힐베르트 공간 텐서 제품

수학, 특히 기능분석에서 힐베르트 공간의 텐서 제품은 텐서 제품구성을 확장하여 두 힐베르트 공간의 텐서 제품을 가져간 결과가 또 다른 힐베르트 공간이라는 것이다.대략적으로 텐서 제품은 일반 텐서 제품의 미터법 공간 완성이다.위상학적 텐서 제품의 예다.텐서 제품은 힐버트 공간을 대칭 단면체 범주로 수집할 수 있도록 한다.^[1]

정의

힐버트 공간은 내적인 제품을 가지고 있기 때문에, 사람들은 내적인 제품, 즉 토폴로지를 요소들의 그것들로부터 자연적으로 발생하는 텐서 제품에 소개하고 싶어한다.H와₁ H를₂ 각각 내부 제품 ${\displaystyle ⟨,}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \langle \cdangle \cdangle _$${1},$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}인 힐버트 공간이 되도록 한다$.$텐서 제품에 대한 기사에서 설명한 바와 같이₁ H와₂ H의 텐서 제품을 벡터 공간으로 구성한다.우리는 이 벡터 스페이스 텐서 제품을 내부 제품 공간으로 바꿀 수 있다.

${\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$

선형성에 의해 확장된다.이₁ 내부 제품이 자연산이라는 것은 H × H에₂ 있는 스칼라 값 이선형 지도와 벡터 공간 텐서 제품에 있는 선형 함수의 식별에 의해 정당화된다.마지막으로 이 내부 제품 아래 완성을 취하십시오.그 결과 Hilbert 공간은 H와₁ H의₂ 텐서 제품이다.

명시적 구성

텐서 제품은 또한 미터법 공간 완성에 호소하지 않고 정의될 수 있다.If H₁ and H₂ are two Hilbert spaces, one associates to every simple tensor product ${\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}$ the rank one operator from ${\displaystyle H_{1}^{*}}$ to H₂ that maps a given ${\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}$ as

${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}}$

이것은 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} 사이의 $선형$ 식별과$$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$까지의₂ 유한 순위 연산자의 공간까지 확장된다.유한 순위 연산자는 힐베르트 $공간{\displaystyle }$ H ${\displaystyle S}$(${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle HS(H_{1}^{*},$$H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$까지₂ Hilbert-Schmidt 연산자의 $H_{2}}$$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle S({}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$H 2 )의${\displaystyle {}_{}}$스칼라 제품 ${\displaystyle HS(H_{$1}^{*},$H_{2}}$이(가) 제공됨

${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\\rangle =\sum_{n}\좌측\{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}}\rigle ,}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle (e_{n}^{*}}}$은(는) $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle H_{1}^{*}$의 임의적인 정형외과적 기준이다$$.$}$

앞의 식별에 따라 H와₁ H의₂ 힐베르트 텐서 곱을 정의할 수 있는데, ${\displaystyle H}$와 H는 등축적으로 선형적으로 $H{\displaystyle }$ S에 이형화된다${\displaystyle ({}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}).}$ ${\displaystyle HS(H_{1}^{*}).$$H_{2}).}$

보편적 재산

Hilbert tensor $제품{\displaystyle }$H = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$H=$H_{1}\otimes H_{2$}}개의$$ 범용$$속성(Kadison & Ringrose 1997, Orgion 2.6.4):

Hilbert-Schmidt 매핑₁ p : H × H₂ → H가 약하게 Hilbert-Schmidt 매핑 L : H × H₂ → K가 Hilbert 공간 K에 대해 약하게 Hilbert-Schmidt 매핑을 할 때₁ L = Tp와 같은 고유한 경계 연산자 T : H → K가 있다.

약하게 Hilbert-Schmidt 지도 L : H₁ × H₂ → K는 다음과 같은 실수가 존재하는 이선형 지도로 정의된다.

${\displaystyle \sum \i,j=1}^{\infit }{\big }\big }\왼쪽\langle L(e_{i},f_{j}), u\lq d^{2},\ ^{2}}:$

모든 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ K ${\displaystyle u\in K}$ 및 하나의$$ (hence all) 직교 기준 e₁, e₂, e, h의₁₁₂₂ ...

어떤 보편적 특성과 마찬가지로, 이것은 텐서 제품 H를 특이하게, 이소모르피즘까지 특징짓는다.힐버트 공간의 한정된 숫자의 텐서 제품에도 분명한 수정이 있는 동일한 보편적 특성이 적용된다.그것은 본질적으로 텐서 제품의 모든 정의에 의해 공유되는 동일한 보편적 특성이다. 텐서 제품이 있는 모든 공간은 대칭 단면체 범주임을 의미하며, 힐버트 공간은 그 특별한 예다.

무한 텐서 제품

$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 힐버트 공간의 집합이고 ${\displaystyle {nn}_{}}${\$displaystyle \xi_{n}}$이 힐버트 공간의 단위 벡터 집합이라면 불완전한 텐서 제품(또는 Guichardet tensor 제품)은 L ${\$ L$^{2$}}개의 모든 유한 선형 조합의 완성이다$$.l tensor 벡터 $\otimes {\displaystyle {}_n^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{n}_{}}$ \${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\$ $_$${n=1}^{\infit$ $}\$$n}}}{$$n}}$을 제외한 모든$$${\displaystyle {\psi n}_{}}$은$$해당$displayn$ {\$displaystyle$$$\xi_${n}}$과 동일하다$.$^[2]

오퍼레이터 알헤브라스

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$. ${\displaystyle$i=1, ${\$$displaystyle H_{i}}$에 대한 A ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle$ i$=1,2.}$의 Hi ${\$displaystyle H_{i}}에 있는 경계 연산자의 폰 노이만 대수학으로$$ 삼도록 한다${\displaystyle \mathrm{.}}$$$ Then the von Neumann tensor product of the von Neumann algebras is the strong completion of the set of all finite linear combinations of simple tensor products ${\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}$ where ${\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}$ for ${\displaystyle i=1,2.}$$$ 이는 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}}}$힐버트 공간의 경우와는 달리$$ 폰 노이만 알헤브라의 무한 텐서 제품을 복용할 수 있으며, 그 문제에 대해서는 참조 상태를 정의하지 않고 연산자의 C*-알제브라를 복용할 수 있다.^[2]이것은 양자 통계 역학에서 "알제브라틱" 방법의 한 가지 장점이다.

특성.

If ${\displaystyle H_{1}}$ and ${\displaystyle H_{2}}$ have orthonormal bases ${\displaystyle \{\phi _{k}\}}$ and ${\displaystyle \{\psi _{l}\},}$ respectively, then ${\displaystyle \{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\}}$ is an orthonormal basis for ${\displaystyle H_1\otimes }$${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}$ 특히$$ 텐서 제품의 힐버트 치수는 힐버트 치수의 제품(기초 번호로서)이다.

예제 및 응용 프로그램

다음의 예는 어떻게 텐서 제품이 자연적으로 발생하는지를 보여준다.

Given two measure spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$, with measures ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu }$ respectively, one may look at ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$, the space of functions on ${\displaystyle X\times Y}$ that are square integrable w제품 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \nu .}$ ${\$$displaystyle$ $\mu \times \nu.}$ 만약 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$이(가) $X{\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle$ X$,}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle g}$의 제곱합성 함수라면$$$$, $X$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$에서 $함수{\displaystyle }$ $h}$을 정의할 수 있다.${\displaystyle X\times$ Y$}$ by$$ ${\displaystyle h}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).$$}}$ 제품 측정의 정의는$$ 이 형식의 모든 기능이 정사각형 통합이 가능하도록 보장하므로${\displaystyle ,}$ 이것은 이선형 매핑 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$(${\displaystyle {}^{}X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X\times }$ ${\displaystyle Y}$ ) .${\displaystyle L^{2}(X)\time L^{2(Y)\time$ L$^{2$}($X\$time)을 정의한다$.$$}$ Linear combinations of functions of the form ${\displaystyle f(x)g(y)}$ are also in ${\displaystyle L^{2}(X\times Y)}$. It turns out that the set of linear combinations is in fact dense in ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ if ${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle 및}$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{2}(Y)}$은(는) 분리할 수 있다.^{[citation needed]}This shows that ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ is isomorphic to ${\displaystyle L^{2}(X\times Y),}$ and it also explains why we need to take the completion in the construction of the Hilbert space tensor product.

Similarly, we can show that ${\displaystyle L^{2}(X;H)}$, denoting the space of square integrable functions ${\displaystyle X\to H}$, is isomorphic to ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}$ if this space is separable.The isomorphism maps ${\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}$ to ${\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H)}$ We can combine this with the previous example and conclude that ${\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}$ and ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{2}($${\displaystyle X}$$\time Y)}$은(는) 모두 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ X${\displaystyle }$; ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( Y${\displaystyle }$)에 대해 이형이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(X;L^{2}(Y)}).$

힐버트 공간의 텐서 생산물은 양자역학에서 종종 발생한다.어떤 입자가 Hilbert space ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$1, {\$displaystyle$ H_${1}}$에 의해 설명되고 또$$ 다른 $입자$가 H${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle H_{2}}$에 의해 설명되는 경우$$, 두 입자로 구성된 시스템은$$ 예를 $들어{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaysty H_{1}$및 ${\displaystyle H_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$.$${\$displaystyle H_{2$}의 텐서 곱으로 설명된다.the state space of a quantum harmonic oscillator is ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$ so the state space of two oscillators is ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}$ which is isomorphic to ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{$$2$ 따라서 2입자 체계는 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)$.$ {\$displaystyle \psi (x_{1},x_{2$}) 형식의 파동 함수로 설명된다$.$${}$ Fock 공간은 다양한 입자 수를 설명하는 더 복잡한$$ 예를 제공한다.

참조

참고 문헌 목록

• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 15. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0819-1. MR 1468229..
• Weidmann, Joachim (1980). Linear operators in Hilbert spaces. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 68. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90427-6. MR 0566954..