앳킨슨의 정리

Atkinson's theorem

연산자 이론에서 앳킨슨의 정리(프레드릭 발렌타인 앳킨슨의 이름)는 프레드홀름 연산자의 특성을 부여한다.

정리

H를 Hilbert 공간으로 하고 L(H)을 H에 경계 연산자 집합으로 한다.다음은 프레드홀름 연산자의 고전적 정의로, 연산자 T ∈ L(H)은 커널 Ker(T)가 유한 치수, Ker(T*)는 유한 치수(T*가 T의 부선을 나타내며, 범위 Ran(T)은 닫힌 경우 프레드홀름 연산자라고 한다.

앳킨슨의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

T ∈ L(H)은 T가 변환 불가능한 모듈로 콤팩트한 섭동인 경우에만 프레드홀름 연산자다.TS = I + C 및1 ST = 일부 경계 연산자 S 및 콤팩트 연산자 C와1 C의2 경우 I + C2.

즉, 연산자 T ∈ L(H)은 고전적인 의미에서 칼킨 대수에서 투영된 것이 변위불능인 경우에만 프레드홀름이다.

증거 스케치

증명의 개요는 다음과 같다.⇒ 함축의 경우 H를 직교 직교 합으로 표현한다.

제한 T : Ker(T)⊥ → Ran(T)은 바이어스(bijection)이며, 따라서 오픈 맵핑 정리에 의해 반전될 수 있다.이 반전을 Ran(⊥T) = Ker(T*)에서 모든 H에 정의된 연산자 S까지 0으로 확장하십시오.I - TS는 Ker(T*)에 대한 유한 순위 투영이고, I - ST는 Ker(T)에 대한 투영이다.이것은 정리의 일부분일 경우에만 증명된다.

반대로, 일부 소형 연산자 C의2 ST = I + C를2 가정해 보십시오.x ∈ Ker(T)일 경우 STx = x + Cx2 = 0.그래서 Ker(T)는 유한차원 C의2 Eigenspace에 포함되어 있다(콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 참조).따라서 Ker(T)도 유한한 차원이다.같은 주장은 케르(T*)도 유한한 차원임을 보여준다.

Ran(T)이 닫혔다는 것을 증명하기 위해, 우리는 근사 특성을 이용한다: F - C2 < r과 같은 유한 순위 연산자가 되도록 한다.Ker(F)의 모든 x에 대해

S ⋅ Tx ≥ STx = x + Cx2 = x + Fx + Cx2 - Fx ≥ x - C2 - F - X 1 (1 - r) x .

따라서 T는 Ker(F)에서 아래 경계로 되어 있으며, 이는 T(Ker(F)가 닫혀 있음을 의미한다.반면 Ker(F)⊥ = Ran(F*)은 유한차원이기 때문에 T(Ker(F)⊥는 유한차원이다.따라서 Ran(T) = T(Ker(F) + T(Ker(F))⊥는 닫히고, 이것이 정리를 증명한다.

앳킨슨 정리에 대한 보다 완전한 처리는 아르베손의 참고에 있다: B가 바나흐 공간이라면, 그것이 유한한 순위 연산자(그리고 후자가 콤팩트 연산자라면) 연산자는 프레드홀름(Fredholm)이며, 이는 분리 가능하고 반사적인 B의 Enflo의 예에 비추어 볼 때 유의하다.유한 등급 연산자의 정규 분포를 따르지 않는 콤팩트 연산자가 있는 아나치 공간).바나흐 공간의 경우, 프레드홀름 연산자는 유한 치수 커널과 유한 코드션 범위(해당 부재의 커널이 유한 치수인 것과 동일함)를 가진 연산자다.경계 연산자의 범위(아래 Arveson 참조 참조)이기도 한 유한 코다이멘션의 공간은 항상 닫혀 있기 때문에(Ran(T)이 닫혀 있다는 가설은 중복된다는 점에 유의하십시오. 이는 개방 매핑 정리의 결과(예를 들어, 공간이 경계 연산자의 범위가 아닌 경우, 즉 중단의 낟알이 아닌 경우에는 사실이 아니다).s 선형 기능).

참조

  • Atkinson, F. V. (1951). "The normal solvability of linear equations in normed spaces". Mat. Sb. 28 (70): 3–14. Zbl 0042.12001.
  • Arveson, William B, 스펙트럼 이론의 짧은 코스, 수학에서의 스프링어 대학원 텍스트, 209, 2002, ISBN 0387953000