$2}}}}+{\frac {\$delta $^{3}}+\cdots }$부터 점근적으로

${\displaystyle \log _{e}(T)\근접 \log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}-{\frac {Y}}\sim \log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}\right)+\mathbb {N} \left(0,{\frac {\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}\right}).$

또는 Geary(1930)는 다음과 같이 제안했습니다.

${\displaystyle t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}$

는 대략적으로 표준 ^[1]가우스 분포를 갖습니다.이 변환을 Geary-Hinkley 변환이라고 합니다. Y가 으로 σ y{\$displaystyle \mu$ _${y}> 3\sigma _$y$}}$와 같이 음의 값을 가정하지 않을 경우 근사치가 좋습니다.

정확한 상관 관계가 있는 비중심 정규 비율

이 섹션에는 주요 주제에 대해 검증 가능한 언급이나 관련성이 없는 자료의 종합이 포함되어 있을 수 있습니다. 관련된 논의는 토크 페이지에서 확인할 수 있습니다.(2019년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

기어리는 상관 $비율{\displaystyle }$ z$${\$displaystyle$ z$}$가 가우스에 가까운 형태로 변환되는 방법을 보여주고 음의 분모 x + < {\$displaystyle$ x $+\mu$ _${x}<0}$의 확률에 따라 t$${\$displaystyle$ t$}$에 대한$$ $근사치$를 개발했습니다.필러의 나중 상관 비율 분석은 정확하지만 현대 수학 패키지와 함께 사용될 때 주의가 필요하며 마르살리아 방정식의 일부에서 비슷한 문제가 발생할 수 있습니다.팜-지아는 이 방법들에 대해 철저하게 논의했습니다.힝클리의 상관 결과는 정확하지만 아래에 나타나 있듯이 상관 비율 조건은 단순히 상관이 없는 조건으로 변환될 수 있으므로 전체 상관 비율 버전이 아닌 위의 단순화된 힝클리 방정식만 필요합니다.

비율은 다음과 같습니다.

${\displaystyle z={\frac {x+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}$

$x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}${\$displaystyle$ x$,y}$는 분산 σ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ σ y ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle \sigma$ _${x}^{2},\sigma$ _${y}^{$$2$$},$ X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$,Y}$는 $평균$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$ μ ${\displaystyle y_{}}$를${\displaystyle {}_{}}$갖습니다$.$ {\$displaystyle \mu$ _${x},\mu$ _${y}.$$}$x${\displaystyle \text{'},}$ ${\displaystyle y}${\$displaystyle$x', y {\$displaystyle$ x', y {\displaystyle x$',$$y$}가 상관 관계가 $없고$ x${\displaystyle {\text{'}}^{}}${\displaystyle x'}가 표준 $편차$를 가지도록 x${\displaystyle {}^{}}$$=$ ${\displaystyle x}$'${\displaystyle }$$=$ x -$$$ρ$$y$$σ$ x${\displaystyle {}_{}}$ /$$$σ$$y${\$displaystyle$ x$'}$를 쓰십시오.

${\displaystyle \display_{x}'=\display_{x}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}$

비율:

${\displaystyle z = {\frac {x'+\rhoy\display _{x}/\displaystyle _{y}+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}$

는 이 변환 하에서 불변하며 동일한 pdf를 유지합니다.$분자$의 y ${\displaystyle$ y$}$ 항은$$ 다음을 확장하여 분리할 수 있습니다.

${\displaystyle {x'+\rhoy\mu _{x}}/\displaystyle {x'+\mu _{x}}=x'+\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\displaystyle {x'}{\displaystyle {x}}+\rho (y+\mu _{y}){\frac {\displaystyle {x}}}$

갖기 위해

${\displaystyle z={\frac {x'+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}+\rho {\frac {\displaystyle {x}}}$

${}_{}$서 ${\mu }_{}^{}$ x'$$=${\mu }_{}$ x - ${}_{}$ y σ x σ$$y ${\textstyle \mu '_${x}=\$mu _{x}-\rho$ \$mu _{$y}{\$frac {\tax$ _${x}}{\tax$ _${y}}},$ z는 이제 불변의 z-벡터를 가진 상관없는 중심 정규 샘플의 비율이 되었습니다.

마지막으로, 명확하게 말하면, 상관 변수에 대한 $비율$ z$${\$displaystyle$ z$}$의 pdf는 수정된 매개 변수 σ x ${\displaystyle \prime ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ σ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ y$${\$displaystyle$$$\$nx}',\mu _{x}',\mu$ _${y}},$ ρ${\displaystyle }$= 0 {\$displaystyle$ \$rho '$=$0$}을 위의 힌클리 방정식에 입력하면 찾을 수 있습니다.z$${\$displaystyle$ z$\}$에서 ${\displaystyle \mathrm{ant}}$오프셋 - ρ x σ y ${\displaystyle -\rho${\$frac {\display_{x}}{\displaystyle}}}.$

위의 그림은 음영 처리된 쐐기가 주어진 $비율{\displaystyle }$x/${\displaystyle y}$ ∈로 선택된 면적의 증분을 나타내는 σ x = σ y = 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ =${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ = ${\displaystyle 0.5,}$ ρ = 0${\displaystyle .975}${\$displaystyle$ \n\x$}$=$\mu$ _${y}$=$1,\mu$ _${x$}= $0,\mu$ _${y$}= $0.5,\rho$ = $0.975}$와 양의 상관 관계에 있는 비율의 예를 보여줍니다. 여기서 음영 처리된 쐐기는 주어진 비율 x/y δ [${\displaystyle r,}$ r${\displaystyle }$+${\displaystyle }$sigma ]$${\$displaystyle$ x$/y\in [r,$$분포$와 중첩되는 위치에서 확률을 누적하는$$ $r+\$continues $]}.$논의 중인 방정식과 힝클리 방정식을 결합한 이론적 분포는 5,000개의 샘플을 사용한 시뮬레이션 결과와 매우 일치합니다.$위$ 그림을 보면 비율${\displaystyle \mathrm{z}}$= ${\displaystyle x}$ / y =$$1 {\$displaystyle z$= x / y$$= 1}의 경우 쐐기가 분포 질량을 거의 모두 우회하고 이론적 pdf에서 거의 0에 가까운 영역과 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.반대로 x${\displaystyle /y}$ ${\displaystyle$ x$/y}$이(가) 0으로 갈수록 $줄어들면{\displaystyle }$ 선은 더 높은 확률을 수집합니다.

이 변형은 Geary(1932)가 그의 eqn 8에서 부분적인 결과로 사용한 것과 동일하지만 그의 파생과 한계는 거의 설명되지 않았습니다.따라서 이전 섹션에서 가우스성을 근사화하기 위한 기어리 변환의 첫 번째 부분은 실제로 정확하며 Y의 양에 의존하지 않습니다.오프셋 결과는 첫 번째 섹션에서 "코시" 상관 0-평균 가우스 비율 분포와 일치합니다.Marsaglia는 동일한 결과를 적용했지만 이를 달성하기 위해 비선형 방법을 사용했습니다.

복소정규비

Baxley et al.^[13]은 상관된 0-평균 원대칭 복소 정규분포변수의 비율을 구하였으며, 이후 0-평균이 아닌 경우와 비대칭인 ^[14]경우로 확장하였습니다.상관된 0-평균인 경우 x, y의 합동 분포는

${\displaystyle f_{x,y}(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2} \Sigma}}}\exp \left{\signal{bmatrix}x\y\end{bmatrix}}^{H}\Sigma^{-1}{\bmatrix}x\y\end{bmatrix}}\right)}$

어디에

${\displaystyle \Sigma = {\display{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{x}\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}},\;x=x_{r}+ix_{i},\;y=y_{r}+i_{i}$

${\displaystyle (\cdot )^{$$H}}$는 에르미트의 전치이고

${\displaystyle \rho =\rho _{r}+i\rho _{i}=\operatorname {E} {\bigg(}{\frac {xy^{*}}{\frac _{x}\rong _{y}}{\bigg}\;\n\in \;\left \mathbb {C} \right \leq 1}$

Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z = $X/Y}$의 PDF가 발견되었습니다.

${\displaystyle {\display{aligned}f_{z}(z_{r),z_{i})&={\frac {1- \rho ^{2}}{\pi \prox}^{2}\prox_{y}^{2}}{\biggr(}{\frac {z^{2}}{\frac {z^{x}^{2}}}+{\frac {1}{\prox}z_{r}}-2{\frac {\rho _{r}z_{i}{i}}{\prox}\prox}{y}}}{\biggr}}^{-2}\&={\frac {1- \rho ^2}}{\pi \prox}^{2}\prox}^{{y}^{2}}{\biggr(})}{\frac {z}{\prox}}}-{\frac {rho ^*}}{\s.igma _{y}}{\Biggr }^{2}+{\frac {1- \rho ^{2}}{\sigma _{y}^{2}}{\Biggr )}^{-2}\end{aligned}}$

σ $x$ =$$σ y${\displaystyle \display_{x$}=\$display_{y}}$인 일상적인 경우 우리는

${\displaystyle f_{z}(z_{r},z_{i})={\frac {1- \rho ^{2}}{\pi \left(\;\;\; z-\rho ^{*} ^{2}+1- \rho ^{2}\right)^{2}}}$

CDF에 대한 추가 폐쇄형 결과도 제공됩니다.

그래프는 상관 계수가 θ = ${\displaystyle 0.7}$ exp${\displaystyle }$θ (${\displaystyle i}$π /${\displaystyle }$4 ) ${\displaystyle \rho$ = $0.7\exp(i\pi$/ $4$인 두 복잡한 정규 변수의 비율 pdf를 보여줍니다.pdf 피크는 축척된 ${\displaystyle \rho$의 복잡한 컨쥬게이트에서 발생합니다.

로그 정규 분포 비율

독립적이거나 상관된 로그 정규식의 비율은 로그 정규식입니다.이는 ${\displaystyle X_{}}$ 1$${\$displaystyle$ X_${1$$}}$과 X$2$ {\$displaystyle$ X_${$2}}이(가) 로그 정규 ${\displaystyle {}_{}}$라면 ${\displaystyle \ln }$⁡ ( $1)$ {\$displaystyle \$${\displaystyle {ln}_{}}$$(X_{$${\displaystyle 1}$})}과${\displaystyle {}_{}}$ ⁡ ($$X $2)$ {\$displaystyle \ln(X_{$2})}이(가) 정규 분포이기 때문입니다.독립적이거나 로그가 이변량 정규 분포를 따르는 경우 비율의 로그는 정규 분포를 따르는 독립적이거나 ^{[note 1]}상관된 정규 분포 확률 변수의 차이입니다.

이는 $1$ {\$displaystyle$X_${1$}과$$X 2 {\$displaystyle X_{$2$$}}의 공동 분포가 로그 정규 분포로 적절하게 근사화되는 양의 변수 비율을 필요로 하는 많은 응용 프로그램에서 중요합니다.${\displaystyle {이것}_{}}$은$Xi$ {\$displaystyle X_${i$$$}$가 많은 작은 백분율 변화의 누적의 결과이고 $양$이면서 대략 로그 정규 ^[15]분포여야 할 때, 지브라트의 법칙이라고도 불리는 곱셈 중심 극한 정리의 일반적인 결과입니다.

균일비율분포

두 개의 독립적인 랜덤 변수가 균일한 분포를 따르는 경우, 예를 들어,

${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{case}1&0<x<1\0&{\text{otherwise}}\end{case}}$

비율분포는

${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{case}1/2\qquad &0<z<1\{\frac {1}{2z^{2}}}\qquad &z\geq 1\0\qquad &{\text{case}}\end{case}}$

코시비분포

두 개의 독립 랜덤 변수가 각각 중위수가 0이고 $형상{\displaystyle }$ 인자가 {\$displaystyle$ a$}$인 코시 분포를 따르는 경우

${\displaystyle p_{X}(xa)={\frac {a}{\pi(a^{2}+x^{2}}}}$

그러면 랜덤 $변수$ Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z =$X$ / $Y}$의 비율 분포는

${\displaystyle p_{Z}(za)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).}$

이 분포는 ${\displaystyle$ a$}$에 $의존$하지 않으며 스프링어(p158 질문 4.6)에 의해^[8] 진술된 결과가 올바르지 않습니다.비율 분포는 랜덤 $변수$ W = ${\displaystyle X}$ Y ${\displaystyle$ W =$XY$의 곱 분포와 비슷하지만 같지는 않습니다.

${\displaystyle p_{W}(wa)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4}}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}\right).}$^[8]

일반적으로 두 독립 랜덤 변수 X와 Y가 각각 중위수가 0이고 형상 인자가 $각각{\displaystyle }${\$displaystyle$ a$$$}$ 및 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$인 코시 분포를 따르는 경우:

1. 랜덤 $변수$ Z =${\displaystyle X}$ / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z =$X$ / $Y}$의 비율 분포는
   $${\displaystyle p_{Z}(za,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2}}}\ln\leftfrac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}\right).}$$

   
2. 랜덤 $변수$ W = ${\displaystyle \mathrm{XY}}$ ${\displaystyle$ W = $XY}$의 제품 분포는
   $${\displaystyle p_{W}(wa,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2}}}\ln\leftfrac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}\right)}.$$

   

비율 분포에 대한 결과는$$b {\$displaystyle$ b$}$을${\displaystyle (}$를) ${\displaystyle \frac{\mathrm{1b}}{}}$로 $대체$하여 제품 분포에서 얻을 수 있습니다$.$ {\$displaystyle${\$frac {1}{b}}}$

표준정규 대 표준균일의 비율

X가 표준 정규 분포를 가지고 Y가 표준 균일 분포를 가지면 Z = X / Y는 확률 밀도 함수와 함께 슬래시 분포로 알려져 있습니다.

${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{case}\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]/z^{2}\neq 0\\varphi (0)/2\neq &z=0,\\\end{case}}$

여기서 ρ(z)는 표준 정규 ^[17]분포의 확률 밀도 함수입니다.

카이제곱, 감마, 베타 분포

G를 정규(0,1) 분포라고 하고, Y와 Z를 각각 m과 n 자유도를 갖는 치안정 분포라고 하고, 모두 독립적이며, f${\displaystyle {}_{}}$χ (${\displaystyle x,k}$) = ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \frac{{\frac{\mathrm{k}}{}}^{}}{}}$2 - ${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$e -${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ / ${\displaystyle \frac{{}^{}}{k^{}}}$ / ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}$Ω (${\displaystyle \frac{k}{}}$/ ${\displaystyle \frac{2)}{}}${\$displaystyle f_{\chi }(x,k$) = {\$frac {x}{2}}e^{-x/2}{2^{k/2}\Gamma (k/2$ 그렇다면,

${\displaystyle \frac{\sqrt{GY}}{}}$/${\displaystyle \frac{}{}{m}_{}}$ ~ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${\$frac {G}{\sqrt {Y/m}}\simt_{m}$ 학생의 t 분포

${\displaystyle \frac{Y}{}}$/ ${\displaystyle \frac{}{}}$Z / ${\displaystyle \frac{n}{}}$ $=$ ${\displaystyle {Fm,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle${\$frac {Y/m$} = $F_{m,n},$ 즉.Fisher's F-검정 분포

${\displaystyle \frac{YY}{}}$+${\displaystyle \frac{}{}Z}$ ~${\displaystyle \beta \frac{}{}}$ ( ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{}}$ 2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$2 )$${\$displaystyle${\$frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},$ {\$tfrac {n}{2}}}$ 베타 분포

${\displaystyle \frac{}{}{}^{}}$~ β${\displaystyle \text{'}}$ (${\displaystyle \frac{\mathrm{m2}}{},}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n2}}{})}${\$displaystyle \;\;{\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}}}$ 표준 베타 소수 분포

${\displaystyle V_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$~ χ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$λ χ k 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$($$\ ) {\$displaystyle$ V_${1}\sim {\chi'}_{k_{1}}^{2}(\lambda$ 비중심 치 제곱 분포, ${\displaystyle V_{}}$2 ~ χ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$′ 2 ${\displaystyle k_{}^{}}$ 2${\displaystyle 2}$ ($$0 ) {\$displaystyle V_{2}\sim {\chi'}_{k_{$$2$}($0)$ ${\displaystyle {및}_{}}$V 1 {\$displaystyle$V_{$1}$가$$V 2 {\$displaystyle V_{$2}}에 독립적이면,

${\displaystyle \frac{V_{}}{}}$1 / ${\displaystyle \frac{k_{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{V_{}}{}}$2 / ${\displaystyle \frac{k_{}}{}}$2 ~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}^{}\frac{{,}_{}}{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2_{}}_{}^{}}$′(${\displaystyle \lambda }$)$${\$displaystyle${\$frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}}\sim$ F$'_{k_{1}, k_{2}}(\lambda$ 비중심 F 분포입니다.

${\displaystyle \frac{}{}mn}$ ${\displaystyle F_{}^{}\frac{m}{}{,}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}\prime (\frac{\mathrm{m2}}{},}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n2}}{})}$ ${\displaystyle 또는}$ ${\displaystyle F_{}^{}\frac{m}{}{,}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$′(${\displaystyle \frac{\mathrm{m2}}{},}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n2}}{},}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{nm}}{})}${\$displaystyle${\$frac {m}{n},$ F$'$}=\$beta '({\tfrac {m}{2}}, {\tfrac {n}{2}}{\tfrac$}=\$beta '({\tfrac {m}{2}},${\$tfrac {n}{m$}, 1, ${\tfrac$ {$n}{$${\displaystyle m_{}^{}}$$}},$ $'\displaystyle$F'$_{m,n$ 피셔 F 밀도 분포, 두 카이-제곱 비율의 PDFm, n 자유도와 함께 합니다.

F-표에서 발견되는 피셔 밀도의 CDF는 베타 프라임 분포 기사에서 정의됩니다.오른쪽 꼬리에 m = 3, n = 4 및 5% 확률로 F-검정표를 입력하면 임계 값은 6.59입니다.이것은 적분과 일치합니다.

${\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty}}\not '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}},[0.05}$

임의의 모양 매개 변수 α와 α를 갖는 감마 분포 U와 V 및 그 척도 매개 변수가 둘 다 단일성으로 설정된 $경우{\displaystyle ,}$ 즉 U ~${\displaystyle \Omega }$ (${\displaystyle {\alpha }_{}1,}$1 ${\displaystyle ),}$ V ~${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {\alpha }_{}2,}$ 1$$) {\$displaystyle U\sim$ \Gamma (\$alpha _{1},$1$), V\sim$ \Gamma${\displaystyle (\backslash \mathrm{alpha}}$$_{2},$ ${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$x ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\alpha }}^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ - x${\displaystyle \frac{}{{}^{}}}$(${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$) ${\displaystyle$ \$Gamma (x;\$alpha,$1$ = {\$frac${$x^{\alpha -1}e^{-x}$$}{\Gamma(\alpha$ $)\}\}\},$ 다음

${\displaystyle {\frac {U}{U+V}}\sim \sim (\alpha _{1},\alpha _{2}),\qquad {\text{기대}}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \displaystyle '(\alpha _{1},\alpha _{2}),\qquad \qquad {\text{기대}}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1}$

${\displaystyle {\frac {V}{U}}\sim \sim \sim '(\alpha _{2},\alpha _{1}),\qquad \qquad {\text{기대}}}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1}$

U${\displaystyle }$~${\displaystyle }$γ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 1}$)$${\$displaystyle$ U$\sim \Gamma (x;\alpha,1$이면 θ U${\displaystyle }$~${\displaystyle }$γ (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$θ ) = ${\displaystyle x\frac{{\alpha }^{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{1^{}{}^{}}{}}$ - x θ k${\displaystyle \frac{}{}}$γ (${\displaystyle \frac{}{}}$α )$${\$displaystyle U\sim \Gamma (x;\alpha,\theta$ ) = {\$frac {x^{\alpha -1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}{\theta$^{$k}\Gamma$(\$alpha$ $)\}.$ 여기서 θ는 비율 매개 변수가 아니라 척도 매개 변수입니다.

U${\displaystyle }$~${\displaystyle }$Ω (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ θ${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle }$),${\displaystyle V}$ ~${\displaystyle }$Ω (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ θ${\displaystyle {}_{}}$2 )$${\$displaystyle$ U$\sim \Gamma (\alpha$_{$1},\theta$ _${1}),\;V\sim \Gamma (\alpha$_{$2},\theta$ _${2$인 경우, θ ${\displaystyle \theta }$ 매개 변수를 우리가 가진 통일성으로 재스케일링함으로써

${\displaystyle {\frac {U}{\frac {{1}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}={\frac {\theta _{2}}}{\frac {\frac {\theta _{2}}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {U}{\frac {{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}={\frac {\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \sim \sim \sim \sim '(\alpha _{1}$

따라서

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2}},{\frac {\theta _{2}})\displaystyle {\frac {\frac {U}{V}\right]={\frac {\theta _{2}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}}}{\frac {\alpha _{2}-1}}}.$

$여기$서 β ${\displaystyle \prime }$(${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle p}$,${\displaystyle }$q$)$ {\$display style$ \lamba '(\$alpha,\lamba,p,q)}$는 일반화된 베타 프라임 분포를 나타냅니다.

위에서 X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$′(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1)}$ ≡ ${\displaystyle {}^{}\prime ({\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}${\$displaystyle$X\$sim \beta '(\alpha$_{$1},\alpha$_{$2},$ 1$,1)\equiv \beta '(\alpha$_{$1},\alpha$ _${2})}$인 $경우$, θ${\displaystyle }$X ~ ${\displaystyle {}_{}}$′(${\displaystyle {\alpha }_{}{}_{}}$,${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle 2,}$ 1${\displaystyle ,}$ θ$$) ${\displaystyle X\$sim \$beta$'(\$alpha _{$1},\$alpha _{2},$ 1,\$theta$ $)\}$인 것은 명백합니다. 좀 더 명확하게 말하자면, 그 이후로

${\displaystyle \context '(x;\alpha _{1},\alpha _{2},1,R)={\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2}}$

$U{\displaystyle }$~${\displaystyle }$Ω (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ θ 1${\displaystyle }$),${\displaystyle V}$ ~${\displaystyle }$Ω (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ θ${\displaystyle {}_{}}$2 )$${\$displaystyle$ U$\sim \Gamma (\alpha$_{$1},\theta$ _${1}), V\sim \Gamma (\alpha$_{$2},\theta$ _${2})}$인 경우

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim {\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{2})={\frac {\left}\frac {x}{R}\right)^{\alpha _{1}-1}}\right)^{\left(1+{\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _1}+\alpha _{2}}}\cdot {\frac {1}{\;R\;B(\alpha _1},\alpha _{2}}},\;x\geq 0}$

어디에

${\displaystyle R={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}},\;\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\Gamma(\alpha _{1})\Gamma(\alpha _{2})}{\Gamma(\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}$

레일리 분포

X, Y가 레일리 $분포{\displaystyle f_{}}$ ( r ) = (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle /}$ σ ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {r^{}}^{}}$2 / ${\displaystyle 2^{}}$ σ 2${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle r}$ ≥ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle f_{r}(r$)=($r/\$display$^{2})e^{-r^{2}/2\$display$^{2}},\;\;r\geq$ 0$\}$인 경우 비율 Z = X/Y는 분포를 따릅니다.

${\displaystyle f_{z}(z)={\frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},\;\;z\geq 0}$

그리고 cdf를 가지고 있습니다.

${\displaystyle F_{z}(z)=1-{\frac {1}{1+z^{2}}}={\frac {z^{2}}{1+z^{2}},\;\;\;z\geq 0}$

Rayleigh 분포는 스케일링을 유일한 매개변수로 사용합니다.Z = ${\displaystyle \alpha }$X / ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z =\$alpha$ X$/Y}$의 분포는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{z}(z,\alpha )={\frac {2\alpha z}{(\alpha +z^{2})^{2}}},\;\;z>0}$

그리고 cdf를 가지고 있습니다.

${\displaystyle F_{z}(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}},\;\;\;z\geq 0}$

분수 감마 분포(chi, 카이제곱, 지수, Rayleigh 및 Weibull 포함)

일반화된 감마 분포는

${\displaystyle f(x;a,d,r)={\frac {r}{\Gamma(d/r)a^{d}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}}\;x\geq 0;\;a,\;d,\;r>0}$

여기에는 분수 파워를 포함하는 정규 감마, 카이, 카이 제곱, 지수, 레일리, 나카가미 및 웨이불 분포가 포함됩니다.여기서 a는 속도 매개변수가 아니라 척도 매개변수이고 d는 형상 매개변수입니다.

${\displaystyle U}$~${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ ; ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}r}$ ${\displaystyle ),}$V ~${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$ ; ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}r}$ ) ${\displaystyle \text{이 독립적}}$이고 ${\displaystyle W}$ =${\displaystyle U}$ / ${\displaystyle V}${\$displaystyle$ U$\sim$f($x;a_{1},d_{1},\;\;V\sim$ f$(x;a_{2},d_{2},r){\text{ 독립적이고 }}W$ = $U/V}$

( ) = ( a ) B ( 1 r ) - 2 - (+ ( a a) - - ) + r , > {\$textstyle$ g$(w$) = {\$frac {r\left}\frac {a_{1}}\right)$$^{d_{2}}}{B\left({\frac {d_{1}}{r}}}{\frac {d_{2}}{r}}{\right)}}{\frac {w^{-d_{2}-1}}{\left(1+\left({\frac {a_{2}}}{a_{1}}\right)^{-r}^{\frac {d_1}+d_{2}^{frac {d_1}+right)^{frac {d_1}+d_{2$$}$$}}:{r}}},\;\;w>0}$

$여기$서 B${\displaystyle }$( ${\displaystyle u,v}$ ) =${\displaystyle \frac{}{}}$γ (${\displaystyle \frac{u}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$γ (${\displaystyle \frac{v}{}}$ )${\displaystyle \frac{}{}}$γ (${\displaystyle \frac{u}{}}$ +${\displaystyle \frac{v}{}}$ )$${\$displaystyle$B ($u,v$) = {\$frac${\$Gamma (u)\Gamma (v)}{\Gamma (u$+$v)}}$

다양한 스케일링 인자의 혼합물 모델링

위의 비율에서 Gamma 표본, U, V의 $표본$ ${\displaystyle {크기}_{}}$는 α${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {\alpha }_{}}$2 ${\displaystyle$ \$alpha _{$1},\$alpha _{$2}}일 수 있지만 $동일$한 ${\displaystyle \frac{{분포}^{}}{}}$x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$1 ${\displaystyle \frac{e^{}}{}}$ - x θ k${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$(α$)$ {\$displaystyle {\frac${x^{\$alpha -1}e^{-{\frac${x}{\$theta$}}}}{\$theta ^{k$}\$Gamma$(\$alpha$)}}}, 동일한 스케일링$$θ ${\displaystyle$ \$theta$}}.

U와 V의 스케일이 다른 상황에서는 변수 변환을 통해 수정된 랜덤 비율 pdf를 결정할 수 있습니다.$X$ = ${\displaystyle \frac{U}{}}$+ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ = ${\displaystyle \frac{11}{}}$+ ${\displaystyle \frac{B}{}}${\$displaystyle$ X = {\$frac {U}{U+V$}} = {\$frac {1}{1+B}},$ U ${\displaystyle ~}$γ (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$θ ),${\displaystyle V}$ ~${\displaystyle }$γ (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$θ${\displaystyle }$),$$θ {\$displaystyle$ U$\sim \Gamma (\alpha$ _${1},\theta ), V\sim \Gamma (\alpha$ _${2},\theta ),\theta }$ 임의로, $위$에서 X ~${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e}$ t ${\displaystyle a}$(${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$), ${\displaystyle B}$ =${\displaystyle V}$ /${\displaystyle U}$ ~ ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ (${\displaystyle {\alpha }_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ )$${\$displaystyle$ X$\sim$ Beta $(\alpha$_{$1})$$,\alpha_{2},B=V/U\sim$ 베타$'(\alpha_{2},\alpha_{1$

$임의$로, Y${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \frac{U}{}}$U + φ V = ${\displaystyle \frac{11}{}}$+ φ B${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle 0}$≤ ${\displaystyle \le }$ ≤ ∞ {\$displaystyle$ Y$\sim${\$frac {U}{U+\varphi$ V}} = ${\frac${1$}{$1+\$varphi$ B$},\;\;0\leq$\varphi $\leq$ \infty $}$

${\displaystyle \frac{}{}}$ = ${\displaystyle 1\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{X}{}}$ ${\displaystyle$ B = {\$frac {1-X}{X}}$가 $있으며$ Y로 대체하면 Y = ${\displaystyle X\frac{}{}}$φ${\displaystyle \frac{}{}}$+ (${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$φ ) X${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle d}$Y / ${\displaystyle d}$ X =${\displaystyle \frac{}{}}$φ (${\displaystyle \frac{}{}}$φ${\displaystyle \frac{}{}}$+ ( ${\displaystyle \frac{1}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$φ )${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$X ) ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}${\$displaystyle$ Y = {\$frac {X}{\varphi$+ ($1-\varphi )X}}, dY/dX$= {\$frac${\$varphi$ + $(1-\varphi )X}^{2}}}$가 $됩니다$.

X를 Y로 변환하면 ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle Y{}_{}}$(${\displaystyle }$Y ) = ${\displaystyle f\frac{X_{}}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{X}}$ ) ${\displaystyle \frac{d}{}}$Y / ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{X}{}}$ =${\displaystyle \frac{}{}\beta }$ (${\displaystyle \frac{X}{}}$, ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\alpha }_{}}{}}$2 )${\displaystyle \frac{}{}}$φ${\displaystyle \frac{}{}}$/ [${\displaystyle \frac{}{}}$φ${\displaystyle \frac{}{}}$+ ( ${\displaystyle \frac{1}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$φ )${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$X ] ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}${\$displaystyle f_{Y}(Y$) = {\$frac {f_{X}(X)}$ {$dY/dX$ }} = {\$frac {\alpha _{1},\alpha$_{$2}}$ {\$varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{{2}}}}$

$참고$ X = φ ${\displaystyle \frac{}{}}$ 1${\displaystyle \frac{}{}}$- (${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$φ ) Y$${\$displaystyle$ X = {\$frac${\$varphi$ Y$}{1$- (1 -$\varphi )$$Y}}}$ 드디어$$ 도착했습니다.

${\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}\beta \left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha_{1},\alpha_{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq 1}$

따라서${\displaystyle ,}$ U ~${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ≥ 1${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ U$\sim \Gamma (\alpha$_{$1},\theta$ _${1})}$와${\displaystyle }$V ~${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ (${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ≥ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ V$\sim \Gamma (\alpha$_{$2},\theta$ _${2})}$인 $경우{\displaystyle }$
${\displaystyle \frac{Y}{}}$ = ${\displaystyle U\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{V}{}}$ ${\displaystyle$ Y = {\$frac {U}{U+V}}}$를 f ${\displaystyle Y_{}Y}$,${\displaystyle }$φ) ${\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi$)}로 분배하고 φ = θ 2$$θ 1$$θ \$displaystyle$ \varphi = {\$frac$ {\$theta _{$2}}{\$theta$ _${1}}}$로 분배합니다.

Y의 분포는 구간 [0,1]로 제한됩니다.Y${\displaystyle }$~ ${\displaystyle f_{}}$Y ( ${\displaystyle Y,}$φ )$${\$displaystyle$ Y$\simf_{Y}$ ($Y,\varphi$)}인 $경우$ 일반화할 수 있습니다.

${\displaystyle \Theta Y\simf_{Y}(Y,\varphi,\Theta )}$

$여기$서 ${\displaystyle f_{}}$ Y${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Y,}$φ,${\displaystyle }$θ ) =${\displaystyle \frac{}{}}$φ /${\displaystyle \frac{}{}}$θ [${\displaystyle \frac{1}{}}$- (${\displaystyle \frac{1}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$φ )${\displaystyle \frac{}{}}$Y /${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$θ ] ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$β ( φ${\displaystyle \frac{}{}}$Y / θ${\displaystyle \frac{}{}}$1 -${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$φ )${\displaystyle \frac{}{}}$Y /${\displaystyle \frac{}{}}$θ, ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle 0}$≤ Y$$θ {\$displaystyle f_{Y}(Y,\varphi,\Theta$ ) = {\$frac {\varphi /\Theta$} {[$1-(1-\varphi) Y/\$$세타]^{2}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi)Y/\$$Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }$

$θ$ ${\displaystyle \frac{Y}{}}$ ${\displaystyle$ \$Theta$ $}$는 ${\displaystyle \frac{\theta }{}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$ +$φ$ V ${\displaystyle$ {\frac$${\$Theta U}{U+\varphi V}}$

베타분포 표본의 역수

두 변수의 비율 분포는 아니지만 한 변수에 대해 다음과 같은 항등식이 유용합니다.

$만약$${\displaystyle X}$ ~${\displaystyle \beta }$(${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$β$)$ {\$displaystyle X\sim$ \displaystyle X\sim \display$(\alpha,\lapha$ )}이면 ${\displaystyle \frac{x}{}}$ =${\displaystyle \frac{X}{}}$ 1 - X ~${\displaystyle \frac{}{}\beta }$ ${\displaystyle \text{'}}$ (α,${\displaystyle \beta }$ )$${\$displaystyle$ \$mathbf {x}$= {\$frac {X}{1-X}\sim$\displaystyle $'(\alpha,\lapha )}$

${\displaystyle {}^{}}$~ β${\displaystyle }$′ (${\displaystyle \alpha ,}$β)$${\$displaystyle \mathbf {Y}$ \$sim \lambf '(\alpha,\alpha )'}$이면 y = ${\displaystyle 1\frac{}{}{}^{}}$ ~ β${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle \beta ,\alpha }$)$${\$displaystyle$ y = {\$frac {1}{\mathbf {Y}}\sim \lambf '(\lambf,\alpha$)}

뒤의 두 방정식의 산출량을 합하면

$만약{\displaystyle X}$ ~${\displaystyle \beta }$(${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$β$)$ {\$displaystyle X\sim$ \displaystyle X\sim \display$(\alpha,\alpha )}$이면 x = ${\displaystyle 1\frac{X}{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ~ β ${\displaystyle \text{'}}$ (${\displaystyle \beta ,\alpha }$ )$${\$displaystyle \mathbf {x}$ = {\$frac {1}{X}-1\sim \display'(\displaystyle,\alpha$

$만약{\displaystyle {}^{}}$ ~ ${\displaystyle \beta }$′${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$β$)$ ${\displaystyle \mathbf${Y$} \sim$ \lament '(\$alpha,\$lament )}이면$,$ $y$ = ${\displaystyle \frac{}{}}$1 +${\displaystyle \frac{Y}{}}$ ~${\displaystyle \beta }$ (${\displaystyle \alpha ,\beta }$)$${\$displaystyle$ y = {\$frac${\$mathbf {Y}}{1+\mathbf {Y}}\sim \lament (\alpha,\lament )}$

$since$ ${\displaystyle \frac{11}{}}$+ ${\displaystyle \frac{Y}{}}$ =${\displaystyle \frac{{}^{}}{}Y}$ - ${\displaystyle \frac{1^{}}{{}^{}}}$ -${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}$~${\displaystyle \beta }$ (${\displaystyle \beta ,\alpha }$)$${\$displaystyle${\$frac {1}{1+\mathbf {Y}}}$=${\frac${\$mathbf {Y}^{-1}}{\mathbf {Y}^{-1}+1}}\sim \sim$ \sim \sim $(\sim,\alpha$)}

그리고나서

${\displaystyle 1^{}}$+ ${\displaystyle Y\mathbf{}}$~${\displaystyle }${${\displaystyle \beta }$ (${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha )}$ ${\displaystyle {\}}^{}}$ - 1$${\$displaystyle$ 1$+\mathbf {Y}$ \$sim \{\;\beta (\beta,\alpha )\;\}^{-1$${\displaystyle }$β (${\displaystyle \beta ,\alpha }$) ${\displaystyle \beta (\beta,\alpha$)} $샘플$의 역수 분포.

${\displaystyle U}$~${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ (${\displaystyle \alpha ,1}$),${\displaystyle }$V ~${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ (${\displaystyle \beta ,1}$ )$${\$displaystyle$U\$sim \Gamma (\alpha, 1$), $V\sim \Gamma (\beta, 1)}$인 경우 ${\displaystyle {}^{}}$~ β${\displaystyle \text{'}}$ (${\displaystyle \alpha ,\beta }$)$${\$displaystyle${\$frac {U}{V}}\sim \beta$ ' (\$alpha,\beta$)} 및$$

${\displaystyle {\frac {U/V}{1+U/V}}={\frac {U}{V+U}}\sim \sim \sim (\alpha,\sim )}$

추가 결과는 역분포 기사에서 확인할 수 있습니다.

• X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$,\;Y}$가 평균 μ를 갖는 독립 지수 랜덤 변수라면 X - Y는 평균이 0이고 척도 μ를 갖는 이중 지수 랜덤 변수입니다.

이항 분포

이 결과는 1978년 ^[20]Katz et al.에 의해 처음 도출되었습니다.

X ${\displaystyle ~}$ ${\displaystyle \text{이항식}(n,}$ ${\displaystyle {p1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ X$\sim${\$text{이항식}}($$n$$,p_{1})}$ 및${\displaystyle }$Y ~${\displaystyle \text{이항식}}$(${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {p2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ Y$\sim${\$text{이항식}(m,p_{2})}$ 및 X$$ ${\displaystyle$X$\},$ Y ${\displaystyle$ Y$}$가 독립적이라고 $가정$합니다.T =${\displaystyle \frac{}{}X}$ / ${\displaystyle \frac{n}{}}$ / ${\displaystyle \frac{m}{}}$ ${\displaystyle$ T = {\$frac {X/n}{Y/m$이라고 $합니다$.

${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ( ${\displaystyle T}$)$${\$displaystyle \log(T)}$는 평균 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2_{}}$) ${\displaystyle \log(p_{1}/p_{2})},$ 분산$$(${\displaystyle \frac{}{}}$/${\displaystyle \frac{}{}\frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{1{}_{}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$+$$( 1 / p 2 ) - 1 m {\displaystyle {\$frac${(1$$/$p_{1})},$ {$n},$ + {\$frac${(1 / $p_{2})}, {{m$ {\frac {(1 / p_{2})}, {m}}, {\displaystyle \log(T)}입니다.

이항 비율 분포는 임상 시험에서 중요한 의미를 갖습니다. 만약 T의 분포가 위와 같이 알려진다면, 주어진 비율이 순전히 우연에 의해 발생할 확률, 즉 거짓 양성 시험을 추정할 수 있습니다.여러 논문에서 이항 ^{[citation needed]}비율에 대한 여러 근사치의 강건성을 비교합니다.

포아송 분포 및 절단된 포아송 분포

포아송 변수 R = X/Y의 비율에서는 Y가 유한 확률로 0이므로 R이 정의되지 않는 문제가 있습니다.이에 대응하기 위해 Y의 0개 표본이 할인되는 절단되거나 검열된 비율 R' = X/Y'를 고려합니다.또한 많은 의료 유형의 조사에서 X와 Y 모두의 0 표본의 신뢰성에 체계적인 문제가 있으며 어쨌든 0 표본을 무시하는 것이 좋은 방법일 수 있습니다.

귀무 포아송 표본이 e${\displaystyle {}^{}}$λ ${\displaystyle$ e$^{-\lambda$ 확률, 왼쪽 잘린 포아송 분포의 일반적인 pdf는

${\displaystyle {\tilde {p}}_{x}(x;\cdots)={\frac {1}{1-e^{-\cdots}}{\frac {e^{-\cdots}}{\cdots}}{\frac {e^{-\cdots}}{\cdots}},\;\;x\in 1,2,3,\cdots}$

하나가 되는 거죠Cohen에 ^[21]이어 n개의 독립 시행의 경우 다차원 절단 pdf는

${\displaystyle {\tilde {p}}(x_{1},x_{2},\display)={\frac {1}{(1-e^{-\display})^{n}}\displaystyle {\displaystyle {\display}}\displaystyle {\display}{\displaystyle {\tilde {p}}\displaystyle {x_{i}{x_{i}}{x_{i}}{x_{i}!}},\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots }$

그리고 로그 가능성은

${\displaystyle L=\ln({\tilde {p}})=-n\ln(1-e^{-\cdots})-n\cdots +\n(\cdots)\sum _{1}^{n}x_{i}-\n\cdots _{1}^{n}(x_{i}!),\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots }$

차별화를 통해 우리는

${\displaystyle dL/d\lambda = {\frac {-n}{1-e^{-\lambda}}+{\frac {1}{\lambda}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

그리고 0으로 설정하면 최대 우도 추정치 λ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ML}}_{}}${\$displaystyle${\$hat${\$lambda}}_{ML}$를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\hat {\n}}_{ML}}{1-e^{-{\hat {\n}}_{ML}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}}$

λ${\displaystyle \stackrel{}{}}$^${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\hat {\display}}\to$ 0$}$인 경우 x ¯ → ${\displaystyle 1}${\$displaystyle${\$bar {x}}\to$1이므로 절단된 최대 우도 λ ${\displaystyle \display}$추정치는 절단된 분포와 절단되지 않은 분포 모두에 대해 정확하지만,는 잘린 평균 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$¯ ${\displaystyle${\$bar {x}}$ 값을 제공합니다. 이 $값$은 잘린 평균 x { {\bar {x}} 값과 비교하여 매우 바이어스가 높습니다.그러나 λ$$λ${\displaystyle \stackrel{}{}}$lambda$$¯$$¯$$lambda ∑$$ { }}$$}$${$$ depends }} \ }} display \ m { _ } \ style 1 = { never through the = 1 only data on = ¯ theless for 1$${$$}$$_$$x$$ in }} sum { i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ \ { \ it { \ which 1 }} λ x lambda$$ { { ^ i λ n { { \ style \ \ { ∑ ¯ }} x ^ n { the mean x is display l since sample style bar the \ { display is that { style x x a ml en appears bar hat lambda { equation consist n su previous statistic display \ _ ac fr n fficient i일반적인 포아송 분포의 방법론을 사용하여 t.

닫힌 형식 솔루션이 없는 경우 $절단$된$$λ ${\displaystyle$ \$lambda}$에 대한 다음 근사적인 반전은 $전체$ 범위 0${\displaystyle }$≤${\displaystyle }$≤ ≤ ${\displaystyle \le }$ ≤ ${\displaystyle x}$≤ ≤$$ {\$displaystyle$ 0$\leq \lambda \infty ;\;1\leq${\$bar {x}}\leq \infty$ $\}$에서 유효합니다.

${\displaystyle {\hat {\display}}={\bar {x}}-e^{-({\bar {x}}-1)-0.07({\bar {x}-1)e^{-0.666({\bar {x}-1)}+\epsilon,\;\;\epsilon <0.006}$

단순히 λ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ = ${\displaystyle x}$ ¯ {\$displaystyle${\$hat${\display}} = ${\bar {x$ $비율$ R =$$λ${\displaystyle {}_{}}$^ X /$^$ Y {\$displaystyle$ R = ${\$hat {\$display}}_{X}/{\$hat {\$display}}_${{\displaystyle {}}$Y$$}}$은${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$$λ$$$^ X${\displaystyle {\hat$ {\$lambda}}$_{X}}는 잘리지 않은 모델을 사용할 수 있지만 $λ$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle${\$hat${\$lambda}}_{$$Y}}$에는 왼쪽으로 꺾인 것이 있습니다.

λ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle n\lambda {\text{variance$ of $}}(및$ 크라메르-라오 경계)의 점근적 큰 n λ${\displaystyle \text{분산은}}$

${\displaystyle \mathbb {Var}({\hat {\mathbb}})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\frac ^{2}L}{\delta ^{2}}\right]_{\delta ={\hat {\delta}}\right)^{-1}$

L로 대체하면 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\frac {\bar ^{2}}{\delta \delta ^{2}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\bar ^{2}}}-{\frac {e^{-\bar }}}{{(1-e^{-\bar })^{{2}}\right]}}$

위의 식에서 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$∈ ${\${\$bar {x}}$를 $대입$하면 코헨의 분산 추정치를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbb {Var}({\hat {\lambda}})\geq {\frac {\hat {\lambda}}{n}}{\frac {(1-e^{-{\hat {\lambda}})^{2}}{{\hat {\lambda}}}^{-({\hat {\lambda}}}}$

n번의 시행을 기준으로 평균 λ ${\displaystyle \lambda$의 점 추정치의 분산은 n이 무한대로 증가함에 따라 0으로 점증적으로 감소합니다.작은$$λ {\$displaystyle \lambda }$의 경우 Springael의 잘린 pdf 분산에서 분기됩니다. 예를 들어, 다음의 분산을 인용하는 사람은

${\displaystyle \mathbb {Var}(\displaystyle)={\frac {\display/n}{1-e^{-\display}}\left[1-{\frac {\displaye^{-\display}}}{1-e^{-\display}}\right]}$

이 섹션의 맨 위에 표시된 왼쪽 상단 pdf의 n 샘플에 대해.Cohen은 pdf, ${\displaystyle \mathbb{Var}}$ ( λ ^${\displaystyle }$) / ${\displaystyle \mathbb{Var}(}$λ ) ${\displaystyle \mathbb {Var}({\hat {\lambda}})/\mathbb {Var}(\lambda$의 분산이 큰 {\$displaystyle \lambda}($100% 효율적)의 경우 1부터$$λ ${\displaystyle$ \$lambda}$가 0(50% 효율적)에 가까워짐에 따라 2까지 다양함을 보여주었습니다.

이러한 평균 및 분산 모수 추정치는 X에 대한 병렬 추정치와 함께 포아송 비율에 대한 정규 또는 이항 근사치에 적용할 수 있습니다.시험 표본은 포아송 과정에 적합하지 않을 수 있습니다. 포아송 절단에 대한 추가적인 논의는 Dietz and Bohning에^[23] 의해 있으며 0개의 포아송 분포 위키백과 항목이 있습니다.

이중 로맥스 분포

이 분포는 두 개의 ^[24]라플라스 분포의 비율입니다.X와 Y를 표준 라플라스에 동일한 분포된 랜덤 변수라고 하고 z = X / Y라고 합니다.그러면 z의 확률분포는

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2(1+ z)^{2}}}}$

X 및 Ya의 평균을 그대로 두십시오.그런 다음 표준 이중 로맥스 분포는 a를 중심으로 대칭됩니다.

이 분포에는 무한 평균과 분산이 있습니다.

Z에 표준 이중 로맥스 분포가 있으면 1/Z에도 표준 이중 로맥스 분포가 있습니다.

표준 Lomax 분포는 단일 분포이며 Laplace 분포보다 꼬리가 더 무겁습니다.

0 < a < 1의 경우 a번째 모멘트가 존재합니다.

${\displaystyle E(Z^{a})={\frac {\Gamma(1+a)}{\감마 (1-a)}}$

여기서 Δ는 감마 함수입니다.

다변량 분석에서의 비율 분포

비율 분포는 다변량 ^[25]분석에서도 나타납니다.랜덤 행렬 X와 Y가 Wishart 분포를 따르는 경우, 행렬식의 비율

${\displaystyle \varphi = \mathbf {X} / \mathbf {Y} }$

는 독립적인 F 랜덤 변수의 곱에 비례합니다.X와 Y가 독립적으로 표준화된 Wishart 분포에서 나온 경우, 비율

${\displaystyle \Lambda = { \mathbf {X} / \mathbf {X} +\mathbf {Y}}}$

윌크스의 람다 분포를 가지고 있습니다

Wishart 행렬이 포함된 2차 형태의 비율

확률 분포는 무작위 이차 형식에서 유도될 수 있습니다.

${\displaystyle r=V^{T}AV}$

$여기$서 V ${\displaystyle$ V$}$ 및$$/$또는{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$ A$}$은(^[26]는) 랜덤합니다.A가 다른 행렬 B의 역이면 $r$ = ${\displaystyle {}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$B - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ r = $V^{T}B^{-1}V}$는 어떤 의미에서 무작위 비율이며 최소 제곱 추정 문제에서 자주 발생합니다.

가우시안 경우, A가 복소수 Wishart $분포{\displaystyle }$A ~ ${\displaystyle {}_{}{C}_{}}$ (${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}k}$,${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ A$\sim$ W_${C}(A_{0}, k$, $p)}$의 차원성 p x p 및 k 자유도 ${\displaystyle$ k$\geq$p}인$$ $반면{\displaystyle }$, V$${\$displaystyle$ V$}$는 에르미트(conjugate) 전치${\displaystyle {}^{}}$ ) $H${\displaystyle$(.^{H$$}}$ 비율

${\displaystyle r=k{\frac {V^{H}A_{0}^{-1}V}{V^{H}A^{-1}V}}$

Gamma 분포를 따릅니다.

${\displaystyle p_{1}(r)={\frac {r^{k-p}e^{-r}}{\Gamma(k-p+1)},\;\;r\geq 0}$

결과는 최소 제곱 적응형 위너 필터링에서 발생합니다. 의 ^[25]eqn(A13) 참조.원래 기사에서는 $분포$가 ${\displaystyle p_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$r ) = ${\displaystyle k^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}e}$ -${\displaystyle r^{}}$ /${\displaystyle \Omega }$ (${\displaystyle k}$ -${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle p_{1}(r$) = $r^{k-p-1}\;e^{-r}\;/\Gamma(k-p$라고 주장합니다.

마찬가지로, 전체 순위 ($k$ ≥${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle$ k$\geq$p )} 영-평균 실-값 Wishart 행렬 $샘플{\displaystyle }$W ~${\displaystyle W}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$,${\displaystyle k}$,${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle$W\$sim$ W $(\Sigma,k,p$ 및 W와 무관한 V 랜덤 벡터에 대하여, 비율

${\displaystyle r={\frac {V^{T}\Sigma ^{-1}V}{V^{T}W^{-1}V}}\sim \chi _{k-p+1}^{2}}$

이 결과는 보통 Muirhead(1982)^[27]에 기인합니다.

주어진 복잡한 Wishart $행렬{\displaystyle }$A ~ ${\displaystyle {WC}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}I,k,p)}${\$displaystyle$ A$\sim$ W_${C}(I,k,p$ 비율

${\displaystyle \rho = {\frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-2}V\cdot V^{H}V}}$

베타 분포를 따릅니다(의 eqn(47^[28])).

${\displaystyle p_{2}(\rho)=(1-\rho)^{p-2}\rho^{k-p+1}{\frac {k!}{(k+1-p)!(p-2)!}},\;\;\;0\leq \rho \leq 1}$

제한 최소 제곱 필터링의 성능 분석에서 결과가 발생하며, A${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$(${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle p)}${\$displaystyle$ A$\sim$ W_${C}$ ($A_{0}, n, p)}$인 경우 $보다{\displaystyle }$ 복잡하지만 궁극적으로 동등한 비율에서 도출됩니다.

${\displaystyle \rho = {\frac {(V^{H}A^{-1}V)^{2}}{V^{H}A^{-1}A_{0}A^{-1}V\cdot V^{H}A_{0}^{-1}V}}$

가장 간단한 형태로, ${\displaystyle {만약}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Ai}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ~${\displaystyle W_{}}$ C${\displaystyle }$(${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle k,}$ p$$) {\$displaystyle A_{i,$j}\$sim W_{C}$ $(I,k,$p)}이고 ${\displaystyle {Wi,}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ = (${\displaystyle {{}^{}}_{}}$-${\displaystyle {1^{}}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle W^{$i,j}=\$left(W^{-1}\right)_{i,j}$인 경우, (1,1) 역요소 제곱의 전체 행 요소의 모듈러스 제곱의 합에 대한 비율은 분포를 갖습니다.

${\displaystyle \rho = {\frac {\left(W^{1,1}\right)^{2}}{\sum _{j\in 1..p} W^{1,j} ^{2}}\sim \beta (p-1,k-p+2)}$

참고 항목

• 확률 분포 간의 관계
• 역분포(역분포라고도 함)
• 제품유통
• 비율추정기
• 슬래시 분포

메모들

참고문헌

외부 링크

• MathWorld에서의 비율분포
• MathWorld에서의 정규 비율 분포
• 수학 페이지에서 비율 분포