비중앙 카이-제곱 분포

비중앙 카이-제곱

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	> 0 ${\$자유도 > ${\$비중앙 파라미터
지원	$[0;+\fty )\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac{1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\좌측({\frac {x}{\lambda }}\우측)^{k/4-1/2-1}I_{\sqrt{\lambda x}}}}}}}}$
CDF	${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{k}}{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}\lambda \sqrt{}}$, x${\displaystyle }$) ${\$ {$k}{2}}:\좌측({\sqrt{\lambda }}},{\sqrt{$${\displaystyle x}$$}\우측)$ 및 Marcum Q-기능 ${\displaystyle {Q-M}_{}}$ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$)${\displaystylean Q_{M}$
평균	$\displaystyle k+\data \,}$
분산	${\displaystyle 2(k+2\butda )\,}$
왜도	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\\da )}{{(k+2\lambda )^{3/2}}:$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{{(k+2\lambda )^{2}}:$
MGF	${\displaystyle {\frac {\exp \left\frac {\frac}{1-2t}\오른쪽)}{{1-2t)^{k/2}}{\text{{{{}}}}{}}}}}{2}}:t<1}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left\frac {i\fractda t}{1-2it}\right)}{{(1-2it)^{k/2}}:$

확률론 및 통계학에서 비중앙 카이-제곱 분포(또는 비중앙 카이-제곱 분포, 비중앙 $square$ 2$${\displaystyle $\chi ^{2}}$ 분포$$)는 카이-제곱 분포의 비중앙 일반화다.이는 종종 null 분포가 카이-제곱 분포인 통계적 시험의 검정력 분석에서 발생한다. 이러한 시험의 중요한 예는 우도-비율 시험이다.null

정의들

배경

$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, X ${\displaystyle i_{}}$,${\displaystyle }$… , X ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots, X_{k}})$은(는) k 독립적이고 정규 분포 랜덤 변수로서 평균 ${\displaystyle {\mu i}_{}}$ ${\$ 및$$ 단위 분산을 갖도록 한다.그러면 랜덤 변수

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

비중앙 카이-제곱 분포에 따라 분포한다.자유도($예{\displaystyle {}_{}}$: X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 지정하는$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$과($$와) 랜덤 변수 ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$의 평균과 관련된 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 두 가지 매개 변수를 다음과 같이 가진다$$.

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 비중심성 매개 변수라고도 한다$$.일부 참조는 위의 합계의 절반 또는 제곱근과 같은 다른 방법으로$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 정의한다는 점에 유의하십시오.null

이 분포는 다변량 정규 분포의 파생상품으로서 다변량 통계량에서 발생한다.중심 카이-제곱 분포가 $N{\displaystyle ({\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle N(0_{k})$을 갖는 랜덤 벡터의 제곱 정규 분포인 반면,$I_{k}}$ 분포$$(즉, 해당 분포에서 무작위로 취한 지점까지의 제곱 거리), 중심적이지 않은 $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}은 $N{\displaystyle (\mu }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle N(\mu ,I_{k})$ 분포가$$ 있는 랜덤 벡터의 제곱 표준이다$$.여기서 $0{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 길이 k의 제로 벡터, $\mu {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\mu }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mu =(\mu_{1},\ldots,\mu_{k})$이며 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 크기 k의 ID 행렬이다.

밀도

확률밀도함수(pdf)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\inflit }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}{Y_{k+2}}(x),}$

여기서 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$은(는)$q$ {\displaystyle $q}$ 자유도를 가진$$ 카이-제곱으로 분포한다$$.null

이 표현에서 중심 카이-제곱 분포는 중심 카이-제곱 분포의 포아송 가중치 혼합으로 보인다.랜덤 변수 J에 ${\displaystyle 평균\mathrm{}}$ isson /$$2 $\{\backslash$$displaystyle$\lambda /2$}$이(가) $있는$ 포아송 분포가 있으며 J = i가 주어진 Z의 조건부 분포는 k + 2i 자유도로 카이-제곱된다고 가정하자.그런 다음 Z의 무조건적인 분포는 자유도가 k인 중심 카이-제곱이 아니며 중심성이 아닌 파라미터 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이다$.$

또는 pdf는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$( ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle I_{\nu }(y)}}$은(는) 다음이 제공한 첫 번째 종류의 수정된 Besel 함수다$$.

${\displaystyle I_{\nu }(y/2)^{\nu }^{j=0}^{j=0}^{\fract{(y^{2}/4)^{j}{j}}}{j!\감마(\nu +j+1)}}.}$

베셀 함수와 초기하 함수의 관계를 이용하여 pdf는 다음과 같이 기록할 수도 있다.^[1]

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

시겔(1979)은 사례 k = 0 구체적으로 (자유도 0도)를 논하는데, 이 경우 분포는 0에 별개의 성분을 가진다.null

pdf의 파생

확률밀도함수의 도출은 다음 단계를 수행하여 가장 쉽게 이루어진다.

1. $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{}}$ k ${\$이(가) 단위 분산을 가지기$$ 때문에 이들의 공동 분포는 위치 이동까지 세속적으로 대칭적이다.
2. The spherical symmetry then implies that the distribution of ${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ depends on the means only through the squared length, ${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$. Without loss of generality, we can therefore${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$= ${\$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu 2}_{}}$ ${\displaystyle ={\mu k}_{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \mu \cdots =\k}=0}$.
3. $이제{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$예: k = 1 case)의 밀도를 도출한다.랜덤 변수의 단순한 변환은 다음을 보여준다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac{1}{\sqrt{2\pi x}e^{-(x+\fida )/2}\coshpec\sqrt{\lineed}}}}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \pi (\cdot )}$은 표준 정규 밀도다.

1. 테일러 시리즈에서 cosh 용어를 확장하십시오.이것은 여전히 k = 1에 대한 포아송-가중 혼합물의 밀도를 나타낸다.위의 시리즈에서 카이-제곱 랜덤 변수의 지수는 이 경우 1 + 2i이다.
2. 마지막으로 일반적인 경우.We've assumed, without loss of generality, that ${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$ are standard normal, and so ${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$ has a central chi-squared distribution with (k − 1) degrees of freedom, independent of ${\displaystyle X_{1}$$^{2$$$$X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 대한 포아송 가중 혼합물 표현과 카이-제곱 랜덤 변수의 합도 카이-제곱이라는 사실을 사용하여 결과를 완성한다.시리즈 내 지수는 필요에 따라 (1 + 2i) + (k - 1) = k + 2i이다.

특성.

모멘트생성함수

모멘트 생성 함수는

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}\오른쪽)}{{(1-2t)^{k/2}}.}$

순간

처음 몇 순간은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\cHBDA }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\\da )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\\da)+4(11k^{2}+44k\\da +36\\da ^{2})+48(k+4\lambda )}}}$

처음 몇 순간은 다음과 같다.

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

N번째 누적분포함수는

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )\,}$

그러므로

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1(n-1)!(k+n\\da )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}{n-j-j!}}}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

누적분포함수

다시 중심과 비중심 카이-제곱 분포 사이의 관계를 사용하여 누적 분포 함수(cdf)를 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\\\sum _{j=0}^{\frac{(\lambda /2)^{j}}{j!}}}Q(x;k+2j)}$

여기서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$; k${\displaystyle }$) ${\$는 k 자유도를 갖는 중심 카이-제곱 분포의 누적 분포 함수로서$$, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}},}$

여기서 $where{\displaystyle }$(${\displaystyle k}$, z${\displaystyle }$) ${\$\ \ $(k,z)\,}$은(는) 미완성 감마함수 하한이다.

Marcum ${\displaystyle \mathrm{Q-function}}$ $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$(${\displaystyle }$, b${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q_{M}($)}도 cdf를 나타내는 데 사용할 수 있다$$.^[2]null

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\왼쪽({\sqrt{\lambda }}},{\sqrt {x}\오른쪽)}$

자유도 k가 양의 홀수 정수일 때, 우리는 다음과^[3] 같이 주어지는 보완적 누적분포함수에 대한 폐쇄형 표현식을 갖는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}1-P(x;2n+1,\lambda )&=Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

여기서 n은 음이 아닌 정수, Q는 가우스 Q 함수, I는 반정수 순서의 제1종 수정 베셀 함수다.반정수의 순서가 있는 제1종류의 변형 베셀함수는 그 자체로 쌍곡함수의 관점에서 유한한 합으로 나타낼 수 있다.null

특히 k = 1의 경우,

${\displaystyle 1-P(x;1,\lambda )=Q({\sqrt{x}-{\sqrt{\lambda }}})+Q({\sqrt{x}+{\sqrt{\lambda }}}).}$

또한, k = 3의 경우,

${\displaystyle 1-P(x;3,\lambda )=Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}.}$

근사치(분위수 포함)

Abdel-Aty는^[4] 중심적이지 않은 Wilson-Hilperty 근사치를 도출한다("첫 번째 근사").

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\right)^{\frac {1}{3}}}$ is approximately normally distributed, ${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\right),}$ i.e.,

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left\{{\frac {\left({\frac {x}{k+\lambda }}\right)^{1/3}-\left(1-{\frac {2}{9f}}\right)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\right\},{\text{where }}\ f:={\frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

꽤 정확하고 비중심성에 잘 적응하고 있어또한 $f{\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$은(는) $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda =0$ (중앙) 카이-제곱 케이스에 $대해$ ${\displaystyle f}$= k ${\displaystystyle f=k}$이 된다.null

Sankaran은[5] 누적분포함수에 대한 다수의 닫힌 형태 근사치를 논한다.앞선 논문에서 그는 다음과 같은 근사치를 도출하고 기술하였다.^[6]

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\관련 \Phi \left\{{\frac {x}{k+\lambda }}}^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}}{h{\sqrt{2p}(1+0.5mp)}}\오른쪽\}}}$

어디에

${\displaystyle \mathrm{\phi }}${ ${\displaystyle \cdot }$} ${\$은 표준 정규 분포의 누적 분포 함수를 나타낸다.

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}{\frac {(k+\\da )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )}{{2}}\,;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\boda }{{(k+\boda )^{2}};}$

$(\displaystyle m=(h-1)(1-3h)\,}$

이것과 다른 근사치는 후기 텍스트북에서 논한다.^[7]null

보다 최근에는 자유도가 홀수인 비중앙 카이-제곱 분포의 CDF를 정확하게 계산할 수 있기 때문에, 균등한 자유도에 대한 CDF는 Marcum-Q 함수의 단조성과 로그-상호성을 이용하여 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\약 {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽[P(x;2n-1,\lambda )+P(x;2n+1,\lambda )\right]}$

상한 역할을 하는 또 다른 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle P(x;2n,\lambda )\약 1-\left[(1-P(x;2n-1,\lambda ))(1-P(x;2n+1,\lambda ))\right]^{1/2}.}$

주어진 확률에 대해, 이러한 공식들은 쉽게 $반전$되어 대략적인 정분위수를 계산하기 위해$$x {\$displaystyle$ x$\}$에 해당하는 근사를 제공한다.null

관련 분포

• $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 카이-제곱 분포 $V{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$인 경우 V ${\$displaystyle V$}도 중앙$이 아닌 카이-제곱 분포$$:${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• 독립적인 비중앙 카이-제곱 변수 $of{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ c ,${\displaystyle {Yi}_{}}$~ ${\displaystyle {\chi \mathrm{}}^{}}$2 ${\displaystyle {(}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$)의 선형 조합으로,$$\$displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}$$Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{i}^{2})$은$($는) 일반화된 카이-제곱 분포로 되어 있다.
• If ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$ and ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$ and ${\displaystyle V_{1}}$ is independent of ${\displaystyle V_{2}}$ then a noncentral F-distributed variable is는 $V{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$/ k ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{V\mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$/ ${\displaystyle \frac{k{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$~ F ${\displaystyle {{k\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1{}_{}}_{}^{}}$, k ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1$}/{1$}:{V_{2}/{2}}:\sim F'{k_{1$},$k_{1},{2}}(\lambda$ )로 개발되었다$.$
• If ${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\right)}$, then ${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• $V{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ($$${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle V\sim {\chi '}{2}^{$2}^{$2}(\$$lambda$ $)\}$인 경우 $V{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$$sqrt$${V}}}$이(가$)$ 매개 변수 $\lambda {\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystystyles$ 배포를 취한다$$$.$
• 평범한 근사:[8]만약 V∼χ ′ k2(λ){\displaystyle V\sim{\chi의}(\lambda)}선택하면 km그리고 4.9초 만 → ∞{\displaystyle k\to\infty}이나 λ→ ∞{\displaystyle로 분포에서 V−(k+λ)2(k+2λ)→ N(0,1){\displaystyle{\frac{V-(k+\lambda)}{\sqrt{2(k+2\lambda)}}}\to N(0,1)}.\l$ambda \to \fty$
• If ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$and ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$, where ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ are independent, then ${\displaystyle W=(V_1+V_2)\sim }$${\displaystyle {{\chi }^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}^{}{k\mathrm{}}_{}}$ 1 +${\displaystyle {}_{}{\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2$})\$심${\chi '}$_{k}^{2}(\lambda$ _{$1}+\$lambda _${2})($$여기$서 k${\displaystyle }$= 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}$k_{$2$\}\}.$
• 일반적으로 V ${\displaystyle i_{}}$ ~${\displaystyle {{}^{}}_{{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle k_{{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle {{}_{}}_{\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ )의 유한 집합에 ${\displaystyle \mathrm{대해서}}$는${\displaystyle i}$ finite { 1${\displaystyle \mathrm{.}}$${\$$N\right\}}$, the sum of these non-central chi-square distributed random variables ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$ has the distribution ${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$ where ${\displaystyle k_y=\sum _{i=1}^N{k}_i,{\lambda }_y=\sum _{i=1}^{}}$${\displaystyle \underset{}{\overset{}{N}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$This can be seen using moment generating functions as follows: ${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{i}}(t)}$ by the independence of the ${\displaystyle V_{i}}$ random variables.비중앙 치 사각 분포에 대한 MGF를 제품에 연결하고 새로운 MGF를 계산하는 것이 남아 있다. 이 작업은 연습으로 남겨진다.또는 위의 배경 섹션의 해석을 통해 분산이 1이고 지정된 평균을 갖는 독립 정규 분포 랜덤 변수의 제곱합으로 볼 수 있다.
• 복잡한 중심 이외의 카이-제곱 분포는 무선 통신과 레이더 시스템에 응용된다.^{[citation needed]}Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$z ${\displaystyle k_{}}$) ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})$는 중심 원형의 대칭성이 아닌 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$의 수단인 독립 스칼라 복합 랜덤 변수, μi${\$ 및 단위$$ 분산을 갖는$$ 수이다.${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {z_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i{}_{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle {2{}_{}}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left z_{i}-\mu _{i}\right ^{2}=1$}$$$.$그런 다음 실제 랜덤 $변수{\displaystyle }$S =${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle {1k}^{}\underset{}{\overset{}{}}{{}_{}}^{}}$ z ${\displaystyle {i{}_{}}^{\mathrm{}}}$ 2$${\$displaystyle$ S$=\sum$_{$i=1}^{k}\왼쪽$ z_${i}\오른쪽$^$2}}$은 복잡한 중심 카이-제곱 분포에 따라 분포한다$$.

${\displaystyle f_{S}(S)=\좌측({\frac {S}{\lambda }}}}^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}}I_{k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$

여기서 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\lambda }}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle {k{}_{}}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}\underset{}{\overset{}{}}{{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle {2_{}}^{}}$. ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\왼쪽 \mu _{i}\오른쪽 ^{2}.$$}$

변형

Sankaran (1963) discusses the transformations of the form ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$. He analyzes the expansions of the cumulants of ${\displaystyle z}$ up to the term ${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$ and shows that the following choice$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 s는 합리적인 결과를 산출한다$$.

• ${\displaystyle }$$b{\displaystyle }$${\displaystyle }$= (${\displaystyle \mathrm{k}}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ b$=(k-1)/2$}이$($가) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $z}$의 두 번째 누적분포를 makes {\displaystyle $\lambda }$과(와) 거의$$ 독립적으로 만든다$$.
• ${\displaystyle b}$= (${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle b=(k-1)/3}$은(는) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$z}$을(를$)$ 거의 독립적으로 만든다$$.
• ${\displaystyle b}$= (${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle b=(k-1)/4}$은(는) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 네 번째 누적분포를 거의 독립적으로 만든다.

Also, a simpler transformation ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$ can be used as a variance stabilizing transformation that produces a random variable with mean ${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$ and variance ${\$$디스플레이$ 스타일 O$((k+\lambda )^{-2$ .

이러한 변형의 사용성은 음수의 제곱근을 취할 필요성에 의해 저해될 수 있다.null

다양한 키 및 키 제곱 분포

이름	통계
카이 제곱 분포	${\displaystyle \sum \sum _{1}^{k}\좌({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{i}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}$
비중앙 카이-제곱 분포	${\displaystyle \sum _{1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}$
기 분포	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{i}}}}{\sigma _{i}\오른쪽)^{2}}:$
비중앙 기 분포	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}:$

발생 및 적용

공차 구간에서 사용

비중앙 카이-제곱 분포를 기반으로 양면 정규 회귀 공차 구간을 구할 수 있다.^[9]이를 통해 표본 모집단의 특정 비율이 어느 정도 신뢰 수준에서 포함되는 통계적 간격을 계산할 수 있다.null

메모들

참조

• 아브라모위츠, M.와 스테건, I. A. (1972년), 도버 수학적 기능 핸드북섹션 26.4.25.
• 존슨, N. L., 코츠, S., 발라크리쉬난, N.(1995) 연속 단변량 분포, 제2권(2판), 와일리.ISBN 0-471-58494-0
• 뮤어헤드, R. (2005) 다변량 통계 이론의 측면(2판)와일리. ISBN 0-471-76985-1
• 시겔, A. F. (1979년), "자유도가 0도이고 균일성을 시험하는 비중앙 치 제곱 분포", 바이오메트리카, 66, 381–386.
• Press, S.J. (1966), "Linear combinations of non-central chi-squared variates", The Annals of Mathematical Statistics, 37 (2): 480–487, doi:10.1214/aoms/1177699531, JSTOR 2238621