일반적인 하위 공간

양자정보이론에서 전형적인 아공간 사상은 많은 코딩 이론의 입증에 중요한 역할을 한다(가장 두드러진 예는 슈마허 압축이다).그것의 역할은 고전적인 정보 이론의 전형적 집합과 유사하다.

무조건 양자 전형성

다음과 같은 스펙트럼 분해의 밀도$$ 연산자 ${\displaystyle \rho }$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\langle x\vert .}$

The weakly typical subspace is defined as the span of all vectors such that the sample entropy ${\displaystyle {\overline {H}}(x^{n})}$ of their classical label is close to the true entropy ${\displaystyle H(X)}$ of the distribution ${\displaystyle p_{X}(x)}$:

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}\equiv {\text{n}\좌측\vert x^{n}\rigle :\좌측\vert {\overline {H}(x^{n}-H(X)\right\leq \delta \right\}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\overline {H}(x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}\log(p_{X^{n}),}$

${\displaystyle H(X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\log p_{X}(x).}$

$sub{\displaystyle }${\$displaystyle \$$pi_{\$$rho$ $,\delta }^{n}}}$의 일반적인 하위 공간에 대한 프로젝터는$$ $다음$과 같이 정의된다$.$

${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }}^{X^}}\vert x^{n}\langle x^{n}\vert}\vert;},}$

여기서 기호 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {n^{}}_{}^{}}$ ${\$을(를) "과부하"하여$$ $\Delta {\displaystyle }$ 집합 ${\displaystyle \delta }$ -일반$$ 시퀀스:

${\displaystyle T_{\delta }^{X^{n}}}^{X^{n}}\equiv \left\revert {\overline {H}\좌측(x^{n}\우측)\right\\vertleq \delta \right\}.}$

일반적인 프로젝터의 세 가지 중요한 특성은 다음과 같다.

${\displaystyle {\text{Tr}}\왼쪽\{\파이 _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\왼쪽\{\파이 _{\rho ,\delta }^{n}\오른쪽\}\leq 2^{n\왼쪽[]H\left(X\right)+\delta \right}}}$

${\displaystyle 2^{-n\왼쪽[H(X)+\delta \오른쪽]}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq \Pi _{\rho ,\delta }^{\otimes n}\Pi _{\rho ,}^{n}}\lq 2^{-n\n(X)-\deltaright]}}}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}}$

$여기$서 첫 번째 속성은 임의의> 0 ${\displaystyle \epsilon ,\displaystyle >0}$ 및 n {\$displaystyle n}$을(를$)$ 보유한다$.$

조건 양자 전형성

주의$$ 앙상블${\displaystyle {}_{}}${${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$( x${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ X ${\$),\rho$_{x}\right$\}_{x$\in${\$mathcal {$X}}}}}}}을$($를) 고려하십시오$.$각 상태 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$이(가) 다음과 같은 스펙트럼 분해를 가졌다고$$ 가정하자.

${\displaystyle \rho _{x}=\sum _{y}p_{Y X}(y x)\vert y_{x}\ret y_langle y_{x}\vert .}$

$고전적$ $시퀀스{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle n^{}}$$$${\displaystyle {}^{}}$ x ≡ ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x x x x ⋯ x ${\displaystyle x_{}}$ x ⋯ x ⋯ x ^ { ${$ { { { { { { ^{$n}\equiv x_{1}\cdots x_{n$ :

${\displaystyle \rho _{x^{n}}\equiv \rho _{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}}.}$

샘플 조건부 엔트로피 $H{\displaystyle \stackrel{}{}{}^{}}$(${\displaystyle {yn}^{}}$x$$n ){\$displaystyle {H}(y^{n}$ x^{n$})$이 실제 조건부 $엔트로피{\displaystyle }$ H${\displaystyle (YXX}$ X^{n})에 근접하도록 조건부 전형적 하위 공간을 벡터(sequence $x{\displaystyle {}^{}}$의 조건부 x$^{n$의 범위로 정의한다.${\displaystyle )}$ 분포 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$(${\displaystyle y}$ $x$${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$($$${\displaystyle x}$)의$$ ${\displaystyle p_{Y$ X$}(y$ x$)p_{X}(x)}$:

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n} x^{n}}\equiv {\text{span}\좌측\{\좌측\vert y_{x^{n}}}@{n}\우측\랑글 :\\overline {H}(y^{n}-{n}-H(Y X)\우측\leq \deltaright\}}}}}}}},}}}$

어디에

${\displaystyle {\overline{H}(y^{n} x^{n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{n})Y^{n} X^{n}}(y^{n} x^{n}\오른쪽),}$

${\displaystyle H(Y X)\equiv -\sum _{x}p_{X}(x)\sum _{y}p_{Y X}(y x)\log p_{Y X}(y x).}$

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {n^{}}_{}}$ ,${\$의 약한 조건부 부공간에 대한 프로젝터$$ as$$ : x n ${\$

${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{}}^{\delta }^{}}}}}}}}}Y^{n} x^{n}}\vert y_{x^{n}}}^{n}}\rangele \langle y_{x^{n}}^{n}}\vert ,}$

기호 $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ Y ${\displaystyle {n^{}}_{}^{}}$ x ${\displaystyle {n^{}}_{}^{}}$ ${\$$Y^{n} x^{n}}}$은(는) 약한 일반적인 시퀀스 집합을 참조한다$$.

${\displaystyle T_{\delta }^{Y^{n} x^{n}}\equiv \left\{y^{n}}:\좌측\vert {\overline {H}\좌측(y^{n} x^{n}\우측)-H(Y X)\우측\ret \leq델타 \right\}}$

약한 조건부 대표적인 프로젝터의 세 가지 중요한 특성은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathb {E} _{X^{n}\좌측\{\text}{\text}Tr}}\왼쪽\{\Pi _{\rho_{X^{n},\delta }\rho_{X^{n}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\왼쪽\{\Pi _{\rho_{x^{n},\delta }\right\}\leq 2^{n\왼쪽[H(Y X)+\delta \right]},}$

${\displaystyle 2^{-n\left[H(Y X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y X)-\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },}$

여기서 첫 번째 속성은 임의의> 0 ${\displaystyle \epsilon ,\delta >0}$ 및 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 유지되며$,$ 예상은 분포 P $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n^{}}_{}}$( x ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})$에 대한 것이다$.$

참고 항목

• 고전역량
• 양자정보이론

참조

• 와일드, 마크 M, 2017, 양자 정보 이론, 캠브리지 대학 출판부, eprint arXiv:1106.1145에서도 이용 가능