일반 감마 분포

일반 감마

확률밀도함수
매개변수	> ${\displaystyle a>0}($척도), , > ${\displaystyle d,p>0}$
지원	$[\\displaystyle x\;\in \(0,\,\fty )}$
PDF	${\displaystyle {p/a^{d}{\Gamma(d/p)}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\gamma(d/p,)(x/a)^{p}}{\Gamma(d/p)}}$
평균	${\daystyle a{\frac {\Gamma((d+1)/p)}}{\감마(d/p)}}}$
모드	${\\d-1}{p}\frac {d-1}\right)^{\frac {1}{p}\mathrm {for}\;d}1,\mathrm {for}\mathrm {for}\mathrm {for}\mathrm {f} \0}$
분산	${\displaystyle a^{2}\왼쪽({\frac {\Gamma((d+2)/p)}{\감마(d/p)}-\좌({\frac {\감마(d+1)/p)}}{\감마(d/p)}}\오른쪽)^{2}\오른쪽)}$
엔트로피	${\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma(d/p)}{p}{d}}}{p}}+{p}+\좌측({\frac {1}{p}}\오른쪽)\psileft({\frac {d}{p}}}}}}}\오른쪽)}$

일반화된 감마 분포는 3개의 모수를 갖는 연속 확률 분포다.2-모수 감마 분포의 일반화다.생존 분석에서 모수 모델에 일반적으로 사용되는 많은 분포(예: 지수 분포, Weibull 분포, 감마 분포)는 일반화된 감마선의 특별한 경우이기 때문에, 어떤 모수 모델이 주어진 데이터 집합에 적합한지 결정하는 데 사용되기도 한다.^[1]또 다른 예는 반정규 분포다.null

특성.

일반화 감마에는 > ${\displaystyle$ a$>$ > 0 ${\displaystyle d>0$ > 0 ${\displaystyle p>0}$의 세 가지 매개변수가 있다 비음수 x의 경우 일반화 감마 확률 밀도 함수는 다음과^[2] 같다.

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma(d/p)},},}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$은 감마 함수를 나타낸다$$.null

누적분포함수는

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma(d/p,)(x/a)^{p}}{\Gamma(d/p)},}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \cdot$(\$cdot )}$은 하한 미완성 감마 함수를 나타낸다$$.null

The quantile function can be found by noting that ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$ where ${\displaystyle G}$ is the cumulative distribution function of the Gamma distribution with parameters ${\displaystyle \alpha =d/p}$ and ${\displaystyle \beta =1}$그런 다음 복합 함수의 역방향에 대해 알려진 관계를$$ $사용$하여 F ${\displaystyle F}$을(를) 반전시켜 다음과 같은 양분 함수를 제공한다.

${\displaystyle F^{1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]^{1/p}}}}$

$G{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle G^{-11}(q)}$이(가)${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$ / p$,$= ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle \alpha$=d$/p$,\\$beta =$1$}$감마 분포의 계량 함수인 경우$.$

$d{\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d=p}$인 경우 일반화된 감마 분포는 Weibull 분포가 된다.또는 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=1}$인 경우 일반화된$$ 감마 분포가 된다.$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=d=1}$이면 지수 분포가 된다.$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=2},$ $d$ = ${\displaystyle \mathrm{2m}}$ ${\displaystyle d=2m}$이면 나카가미 분포가 된다.null

이 분포의 대체 매개변수(예: 치환 α = d/p)가 사용되기도 한다.^[3]또한 시프트 매개변수를 추가할 수 있으므로 x의 도메인은 0이 아닌 다른 값에서 시작한다.^[3]a, d, p의 신호에 대한 제약도 풀리면(그러나 α = d/p는 양성으로 남아 있다), 이것은 1925년에 그것을 기술한 이탈리아의 수학자 겸 경제학자 루이지 아모로소(Luigi Amoroso)의 뒤를 이어 아모로소(Amoroso) 분포라는 분포를 준다.^[4]null

순간

X가 위와 같이 일반화된 감마 분포를 갖는 경우^[3]

${\displaystyle \operatorname {E}(X^{r}=a^{r}{\frac {\d+r}{p}}){\Gamma({\frac {d}{p}}}}}}}}}.}$

특성.

GG(a,d,p)를 모수 a,d,p의 일반 감마 분포로 나타낸다.Then, given ${\displaystyle c}$ and ${\displaystyle \alpha }$ two positive real numbers, if ${\displaystyle f\sim GG(a,d,p)}$, then ${\displaystyle cf\sim GG(ca,d,p)}$ and ${\displaystyle f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\al$$pha },{\frac {d}{\d$}{\frac$}},{\frac$ {p$}{\frac$ }{\flict $}\오른쪽$

컬백-라이블러 발산

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}개가$$ 일반화된 두 감마 분포의 확률밀도함수인 경우, Kullback-Leibler 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(f_{1}\parallel f_{2})&,=\int _ᆰ^ᆱf_ᆲ(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln{\frac{f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&, =\ln{\frac{p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left-LSB-{\frac{\psi \left(d_{1}/p_{1.}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \cdot$(\$cdot )}$은 digamma 함수다.^[5]null

소프트웨어 구현

R 프로그래밍 언어에는 일반화된 감마 분포를 적합하고 생성하기 위한 함수를 포함하는 몇 가지 패키지가 있다.R의 gamlss 패키지는 일반화된 감마(family=GG)를 포함한 다양한 분포 패밀리를 장착하고 생성할 수 있다.Other options in R, implemented in the package flexsurv, include the function dgengamma, with parameterization: ${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$, ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$, ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$, an${\displaystyle d}$ parametrisation $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle a=a$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b=p$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle d}$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k=d/p$

참고 항목

• 하프트 분포
• 잘린 정규 분포
• 접힌 정규 분포
• 수정 가우스 분포
• 수정된 반정규 분포
• 일반 정수 감마 분포

참조