윌크스 람다 분포

통계에서 윌크스의 람다 분포(Samuel S의 이름을 따서 명명)이다. Wilks)는 특히 우도-비율 검정 및 다변량 분산 분석(ManOVA)과 관련하여 다변량 가설 검정에서 사용되는 확률 분포다.null

정의

Wilks의 람다 분포는 두 개의 독립적인 Wiscart 분포 변수로부터 결정 인자의 비율 분포로 정의된다.^[1]

주어진

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

독립적이고 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m\geq p}$을(를) 사용하는 경우

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

여기서 p는 치수의 수입니다.우도-비율 테스트의 맥락에서 m은 일반적으로 오차 자유도이고 n은 가설 자유도이므로 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n+m}$은 총 자유도입니다.^[1]null

근사치

더 높은 차원에 대한 Wilks 분포의 계산이나 표는 쉽게 구할 수 없으며 일반적으로 근사치를 이용한다.하나의 근사치는 M. S. Bartlett에 기인하며, 큰 m에^[2] 작용하여 Wilks의 람다를 카이 제곱 분포로 근사치를 구할 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\오른쪽)\log \Lambda(p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

또 다른 근사치는 C. R. R. Rao에 기인한다.^[1][3]

특성.

Wilks 분포의 매개변수들 사이에 대칭성이 있다.^[1]

${\displaystyle \Lambda(p,m,n)\심 \Lambda(n,m+n-p,p)}$

관련 분포

분포는 독립 베타 분산 랜덤 변수의 제품과 관련될 수 있다.

${\displaystyle u_{i}\심 B\왼쪽({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{nu_{i}\sim \Lambda(p,m,n)}$

이와 같이 베타 분포의 다변량 일반화로 간주할 수 있다.null

이는 직접적으로 1차원 문제의 경우 위시아트 $분포$가${\displaystyle }$p = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=1}($즉, 카이-제곱-분산)으로 1차원일 때 Wilks 분포는 특정 매개변수 집합의 베타 분포와 동일하다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \Lambda(1,m,n)\심 B\왼쪽({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\오른쪽).}$

베타 분포와 F 분포 사이의 관계에서 Wilks 람다 분포의 매개변수 중 하나가 1 또는 2인 경우(예:^[1] Wilks 람다 분포와 관련될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\lambda (p,m,1)}}\심 {\frac {p}{m-p+1}F_{p,m-p+1},}}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\lambda (p,m,2)}{\sqrt {\lambda (p,m,2)}}\심 {\p}{m-p+1}F_{2p,2(m-p+1)}.}$

참고 항목

참조