보조 규범 공간

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 보다 정확한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2020년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

기능분석에서, 디스크로부터 규범화된 공간을 구성하는 두 가지 방법을 알렉산더 그로텐디크가 체계적으로 고용하여 원자력 운영자와 핵 공간을 정의하였다.^[1]디스크 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 경계인$$ 경우 한 가지 방법이 사용됨: 이 경우 보조 표준 공간은 표준이 있는$$${\displaystyle }$span ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span}D}$ ${\displaystyle \mathrm{범위임}}$

다른 $방법$은 디스크 D ${\displaystyle D}$이(가) 흡수되는$$ 경우에 사용된다. 이 경우 보조 규범 $$은 X${\displaystyle /p{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{D}}_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$/p_{D}^{-1}(0$)이다$.$$}$ 디스크가 경계가 되어 흡수되는 경우$$, 두 개의 보조 규범 공간은 표준적으로 이소모르픽(위상 벡터 공간으로서, 그리고 규범 공간으로서)이다.

예선

벡터 공간의 부분집합을 원반이라고 하며, 볼록하고 균형을 이루면 원반, 절대 볼록 또는 볼록 균형이 잡힌다고 한다.

벡터 공간 X{X\displaystyle}의 만약 C{C\displaystyle}와 D{D\displaystyle}은 하위 집합이 있다면 진짜 r을 존재한 다음 D{D\displaystyle};C{C\displaystyle}을 흡수하 0{\displaystyle r>0}그런 C가 ⊆ D를{\displaystyle C\subseteq aD}에 대한 스칼라는{\displaystyle}. 합격.${\displaystyle \{}$$$r . {\$displaystyle$ a$$\$geq$ r.}$$WThe$$ set $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle D}$이(가) $매{\displaystyle }$ x${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$.${\displaystyle }$${\$$displaystyle \{x\}$을$({\displaystyle }$를$)$ 흡수하는$$ $경우$ X ${\displaystystyle$ $X}$에서 흡수라고 한다$$.

위상적인 벡터 공간의 하위 집합 B{B\displaystyle}(터널 비전 시스템)X{X\displaystyle}이 기원의 X에서 모든 인근 지역{X\displaystyle}B을 흡수한다 X{X\displaystyle}에 의해.{B\displaystyle} 하더라도,을 흡수하는 터널 비전 시스템 X{X\displaystyle}의 하위 집합 bornivorous[2]라고 불린다고 합니다. bou$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 부분 집합 없음

경계 디스크로 유도 – Banach 디스크

따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 실제 또는 복잡한 벡터 공간(TVS가 반드시 필요한 것은 아님), $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $D$$}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 디스크가 될 것이다$$$$.

디스크에 의해 유도된 세미노멀 공간

$렛트{\displaystyle }$ X {\$displaystyle X}$은(는) 실제 또는 복잡한 벡터 공간이 될 것이다$.$$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 모든 부분 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에 대해 다음에 의해 정의된$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 Minkowski 기능:

• $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle D=\varnothing }$인 ${\displaystyle \mathrm{경우<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; D=\backslash varnothing\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7b1c1c19a848b8f41d9136d89cdb3633d286adf0"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:6.831ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="95">}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\varnothing }_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$:${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle p_{\varnoth }(x):$$\{0\}\to [0,\infit )}$은(는) 사소한 지도 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\varnothing }_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p_{\barnothing }=0}$이(가) 되고, ${\displaystyle \mathrm{span<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p\_\{\backslash varnothing\; \}=0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d85ee2f63e0fa4419b6c784b2ac781fca2d7d7f5"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:7.031ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="97"><sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-FOOTNOTESchaeferWolff1999169\_3-0"><a\; href="\#cite\_note-FOOTNOTESchaeferWolff1999169-3">[3]</a></sup>}}$=${\displaystyle }${ ${\displaysty \pannoth =\{0\}$인 것으로 가정한다.$}$^{[note 1]}
• ${\displaystyle \mathrm{D<img\; alt="D"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.924ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="118">}}$ ${\displaystyle \ne }$ $∅$ ${\displaystyle D\neq \varnothing},$ D$$ ${\$$displaystyle \$$operatorname$$${$span}D$$}$ ${\displaystyle \mathrm{범위}}$에서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $D$$}$의 Minkowski 기능을 나타낸다.
  $${\displaystyle p_{D}\operatorname {span}D\to [0,\fty )}$$

  
  여기서 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{span}d}$D ,$${\$displaystyle$x\$in \operatorname {span}D$에 대해 이 값은 다음과$$ 같이 정의된다$.$
  $${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\left\{r:x\in rD,r>0\right\}}$$

  

$렛트{\displaystyle }$ X {\$displaystyle X}$은(는) 실제 또는 복잡한 벡터 공간이 될 것이다$.$민코프스키 기능 ${\displaystyle P_{}}${\$displaystyle p_{D}$가 ${\displaystyle \mathrm{span}}$ $⁡$, {\$displaystyle$ \$operatorname$ {span$}D$의 세미노름인 것처럼$$$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X$$}$의 모든 부분 집합 $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ X_${D}$가 X$}$를 $나타내도록$ 한다.

이 공간을 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D}이(가$)$ 유도하는 세미노름 공간이라고 하는데, $여기$서 p ${\displaystyle D_{}}$ ${\$이 표준이면 "normed"라고 한다.

Assumption (Topology): ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$ is endowed with the seminorm topology induced by ${\displaystyle p_{D},}$ which will be denoted by ${\displaystyle \tau _{D}}$ or ${\displaystyle \tau _{p_{D}}}$

중요한 것은 이 위상은 $전적$으로 X${\displaystyle }$,${\displaystyle }$${\$$displaystyle$ $D$$}$의 대수적$$ 구조와$$ R$${\$displaystyle X,}$의 일반적인 위상에서 비롯된다($$${\displaystyle p_{}}$ D ${\$는 $세트{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$와 스칼라 곱만 사용하여 정의되기$$ 때문이다).이는 바나흐 원반의 연구를 정당화하며 이들이 원자력 사업자와 핵 공간 이론에서 중요한 역할을 하는 이유의 일부다.

포함 맵 ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D{}_{}}$→ X ${\displaystyle \operatorname {In} _{D:X_{D}\to X}$을(를) 표준 맵이라고 한다$$.^[1]

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 디스크라고$$ 가정하십시오.그리고 스팬 ⁡ D)⋃ nx1∞ nD{\textstyle \operatorname{뼘으로 재다}D=\bigcup _{n=1}^{\infty}nD}도록 D{D\displaystyle} 있던에서 ⁡ D,{\displaystyle \operatorname{뼘으로 재다}D,}은 선형적인 아름다운 D.{D.\displaystyle}그 세트{rD:r>0}{\displaystyle\와 같이{rD:r>, 0\}}의 모든 긍정적이다. scal${\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$$.$ {\$displaystyle$ D$}$의 배수는 ⁡.${\displaystyle$ $\tau_{D}$${\displaystyle \mathrm{경간<img\; alt="\backslash tau\; \_\{D\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9b22a3ddff3854d4950c070c30f2fc69fd8da10c"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.609ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="174">}}$ ⁡.$D{\displaystyle }$$.}$${\displaystyle \mathrm{경간}}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle$ $\operatorname$${span}경간$ 디스크$$ D {\$displaystystyle$ D$}$의 Minkowskikefunctionalki 기능을 0에 대해 0에 대한 근린코프스키 기능이다$.$$e {span}$${\displaystyle D_{}}$$}$은(는) $p{\displaystyle {}_{}}$ D ${\$이(가) 잘 정의되어 있으며$$,${\displaystyle }$span ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \operatorname {span}D}$ 이 세미노름에 ${\displaystyle \mathrm{의해}}$ 유도된 로컬$$^[4] 볼록 위상 위상은 이전에 정의한$$ 위상 ${\displaystyle {\tau }_{}}$ D ${\$이다.

Banach 디스크 정의

A bounded disk ${\displaystyle D}$ in a topological vector space ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ is a Banach space is called a Banach disk, infracomplete, or a bounded completant in ${\displaystyle X.}$

$({\displaystyle \mathrm{span}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$) ${\$가 Banach 공간이라고 표시되면 $D$ ${\displaystyle D}$을(를) 경계 부분 집합으로 포함하는$$ 모든 TVS에서 Banach 디스크가 된다.

민코스키 기능 p ${\displaystyle D_{}}$ ${\$는 순전히 대수학 용어로 정의되기 때문이다.Consequently, the question of whether or not ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ forms a Banach space is dependent only on the disk ${\displaystyle D}$ and the Minkowski functional ${\displaystyle p_{D},}$ and not on any particular TVS topology that ${\displaystyle X}$ may carr. 따라서 TVS $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$의 Banach 디스크가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경계 부분 집합이어야 한다는$$ 요구사항은 Banach 디스크의 토폴로지를 TVS $X$를 포함하는 토폴로지에 연결하는 유일한 속성이다$.$

디스크 유도 세미노밍 공간 속성

경계 디스크

다음 결과는 Banach 디스크를 경계해야 하는 이유를 설명한다.

하우스도르프니스

공간$({\displaystyle {XD}_{}}$, ${\displaystyle p_{}}$ D${\displaystyle {}_{}}$) ${\$은 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$이(가) 정규인$$ 경우에만 하우스도르프(Hausdorff)이며$$, 이는 $D{\displaystyle }$ ${\displaystystyled}$에 비특징 보조공간이 포함되지$$ 않은 경우에만 발생한다.^[6]$특히{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$에 D ${\displaystyle$ D$}$이(가) X ${\displaystyle$ X$}$으로 경계되는$$ Hausdorff TVS 토폴로지가 있다면 p ${\displaystyle D_{}}$ ${\$가 표준이다$$$$.${\displaystyle X_{}}$ = ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $X_$${D}}$가 Hausdorff가 아닌$$ 예는 $X{\displaystyle }$= R 2 ${\$ X$=\mathb {R} ^{2}}$로 $설정$하고 D ${\displaystyle$ $D$$}$을(를) x ${\displaystystytyle$ x$}$ - 축으로$$$$ 설정하여 얻을 수 있다.

그물 수렴

Suppose that ${\displaystyle D}$ is a disk in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle X_{D}}$ is Hausdorff and let ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ be a net in ${\displaystyle X_{D}.}$ Then ${\displaystyle x_{\bull$$et }\to 0}$ in ${\displaystyle X_{D}}$ if and only if there exists a net ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ of real numbers such that ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$ and ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$ for all ${\d$$isplaystyle$ $i$$\};$ 더욱이 이 경우 모든 $i$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ r ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0$[\$$displaystyle$ $r_{i}\geq 0}$을(를$)$ 일반성의 손실 없이 가정한다$.$$}$

디스크로 인한 공간 간의 관계

If ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$then ${\displaystyle \operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D}$ and ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ on ${\displaystyle \operatorname {span} C,}$ so define the following continuous^[2] linear map:

If ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$ are disks in ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle C\subseteq D}$ then call the inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$ the canonical inclusion of ${\displaystyle X_{C}}$ into${\displaystyle X_{D}}$

In particular, the subspace topology that ${\displaystyle \operatorname {span} C}$ inherits from ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ is weaker than ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$'s seminorm topology.^[2]

${\displaystyle D}$ $[\displaystyle D}$을(를) 닫힌 유닛 볼로$$ 표시

The disk ${\displaystyle D}$ is a closed subset of ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ if and only if ${\displaystyle D}$ is the closed unit ball of the seminorm ${\displaystyle p_{D}}$; that is, ${\displaystyle D=\left\{x\in \o$$peratorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.$$}$

If ${\displaystyle D}$ is a disk in a vector space ${\displaystyle X}$ and if there exists a TVS topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ such that ${\displaystyle D}$ is a closed and bounded subset of ${\displaystyle \left(\operatorname {$$span} D,\tau \right),}$ then ${\displaystyle D}$ is the closed unit ball of ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ (that is, ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$ ) (see footnote for proof).^{[note 2]}

Banach 디스크를 위한 충분한 조건

$({\displaystyle {XD}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$) ${\$이(가) Banach 공간임을 설정하는 데 다음 정리를 사용할 수 있다.이 설정이 $설정$되면 D ${\displaystyle D}$이(가) 경계되는$$ 모든 TVS에서 Banach 디스크가 된다$$.

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) Hausdorff TVS의 경계되고 순차적으로 완전한 하위 집합이 아니더라도$$,${\displaystyle }$일부 디스크에 이 정리를 적용하여 (${\displaystyle {XD}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ )${\$가 Banach 공간이라고$$ 결론을 내릴 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle K}$ satisfying ${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

$왜냐하면{\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle D_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$. ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.$$}$

위와 같은 정리의 결과는 다음과 같다.

• Hausdorff TVS의 순차적으로 완전한 경계 디스크는 Banach 디스크다.^[2]
• 완전하고 경계된 하우스도르프 TVS의 모든 디스크(예: 콤팩트)는 Banach 디스크다.^[8]
• 프레셰트 공간에서 닫힌 유닛 볼은 순차적으로 완성되어 바나흐 원반이 된다.^[2]

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) TVS $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 경계 디스크라고 가정하십시오.

• If ${\displaystyle L:X\to Y}$ is a continuous linear map and ${\displaystyle B\subseteq X}$ is a Banach disk, then ${\displaystyle L(B)}$ is a Banach disk and ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$ induces an isometric TVS-${\displaystyle {\mathrm{이형성}}_{}}$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$B${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$≅ X ${\displaystyle B_{}}$/ (${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$) .${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\cap \cap \operatorname {ker}$ L$\right.$$}$

Banach 디스크 속성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) TVS로 하고$$ $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle D}$을${\displaystyle (}$를$)$ $X$의 $경계$ 디스크로$$ $두십시오$.

는 하우스 도르프 지역적으로 볼록 공간 X{X\displaystyle}에 만약 D{D\displaystyle}는 한정적 바나흐 디스크 및 X{X\displaystyle}에 T{T\displaystyle}은 배럴당 다음 T{T\displaystyle}(i.e.이 많은 r을은;0{\displaystyle r>0}그런 D⊆가 rD{D\displaystyle}를 흡수한다.t$D\subseteq rT.$$}$^[5]

U, r을{\displaystyle rU,}r 모든 지역, 긍정적인 실수를 0개 이상의{\displaystyle r>0}범위의 0의 X{X\displaystyle}에 만약 U{U\displaystyle}은 볼록 균형 잡힌 닫힌 이웃한 다음의 집합이다.{X\displaystyle} 때 X에 대한 위상 벡터 공간 토폴로지를 유발한다.x${\displaystyle X}$ has this topology, it is denoted by ${\displaystyle X_{U}.}$ Since this topology is not necessarily Hausdorff nor complete, the completion of the Hausdorff space ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ is denoted by ${\displaystyle {\overline {X_{$$U{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$$}}}}}.$ X$$ ${\displaystyle \stackrel{}{U_{}}}$의${\$$U}}}}}$은 완전한 하우스도르프 공간이며 ) ∈ , r> ${\displaystyle p_{U}(x):$$=\$$inf _{x\in rU,r>0}r$}r$}$는 X U의 $displaystyle$ {\$overline$ {X_$}을($를) 만드는 이 공간의 표준이다.$U}}}}$을(를) 바나흐 공간으로.$U{\displaystyle }$, ${\displaystyle U,}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ U$^{\circle }}}$의 극지방은 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$의 약하게 컴팩트한 경계 등각 원반 원반이며$$, 따라서$$ 완전하지 않다.

If ${\displaystyle X}$ is a metrizable locally convex TVS then for every bounded subset ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle X,}$ there exists a bounded disk ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ and both ${\displaystyle X}$ and $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$는 B . {\$displaystyle B$에 동일한 아공간 토폴로지를 유도한다$.$$}$^[2]

방사형 디스크에 의해 유도됨 - 지수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 벡터 공간이고 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 볼록 균형 및 방사형 집합이라고 가정합시다.Then ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$ is a neighborhood basis at the origin for some locally convex topology ${\displaystyle \tau _{V}}$ on ${\displaystyle X.}$ This TVS topology ${\displaystyle \tau _{V}}$ is given by the Minkowski functi$V{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ V$,}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle p_{V:$로 구성된 onal:$X\to \mathb {R},}$은(는) p V( x) V, > . ${\displaystyle p_{V}(x)=\inf _{x\inf rV,r>0}r.}$에 의해$$ $정의$된 X ${\\displaystystyle X}$의 세미노름. The topology ${\displaystyle \tau _{V}}$ is Hausdorff if and only if ${\displaystyle p_{V}}$ is a norm, or equivalently, if and only if ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ or equivalently, for which it suffices that ${\displaystyle V}$ be bounded in ${\disp$$레이스타일 X.}$ 위상$$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ V ${\$${\displaystyle \mathrm{V}}$$}}$은(는) 하우스도르프가 아니라 X${\displaystyle }$/ p ${\displaystyle {\mathrm{V}}_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)$은 하우스도르프일 필요가$$ 있다.$X{\displaystyle }$/ ${\displaystyle p_{}^{}}$ V${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ X$/p_{V}^{-1}(0)$에 대한 표준은 ‖${\displaystyle }$x +${\displaystyle X}$ /${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V{}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_1^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}0}$ )${\displaystyle :}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V (${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle \left\$ x$+X/p_$에 의해 주어진다$$.${V}^{-1}(0)\right\ :=p_{V}(x)}$ 여기서$$ 이 값은 실제로 동등 등급 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle X}$ /${\displaystyle p{}_{}^{}}$ ${\displaystyle V_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$( ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle$ x$+X/p_$의 대표자와 무관하다.${V}^{-1}(0)}$ 선택됨$$The normed space ${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\ \cdot \ \right)}$ is denoted by ${\displaystyle X_{V}}$ and its completion is denoted by ${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.$$}$

또한 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$로 경계되어 있으면$$ 세미orm$$ ${\displaystyle p_{}}$ V :${\displaystyle {}_{}X\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$X\to \mathb {R}}은($는) 표준이므로$$, $특히{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm{V}}^{}}$ - 1${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}.}$ ${\displaystyle p_{V}^{1$}-1($0)=\{0\}.$$}$ In this case, we take ${\displaystyle X_{V}}$ to be the vector space ${\displaystyle X}$ instead of ${\displaystyle X/\{0\}}$ so that the notation ${\displaystyle X_{V}}$ is unambiguous (whether ${\displaystyle X_{V}}$ denotes the space induced by a radial disk or the space in경계가 있는 디스크에 의해 강요된다.^[1]

$X$ / ${\displaystyle p{}_{}^{}}$ ${\displaystyle V_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle X/p_{V}^{-1(0)}($$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의$$원래 위상에서 상속됨)의 몫 위상 ${\displaystyle {topology}_{}}$ Q ${\$은 표준 위상보다 미세하다(일반적으로, 엄격히 미세).

표준 지도

The canonical map is the quotient map ${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$ which is continuous when ${\displaystyle X_{V}}$ has either the norm topology or the quotient topology.^[1]

If ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$ are radial disks such that ${\displaystyle U\subseteq V}$then ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ so there is a continuous linear surjective canonical map ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_U^{-1}(0)\to X/{}_{}^{}}$${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$ defined by sending ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{$$U}^{-1}(0)}$ to the equivalence class ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$ where one may verify that the definition does not depend on the representative of the equivalence class ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$ that is chosen.^[1]이 표준 지도는 표준 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \,\leq$ 1$}$을^[1](를) 가지며, $X{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$의 ${\$까지 고유하게 연속적인 선형 표준 확장 기능을 가지고 있다.${\displaystyle \stackrel{}{u_{}}}$}}}}($g$ ${\displaystyle \stackrel{}{{V,}_{}}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$s${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$가 가리키는 ${\displaystyle u\stackrel{}{{}_{}}\}\}}$ : X ${\displaystyle \stackrel{}{U_{}}\stackrel{}{{}_{}}}$→${\displaystyle }$X ${\displaystyle V\stackrel{}{{}_{}}}$. ${\displaysty,$$U}}:{\overline {X_{$$U}}}\\{\overline{X_{V}}$$에 연결.$$}$

Suppose that in addition ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ and ${\displaystyle C}$ are bounded disks in ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle B\subseteq C}$ so that ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$ and the inclusion ${\displaystyle \ope$$ratorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}}}$은(는) 연속 선형 맵이다$$.Let ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$→ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \operatorname {In} _{B:$$X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$ and ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ be the canonical maps.Then ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$ and ${\displaystyle q_{V}=q_{V,$$U}\circule q_{U}.$$}$^[1]

경계 방사형 디스크에 의해 유도됨

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 경계 방사형 디스크라고 가정해 보십시오.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 경계 ${\displaystyle \mathrm{디스크}}$이므로, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ S ${\displaystyle D:$$=$${\displaystyle S_{}}$$}$ 그러면$$ 표준 (x) ∈ D, > r ${\displaystyle p_{D}(x$)를 사용하여$$ 보조 표준 공간 $X{\displaystyle {}_{}}$ D$$=${\displaystyle \mathrm{스팬}}$ D {$span}을($를) 생성할 수 있다$.$만약 V:)S{\displaystyle 5:=S}=\inf _{x\in rD,r>0}r};S이후{S\displaystyle}은 방사, XS)X.{\displaystyle X_{S}=X.}이후 S{S\displaystyle}는 레이디얼 디스크, 그 다음 우리는 seminorm과 X/p V− 1(0){\displaystyle X/p_{V}(0)보조seminormed 공간}를 만들 수 있다. pV()):)inf)∈ rV, r>0r{\displaystyle p_{V}()):=\inf _{x\in rV,r>0}r}; 그렇게 X/V− 1(0))X/{0})X.{\displaystyle X/p_{V}(0)=X{0\}=X.}그러므로p기 때문에 S{S\displaystyle}을 다스릴 수 있는 이 seminorm은 표준 우편료와 취급 수수료 V− 1(0)){0}{\displaystyle p_{V}(0)=\{0\}}.에서이 경우 서로 다른 두 가지 방법에 의해 생성된 두 개의 보조 규범 공간은 동일한 규범 공간을 의미한다.

이중성

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$의 약하게 닫힌 등축 디스크라고$$ 가정하고(이는 $H{\displaystyle }$ ${\displaysty H}$이(가) 약하게 소형이라는 것을 의미함).$$

$[\displaystyle U:=H^{\circle }=\left\{x\in X: h(x) \leq 1{\text{{{}모든 }h\in H\right\}}}}$

be the polar of ${\displaystyle H.}$ Because ${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$ by the bipolar theorem, it follows that a continuous linear functional ${\displaystyle f}$ belongs to ${\displaystyle X_{$$H}^{\prime }=\operatorname {span} H}($$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$})$가${\displaystyle }$(${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaysty \left(X,p_{U}\right)$의 연속 이중 공간에 속하는$$ 경우에만$$ 해당되며 $여기$서 ${\displaystyle P_{}}$ ${\$$U}}$은 p ( ) r , > 0 . ${\displaystyle p_{U}(x)$에 의해$$ $정의$된 U ${\displaystyle U$}의 민코스키 기능이다.$=\inf _{x\in rU,r>0}r.$$}$^[9]

관련개념

TVS의 디스크는 Banach 디스크를 모두 흡수하면 불순물이라고 불린다^[2].

두 TVS 사이의 선형 맵은 Banach 디스크를 경계된 디스크에 매핑하는 경우 infrabound라고^[2] 불린다.

빠른 수렴

한다면 바나흐 디스크 D{D\displaystyle}존재하는 터널 비전 시스템 X{X\displaystyle}에 나는 1∞{\displaystyle x_{\bullet}(x_{나는}\right)_{i=1}^{\infty}원 일련)∙)()나는)}는 수준까지 빠른 convergent[2])∈ X{\displaystyle Xx\in}다고 한다 두){\displaystyle)}과 땅이.quence는${\displaystyle }$(${\displaystyle {XD}_{}}$, p ${\displaystyle D_{}}$)에서$$ (결국) $displaystyle \operatorname {span}$$및$ x ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ →$$x $displaystyle x_{\bullet }\to$ x$}$에 포함되어 있다$.$ ${\displaysty \left(X_{D},p_{D}\$d}\$rig$)$}$

모든 빠른 수렴 순서는 맥키 수렴이다.^[2]

참고 항목

• Bornological Space – 경계 연산자가 연속적인 공간
• 주입 텐서 제품
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 원자력 사업자
• 핵 공간 – 힐버트 공간과 다른 유한 치수 유클리드 공간의 일반화
• 초기 위상 – 특정 기능을 연속적으로 만드는 가장 강력한 위상
• 투영 텐서 제품
• 슈워츠 위상 벡터 공간
• Hilbert 공간의 텐서 제품 – 특별한 내부 제품이 부여된 텐서 제품 공간
• 위상 텐서 제품 – 위상 벡터 공간을 위한 텐서 제품 구조
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
• 울트라본 공간

메모들

참조

참고 문헌 목록

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외부 링크

• ncatlab의 핵 공간