단수 연산자

수학의 한 분야인 기능 분석에서, 엄격히 단수 연산자는 어떤 무한 차원 하위 공간에서 아래에 경계를 두지 않는 규범화된 공간 사이의 경계 선형 연산자다.

정의들

X와 Y를 선형공간에 규범화시키고, B(X,Y)로 T :${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to$ Y$}$ 형식의 경계 연산자의 공간을 나타낸다$.$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$은 어떤 하위집합이 되도록$$ 한다.We say that T is bounded below on ${\displaystyle A}$ whenever there is a constant ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ such that for all ${\displaystyle x\in A}$, the inequality ${\displaystyle \ Tx\ \geq c\ x\ }$ holds.A=X라고 하면 간단히 T는 아래 경계라고 한다.

이제 X와 Y가 Banach 공간이라고 가정하고, I ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle Id_{X}\in$ $B(X)$ 및 I $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle Y}$) ${\displaysty Id_{$displaysty Id_{displaystyStyle Id_{{}를 사용하도록 한다.$Y}\in B(Y)}$는 각 ID 연산자를 나타낸다$$.An operator ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ is called inessential whenever ${\displaystyle Id_{X}-ST}$ is a Fredholm operator for every ${\displaystyle S\in B(Y,X)}$. Equivalently, T is inessential if and only if ${\displaystyle Id_{Y}-TS}$ is Fredholm for ever$Y{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$$($${\displaystyle Y,}$ X${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $S\in B($${\displaystyle Y}$$,$${\displaystyle X}$$)\}.$ $E{\displaystyle \mathcal{}(}$ X${\displaystyle ,}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}($$,Y$$)}}$에 있는 모든 필수 연산자 $집합$.

연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$은 X의 어떤 무한 차원 하위 공간에서 아래 경계를 넘지 못할 때마다 엄격히 단수라고 불린다$$.Denote S({\displaystyle{{SS\mathcal}}(X,Y)}모든 엄격하게 단수 사업자의 B(X, Y){B(X,Y)\displaystyle}에 집합입니다. 우리는 말할 때마다 각 ϵ>0에{\displaystyle \epsilon>0}이 n이 T∈ B(X, Y){T\in B(X,Y)\displaystyle}유한하게 엄격하게 단수형은 ∈ N. {\dEX의 만족하는 모든 부분 공간에Isplaystylen\in \mathbb{N}}가 희미한(E)≥ n{\displaystyle{\text{희미한}}(E)\geq n}, x∈ E{x\in E\displaystyle}가 ‖ T=‖<>ϵ ‖)‖{\displaystyle)Tx\ <, \epsilon)x\}. Denote에 의해 FS({\displaystyle{{금감원\mathcal}}(X,Y)}은.o 세트f 완전히 단수 $연산자{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\디스플레이 스타일$ B $(X,Y$

Let $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X{}_{}}$=${\displaystyle }${ x ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$: ${\displaystyle \Vert }$ x ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle 1}$ 1${\displaystyle }$} ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\\\leq$ 1$\}}}}$은 닫힌 단위 공을 X로 나타낸다$$.An operator ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ is compact whenever ${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$ is a relatively norm-compact subset of Y, and denote by ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$ the set of all such compact operators.

특성.

모든 콤팩트 연산자는 완전히 단수적이기 때문에 엄밀히 단수 연산자는 콤팩트 연산자의 일반화로 볼 수 있다.이 두 클래스는 몇 가지 중요한 속성을 공유한다.For example, if X is a Banach space and T is a strictly singular operator in B(X) then its spectrum ${\displaystyle \sigma (T)}$ satisfies the following properties: (i) the cardinality of ${\displaystyle \sigma (T)}$ is at most countable; (ii) ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$ (except possibly in the X가 유한한 사소한 경우); (iii) 0은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle (T}$) ${\displaystyle \sigma (T)}$의 유일한 한계점이며$,$ (iv) 0이 아닌 모든 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \in }$ \ (${\displaystyle T}$)${\display$ style $\lambda \in \sigma$ ($T)}$은 고유값이다$$.(i)-(iv)로 구성된 동일한 "스펙트럴 정리"는 B(X)의 필수적이지 않은 운영자에 대해 충족된다.

클래스 $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathcal{S}}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathcal$ ${FS$$},$ $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$SS},$ E {\displaystyle ${\mathcal {E}$ 등 모든$$ 형식 표준 닫힌 연산자 이상.This means, whenever X and Y are Banach spaces, the component spaces ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$, ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$, ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$, and ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$ are each closed subspaces (운전자 규범에서) B(X,Y)의 경우, 임의의 경계 선형 연산자로 구성 시 클래스가 불변하도록 한다.

In general, we have ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$, and each of the inclusions may or may not be strict, depending on the choices of X and Y.

예

선형 지도 $T{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$: ${\displaystyle p_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$ T$:\ell _{p}\to \ell_{q$ < ${\displaystyle 1 q,p<\p>,$p ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle q}$q {\$displaystystyp$\neq$\},$ $\neq}$는 완전히 단수상한 것이다.여기서$$ $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 시퀀스 공간이다.마찬가지로 경계 $선형지도{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ p ${\$ 및$$ $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\ell }_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$→ c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ T$:\ell _{p}\$$to$ $c_{0$ $<\displaystystyleq p>$는 엄격히 단수이다$.$여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 0으로 수렴되는 시퀀스의 Banach 공간이다$$.이것은 q < p에 대해 그러한 T는 콤팩트하다고 기술하고 있는 피트의 정리의 귀결이다.

≤ <{ ${\displaystyle 1\leq$ p$<p>}$인 경우, 공식 ID $연산자{\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle p_{}}$,${\displaystyle {}_{}q}$ b${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\ell }_{}}$ p ,${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ q${\displaystyle {}_{}}$)$${\$displaystyle I_{p,q}\in$ B$(\ell$_{$p}$ell _}$ell _{q}}})$는 정밀하게 단수확하지 않다.만약 1<>p<>q<>∞{1<, p<, q<,\infty\displaystyle}그 다음에는"Pelczynski 사업자"은 한결같이 아래ℓ 2n{\displaystyle \ell_{2}^{n}의 복사본}, n∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}}에 한정된다 B(ℓ p, ℓ q){B(\ell_{p},\ell_{q})\displaystyle}에 있으며, 따라서 존재한다. 엄격하게singular 그러나 정확히 단수적이지는 않다.In this case we have ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$. However, every inessential operator with codomain ${\displaysty$$le \ell _{q}}$ is strictly singular, so that ${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$. On the other hand, if X is any separable Banach space then there exists a bounded below operator ${\displaystyle T\in$$B(X,\ell _{\inflt }})$ 그 중 어떤 것도$$ 필수적이지는 않지만 엄격히 단수적이지는 않다.Thus, in particular, ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p$$}},$ \$ell$_{\$fty }$ 모두$$ 1 $페이지$< ${\displaystyle$ 1$><p<p$

이중성.

The compact operators form a symmetric ideal, which means ${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$ if and only if ${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$. However, this is not the case for classes ${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$, ${\displaystyle \mathcal{S}\mathcal{S}}$${\displaystyle {\mathcal{SS$ $또는{\displaystyle \mathcal{}}$ E ${\${\$mathcal{E$ 이중성 관계를 확립하기 위해 추가 클래스를 도입한다.

Z가 Banach 공간 Y의 닫힌 하위 공간인 경우, "수동적" 추측 $Q{\displaystyle {}_{}{Z}_{}}$ :${\displaystyle Y}$ →${\displaystyle Y}$ / Z ${\displaystyle Q_{Z}:$$자연$ 매핑 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle Z}$를 통해 정의된$$ $Y\$$to$ Y$/Z}$.연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$( X${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$는 Y의 무한 닫힌 하위공간 Z가 주어질 때마다 엄격히 코사인 $것$으로 불리며, 지도 Q Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Q_{Z}T}$는 굴절되지 않는다$$.B(X,Y)에 있는 엄밀하게 코싱글러 연산자의 하위 ${\displaystyle \mathcal{공간}}$을 S C${\displaystyle \mathcal{S}(}$X,${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle {\mathcal{SCS}(X,Y$)}로 나타낸다.

정리 1.X와 Y를 바나흐 공간으로 하고, ${\displaystyle T}$∈ B${\displaystyle }$( X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$을 바랍으로 한다$.$ T*가 엄격히 단수(resp. rossp. rossp. leftly single)라면, T는 엄격히 단수(resp. lef. led.)이다.

엄격히 단수 연산자(adjordination)가 단수적이지도 않고 코사칭적이지도 않은 단수 연산자의 예가 있다는 점에 유의한다(Plichko, 2004 참조).Similarly, there are strictly cosingular operators whose adjoints are not strictly singular, e.g. the inclusion map ${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$. So ${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$ is not in full duality with ${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$.

정리2.X와 Y를 Banach 공간으로 하고 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \in }$ B${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$로 한다$.$ T*가 필수적이지 않다면 T도 필수적이다.

참조

Aiena, Pietro, Fredholm 및 국소 스펙트럼 이론(Application to Multiers, 2004) ISBN1-4020-1830-4.

아나톨리주 플라이코 "초단수적이고 초단수적인 코싱글러 연산자", 노스홀랜드 수학 연구 197(2004), pp239-255.