Non-integer base of numeration

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정밀한 인용문을 도입하여 이 글의 개선에 도움을 주십시요. (2019년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

비정수자 표현은 위치수 시스템의 라디ix 또는 베이스로서 비정수자 숫자를 사용한다. 비정수자 radix β > 1의 경우, 다음 값

${\displaystyle x=d_{n}\d_{2}d_{1}d_{0}d_{-1}d_{-1}d_{-1}d_{-1}d_{-2}\d_{-m}}}}}$

이다

${\displaystyle {\pregated}x&=\filename ^{n}d_{n}+\cdots +\filename ^{2}d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\cHB ^{-1}d_{-1}+\cdots ^{-2}d_\cdots +\cdots ^{-m}.\end{정렬}}}$

숫자 d는_i β보다 작은 음수가 아닌 정수다. 이것을 β-팽창이라고도 하는데, 레니(1957년)가 도입하고 패리(1960년)가 처음 자세히 연구한 개념이다. 모든 실수는 적어도 하나 이상의 β-팽창을 가진다. 유한 표현을 하는 모든 β-팽창의 집합은 링 Z[β, β⁻¹]의 부분집합이다.

코딩 이론(Kautz 1965)과 퀘이시크리스탈의 모델(Burdik et al. 1998; Thurston 1989)에 β-확장의 적용이 있다.

건설

β-제곱은 십진 확장의 일반화다. 무한 소수 확장은 고유하지 않지만(예: 1.000...) = 0.999...), 모든 유한한 소수점 확장은 고유하다. 단, 유한한 β-팽창도 반드시 고유하지는 않으며, 예를 들어 β = β = for인 경우에는 φ² + 1 = φ이다. 주어진 실수의 β-팽창에 대한 표준 선택은 다음과 같은 탐욕스러운 알고리즘에 의해 결정될 수 있는데, 본질적으로 레니(1957)에 기인하고 프루니(1992)가 여기에 제공한 대로 공식화된다.

β > 1을 베이스로 하고 x는 음이 아닌 실수로 한다. ⌊x⌋에 의해 x의 바닥 함수(즉, x보다 작거나 같은 최대 정수)를 나타내고 {x} = x - xx⌋을 x의 분수 부분이 되게 한다. β^k β β x < β^k+1 같은 정수 k가 존재한다. 세트

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\floor ^{k}\floor }$

그리고

${\displaystyle r_{k}=\{x/\cHB ^{k}\}\,}$

k - 1 ≥ j > - ∞에 대해서는, put을 한다.

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \floor r_{j+1}\floor,\floor r_{j}=\\put r_{j+1}\}.}$

즉, x의 규범적 β-팽창은 βd^k_k βd ≤ x와 같은 가장 큰 d를_k 선택한 다음 βd^k_k + βd^k−1_k−1 ≤ x와 같은 가장 큰 d를_k−1 선택하는 것으로 정의된다. 따라서 그것은 x를 나타내는 사전 편찬적으로 가장 큰 문자열을 선택한다.

정수 베이스로, 이것은 숫자 x에 대한 일반적인 라딕스 확장을 정의한다. 이 구조는 통상적인 알고리즘을 β의 비정수 값까지 확장한다.

전환

위의 단계에 따라 실제 숫자 ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0$[\displaystyle n\geq$ 0$}$에 대한 β-팽창을 생성할 수 있다($$< ${\displaystyle$ n$<0}$에 대해서는 단계가 동일하지만 n을 -1로 곱해야 다시 음수가 된다).

먼저 우리의 k 값(n보다 큰 β의 가장 가까운 힘의 지수뿐만 아니라,${\displaystyle }$n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \lfloor$n_{\$beta$}\$rfloor }}$의 자릿수도 }를 정의해야 한다$.$ $여기$서 ${\displaystyle n_{}}$ β$${\$displaystyle n_{\bea }$은 n이다. n 및 β에 대한 k 값은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle k=\lfloor \log _{\pair }(n)\bloor +1}$

k 값이 발견된 후 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$은(는) d로 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle d_{j}=\lfloor(n/\mod ^{j}){\bmod {\}}\bloor,\n=n-d_{j}*\loss ^{j}}}}}}$

k - 1 ≥ j > - ∞의 경우. d의 첫 번째 k 값은 소수점 왼쪽에 나타난다.

이것은 다음과 같은 가성으로도 쓸 수 있다.

기능을 발휘하다 토베이스(n, b) {  k = 마루를 깔다(통나무를 하다(b, n)) + 1  정밀한 = 8  결과 = ""   을 위해 (i = k - 1, i > -정밀한-1, i--) {   만일 (결과.길이 == k) 결과 += "."      숫자를 매기다 = 마루를 깔다((n / b^i) 모드의 b)   n -= 숫자를 매기다 * b^i   결과 += 숫자를 매기다  }   돌아오다 결과 } 

^[1]

위의 코드는 각 숫자를 올바른 기호로 변환하거나 음수를 수정하지 않으므로 < β10 ${\displaystyle 1<\beta \leq 10}$ 및 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle n\geq 0$에만 유효하다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 한 자리 값이 10이면 A 대신 10으로 표시된다.

구현 코드 예

토베이스 π

• JavaScript:^[1]

  기능을 발휘하다 토베이스PI(숫자, 정밀한 = 8) {         하게 하다 k = 수학.마루를 깔다(수학.통나무를 하다(숫자)/수학.통나무를 하다(수학.PI)) + 1;     만일 (k < 0) k = 0;      하게 하다 숫자 = [];      을 위해 (하게 하다 i = k-1; i > (-1*정밀한)-1; i--) {         하게 하다 숫자를 매기다 = 수학.마루를 깔다((숫자 / 수학.포우(수학.PI, i)) % 수학.PI);         숫자 -= 숫자를 매기다 * 수학.포우(수학.PI, i);         숫자.밀다(숫자를 매기다);          만일 (숫자 <= 0)             부숴뜨리다;     }      만일 (숫자.길이 > k)         숫자.스플라이스(k, 0, ".");      돌아오다 숫자.합류하다(""); } 

출처 π

• JavaScript:^[1]

  기능을 발휘하다 베이스에서PI(숫자) {     하게 하다 numberSplit = 숫자.갈라지다(/\./g);     하게 하다 numberLength = numberSplit[0].길이;      하게 하다 생산량 = 0;     하게 하다 숫자 = numberSplit.합류하다("");      을 위해 (하게 하다 i = 0; i < 숫자.길이; i++) {         생산량 += 숫자[i] * 수학.포우(수학.PI, numberLength-i-1);     }      돌아오다 생산량; } 

예

베이스 √2

베이스 √2는 이진수에서 베이스로 숫자를 변환하기 위해 모든 사람이 해야 할 일이기 때문에 베이스 2와 매우 유사한 방식으로 동작한다. √2는 이진수마다 0자리 숫자를 넣는다. 예를 들어, 1911₁₀ = 1110111101은₂₂ 10101000101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101101101이_√210√2 된다. 이것은 모든 정수를 소수점 없이도 염기서열 2로 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 또한 밑면은 옆면 길이 1인_√2 정사각형이 대각선_√2 10인 정사각형이 되고_√2 옆면 길이 10인 정사각형이_√2 대각선 100인 정사각형의 관계를 보여주는 데 사용할 수 있다. 염기서열 2의 대표성이 단순히 11이기_√2 때문에 은비를 보여주는 것도 베이스의 또 다른 용도다. 또한, 옆면 길이가 1인_√2 일반 옥타곤의 면적은 1100_√2, 옆면 길이가 10인_√2 일반 옥타곤의 면적은 11000000_√2, 옆면 길이가_√2 100인 일반 옥타곤의 면적은 1100000000_√2 등...

골든 베이스

황금기초에서 일부 숫자들은 소수점 이하 등가물이 두 개 이상 있다: 그들은 모호하다. 예: 11_φ = 100_φ.

베이스 ψ

베이스 ψ에도 애매한 숫자가 있다. 예를 들어 101_ψ = 1000_ψ.

베이스 e

base e를 사용하는 경우 자연 로그는 ln_e(1) = 0, ln(10_e) = 1, ln(100_e) = 2, ln(1000_e) = 3으로 일반 로그처럼 동작한다.

base e는 radix β > 1 (Hayes 2001)의 가장 경제적인 선택으로, 여기서 radix 이코노미는 radix의 산물로 측정되며 일정한 범위의 값을 표현하는 데 필요한 기호 문자열의 길이이다.

베이스 π

베이스 π은 둘레에 해당하는 원의 지름과 원주 사이의 관계를 보다 쉽게 보여주기 위해 사용할 수 있다. 원주 = 지름 × π, 지름 1의_π 원주는 둘레가 10이고, 지름_π 10의_π 원은 둘레가 100이다_π. 더욱이 면적 = π × 반지름이기² 때문에 반지름 1인_π 원은 면적이 10이고_π, 반지름 10인_π 원은 면적이 1000이고_π, 반지름이 100인_π 원은 면적이 10만이다_π.^[2]

특성.

어떤 위치 번호 시스템에서도 모든 숫자를 고유하게 표현할 수 없다. 예를 들어, 베이스 10에서 숫자 1은 두 가지 표현을 가지고 있다: 1.000... 그리고 0.999.... 두 개의 다른 표현을 가진 숫자 집합은 실체에서 밀도 있지만(Petkovseck 1990) 독특한 β-확장성을 가진 실수를 분류하는 문제는 정수 베이스의 그것보다 상당히 미묘하다(Glendinning & Sidorov 2001).

또 다른 문제는 β-팽창이 주기적인 실제 수치를 분류하는 것이다. β > 1과 Q(β)를 포함한 이성계의 최소 자기장 확장이 되도록 한다. 그런 다음 주기적인 β-팽창을 갖는 [0,1)의 모든 실제 숫자는 Q(β)에 있어야 한다. 반면에, 그 반대는 사실일 필요는 없다. β가 피소트 수(Schmidt 1980)일 경우 역은 유지되지만, 필요하며 충분한 조건은 알려져 있지 않다.

참고 항목

• 베타 인코더
• 비표준 위치수 시스템
• 십진 확장
• 파워 시리즈
• 오스트로우스키 숫자

참조

• Bugeaud, Yann (2012), Distribution modulo one and Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 193, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11169-0, Zbl 1260.11001
• Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, J. P.; Krejcar, R. (1998), "Beta-integers as natural counting systems for quasicrystals", Journal of Physics A: Mathematical and General, 31 (30): 6449–6472, Bibcode:1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106, doi:10.1088/0305-4470/31/30/011, ISSN 0305-4470, MR 1644115.
• Frougny, Christiane (1992), "How to write integers in non-integer base", LATIN '92, Lecture Notes in Computer Science, vol. 583/1992, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 154–164, doi:10.1007/BFb0023826, ISBN 978-3-540-55284-0, ISSN 0302-9743.
• Glendinning, Paul; Sidorov, Nikita (2001), "Unique representations of real numbers in non-integer bases", Mathematical Research Letters, 8 (4): 535–543, doi:10.4310/mrl.2001.v8.n4.a12, ISSN 1073-2780, MR 1851269.
• Hayes, Brian (2001), "Third base", American Scientist, 89 (6): 490–494, doi:10.1511/2001.40.3268, archived from the original on 2016-03-24.
• Kautz, William H. (1965), "Fibonacci codes for synchronization control", Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, IT-11 (2): 284–292, doi:10.1109/TIT.1965.1053772, ISSN 0018-9448, MR 0191744.
• Parry, W. (1960), "On the β-expansions of real numbers", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 11 (3–4): 401–416, doi:10.1007/bf02020954, hdl:10338.dmlcz/120535, ISSN 0001-5954, MR 0142719, S2CID 116417864.
• Petkovšek, Marko (1990), "Ambiguous numbers are dense", The American Mathematical Monthly, 97 (5): 408–411, doi:10.2307/2324393, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324393, MR 1048915.
• Rényi, Alfréd (1957), "Representations for real numbers and their ergodic properties", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 8 (3–4): 477–493, doi:10.1007/BF02020331, hdl:10338.dmlcz/102491, ISSN 0001-5954, MR 0097374, S2CID 122635654.
• Schmidt, Klaus (1980), "On periodic expansions of Pisot numbers and Salem numbers", The Bulletin of the London Mathematical Society, 12 (4): 269–278, doi:10.1112/blms/12.4.269, hdl:10338.dmlcz/141479, ISSN 0024-6093, MR 0576976.
• Thurston, W.P. (1989), "Groups, tilings and finite state automata", AMS Colloquium Lectures

추가 읽기

• Sidorov, Nikita (2003), "Arithmetic dynamics", in Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.), Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000, Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 310, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 145–189, ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl 1051.37007

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Base". MathWorld.