베타 함수(물리학)

이론물리학, 특히 양자장론에서 베타함수 β(g)는 양자장론에 의해 기술된 주어진 물리적 과정의 에너지 척도 μ에 대한 결합 파라미터 g의 의존성을 부호화한다.다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \displays (g) = displayfrac {\displays \log(\mu)} ~,

또한 기초가 되는 재규격화기 때문에 μ에 대한 명확한 의존성이 없으므로 암묵적으로 g를 통해 μ에 의존할 뿐이다.이렇게 지정된 에너지 스케일에 대한 의존성은 양자장 이론의 스케일 의존성의 기본 특징인 결합 매개변수의 실행으로 알려져 있으며, 그 명시적 계산은 다양한 수학적 기술을 통해 달성될 수 있다.

척도 불변성

양자장 이론의 베타 함수가 사라지면, 보통 결합 파라미터의 특정 값에서, 그 이론은 규모 불변이라고 한다.거의 모든 스케일 불변 QFT도 동일하게 불변합니다.그러한 이론의 연구는 등각장 이론이다.

양자장 이론의 결합 매개변수는 대응하는 고전장 이론이 스케일 불변하더라도 실행될 수 있습니다.이 경우 0이 아닌 베타 함수는 고전적 척도 불변성이 이상하다는 것을 알려줍니다.

예

베타 함수는 보통 어떤 종류의 근사 체계로 계산된다.예를 들어, 섭동 이론이 있는데, 여기서 결합 매개변수가 작다고 가정할 수 있다.그런 다음 커플링 파라미터의 거듭제곱을 확장하고 고차항(해당 파인만 그래프의 루프 수에 따라 고루프 기여라고도 함)을 잘라낼 수 있습니다.

다음은 섭동 이론에서 계산된 베타 함수의 몇 가지 예입니다.

양자 전기 역학

양자전기역학(QED)의 원루프 베타 함수는

$\displaystyle \display (e) = flac {e^{3}} {12\pi ^{2}}~,}$

또는 동등하게

$\displaystyle (\alpha ) = snarfrac {2\alpha ^{2}} {3\pi }}~,$

미세 구조 상수(자연 단위)의 관점에서 $α 2 = e$ /4gm이다.

이 베타 함수는 에너지 규모가 커짐에 따라 결합이 증가하고 높은 에너지에서 QED가 강하게 결합된다는 것을 알려줍니다.사실, 어떤 유한 에너지에서 결합은 분명히 무한해지고, 결과적으로 란다우 극이 만들어집니다.그러나 강한 결합에서 섭동 베타 함수가 정확한 결과를 줄 것으로 기대할 수 없기 때문에 란다우 극은 더 이상 유효하지 않은 상황에서 섭동 이론을 적용하는 인공물일 가능성이 높다.

양자 색역학

n $n_{f}$ {\ $displaystyle n_{f}$ 개의 $n_f$ 향미 $n_{s}$ n $n_{s}$ {\ $displaystyle n_{s}$ 개의 $n_{s}$ 스칼라 보손이 있는 $n_{f}$ 색역학에서 1루프 베타 함수는

\displaystyle \pi (g)=-\left (11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right}{\frac {g^{2}}~,}

또는

\displaystyle \flash (\alpha _{s})=-\left (11-{\frac {n_{f}}{6}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right) {\frac {\alpha _{s}{2}}{2\pi }~},}

α = $g^{2}/4\pi$ 2 / $g^{2}/4\pi$ { $displaystyle$ g $^{2}/4\pi }$ 로_s 표기됩니다.

n 16 16일 경우_f, 후속 베타 함수는 점근 자유로 알려진 현상인 에너지 스케일이 증가함에 따라 커플링이 감소함을 나타낸다.반대로 결합은 에너지 스케일이 감소함에 따라 증가합니다.이것은 낮은 에너지에서 결합이 커지며, 더 이상 섭동 이론에 의존할 수 없다는 것을 의미한다.

SU(N) 비아벨 게이지 이론

QCD의 (Yang-Mills) $게이지$ 그룹은 $SU(3)$ U(3 $SU(3)$ 이고 3가지 색상을 결정하지만, $G=SU(N_{c})$ 그룹 G $=SU(Nc$ 를 $N_{c}$ 하여 N $N_{c}$ c(\ $displaystyle N_{$ c $N_{c}$ 의 색상으로 일반화할 수 있습니다.그리고 이 게이지 그룹의 경우 디락 페르미온이 $G$ 의 $G$ $R$ $R_{f}$ {\ $displaystyle$ $R_{f}$ 이고 $R_{f}$ 복잡한 스칼라가 R $R_{s}$ {\ $displaystyle R_{s$ 인 경우 1루프 베타 함수는 다음과 같습니다.

\frac {11}{3}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}T(R_{s})-{\frac {4}{f}T(R_{f}\right){f}{f}T(R_{f})\fac^3}{g}{g

$C_{2}(G)$ 서 $G)$ {style $C_{2}(G$ $)$ 는 $C_2(G)$ $G$ G의 $2차$ 캐시미르이며 $T(R)$ $T(R)$ R $)$ { $displaystyle T(R$ )}는 $T(R)$ Tr $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ R $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ B) $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ R) | $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ (R) | T(R) | T(R) tisplay $T_style$ $(T)$ 에 $Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}$ 정의된 또 하나의 캐시미르 불변량이다 $.$ aystyle T_ ${R}^{a,$ b $T_{R}^{a,b}$ }. (Weyl 또는 Majorana 페르미온의 $경우$ 4 $/$ $3을$ 2 $/3$ 로 $2/3$ $4/3$ 스칼라의 경우 $1/3$ 1/ $3$ 을 $1/3$ $6으로$ 바꿉니다 $.)$ 게이지의 경우 1/6으로 $1/3$ $.$ $f$ G{ $displaystyle$ G $G$ } , $C_{2}(G)=N_{c}$ ( $C_{2}(G)=N_{c}$ ) $C_{2}(G)=N_{c}$ $C_{2}(G)=N_{c}$ c $C_{2}(G)=N_{c}$ \ $displaystyle C_{2$ } (G) $=$ $N_{c$ G $(\displaystyle$ G $G$ $T(R)=1/2$ $T(R)=1/2$ / $(\displaystyle$ T $(R$ )= $1/$ 2 $T(R)=1/2$ 의 기본(또는 반원칙) 표현인 페르미온의 경우, $N_{c}=3$ $=$ $(\displaystyle N_{c$ }= $3$ 의 경우 위의 양자역학 방정식으로 환원한다.

이 유명한 결과는 1973년 폴리티저,^[1] 그로스, 윌체크에 ^[2]의해 거의 동시에 도출되었고, 이 세 사람은 2004년 노벨 물리학상을 받았다.이 작가들에게 알려지지 않은 G.t Hooft는 K의 강연에 이어 코멘트로 결과를 발표했다.1972년 6월 마르세유에서 열린 작은 회의에서 시만직은 이 책을 ^[3]출판하지 않았다.

표준 모델 힉스 -유카와 커플링스

표준 모델에서 쿼크와 렙톤은 힉스 입자에 대한 "유카와 커플링"을 가지고 있습니다.이것들은 입자의 질량을 결정합니다.대부분의 쿼크와 렙톤의 유카와 커플링은 탑 쿼크의 유카와 커플링에 비해 작다.이 유카와 커플링은 주행에 의해 측정되는 에너지 척도에 따라 값이 달라집니다.쿼크의 유카와 커플링의 역학은 재규격화 군 방정식에 의해 결정된다.

$\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ y $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ 16 $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ 2 ( $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ - $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ g $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ 3 $\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)$ ){ $displaystyle$ \ $mu$ { \ $frac \ frac$ }{ 16 \ $pi$ ^ { }}\ $left$ \ $frac { 9$ }{ $2$ } $y^$ { 2 } - $8g _ 3$ } \ $right$

$g_{3}$ 서 g 3 $g_{3}$ {\ $displaystyle g_{3}}$ 은 $g_{3}$ 컬러 게이지 커플링(μ $\mu$ {\ $displaystyle\mu}$ 의 $\mu$ 함수이며 점근 자유도와 관련됨)이고y {\ $displaystyle$ y $}$ 는 $y$ 유카와 커플링입니다.이 방정식은 유카와 커플링이 에너지 $(\displaystyle\mu$ 에 따라 어떻게 변화하는지 설명합니다.

위, 아래, 매력, 기묘한 쿼크 및 아래 쿼크의 유카와 커플링은 매우 높은 에너지 $\mu \approx 10^{15}$ 인 μ $\mu \approx 10^{15}$ $\mu \approx 10^{15}$ 15 $($ 스타일 $약 10^{$ 15 $}$ GeV $\mu \approx 10^{15}$ )로 작다.따라서 위의 방정식에서는 y $(\$ y $^{2})$ $y^{2}$ 을 $y^{2}$ 무시할 수 있습니다.해결하면 쿼크 질량이 힉스 µ $({디스플레이$ 스타일 $\mu\약$ 100 $}$ GeV $\mu \approx 100$ )에 의해 생성되는 낮은 에너지 척도에서 $y$ 가 약간 $y$ 증가한다는 $y$ 을 알 수 있다.

한편 큰 초기값 $\displaystyle$ y $\$ 에 $y$ 대한 이 방정식의 해법은 에너지 규모가 낮아질수록 rhs가 더 작은 값에 빠르게 접근하도록 합니다.위의 $y$ 방정식은y를 $g_{3}$ $g_{3}$ 에 $고정$ 합니다 $.이것$ 은 $유카와$ ^[4]^[5]커플링의 재규격화 그룹 방정식의 (적외선 $g_{3}$ 준고정점이라고 불립니다 $.$ 커플링의 초기 시작값이 무엇이든 충분히 크면 이 준고정점 값에 도달하여 대응하는 쿼크 질량을 예측한다.

준고정점의 값은 표준 모델에서 상당히 정밀하게 결정되므로 예측된 최고 쿼크 질량은 230GeV입니다.^{[citation needed]}관측된 174GeV의 꼭대기 쿼크 질량은 표준 모델 예측보다 약 30% 낮으며, 이는 단일 표준 모델 힉스 입자를 넘어 더 많은 힉스 이중자가 존재할 수 있음을 시사한다.

최소 초대칭 표준 모형

대통합과 힉스-최소 초대칭 표준 모델(MSSM)의 재분열 그룹 연구유카와 정점은 그 이론이 올바른 방향으로 가고 있다는 것이 매우 고무적이었다.그러나 지금까지 대형 강입자 충돌기에서 예측된 MSSM 입자의 증거는 발견되지 않았다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ H.David Politzer (1973). "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?". Phys. Rev. Lett. 30: 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
^ 를 클릭합니다D.J. Gross and F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8: 3633–3652. Bibcode:1973PhRvD...8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633..
^ G. 't Hooft (1999). "When was Asymptotic Freedom discovered?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74: 413–425. arXiv:hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.
^ Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). "Mass and Mixing Angle Predictions from Infrared Fixed points". Phys. Lett. B98: 291. Bibcode:1981PhLB...98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
^ Hill, C.T. (1981). "Quark and Lepton masses from Renormalization group fixed points". Phys. Rev. D24: 691. Bibcode:1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.

추가 정보

Peskin, M과 Schroeder, D.; 양자장 이론 입문, Westview Press(1995).베타 함수의 계산을 포함한 QFT의 많은 주제를 다루는 표준 소개 텍스트. 특히 16장을 참조하십시오.
와인버그, 스티븐양자장론, (3권) 케임브리지 대학 출판부(1995).QFT에 관한 기념비적인 논문.
진 저스틴, 진; 양자장 이론과 임계 현상, 옥스포드 대학 출판부(2002).정규화 그룹 및 관련 토픽을 강조합니다.

[1] H.David Politzer (1973). "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?". Phys. Rev. Lett. 30: 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.

[2] 를 클릭합니다D.J. Gross and F. Wilczek (1973). "Asymptotically Free Gauge Theories. 1". Phys. Rev. D. 8: 3633–3652. Bibcode:1973PhRvD...8.3633G. doi:10.1103/PhysRevD.8.3633..

[3] G. 't Hooft (1999). "When was Asymptotic Freedom discovered?". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74: 413–425. arXiv:hep-th/9808154. Bibcode:1999NuPhS..74..413T. doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.

[4] Pendleton, B.; Ross, G.G. (1981). "Mass and Mixing Angle Predictions from Infrared Fixed points". Phys. Lett. B98: 291. Bibcode:1981PhLB...98..291P. doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.

[5] Hill, C.T. (1981). "Quark and Lepton masses from Renormalization group fixed points". Phys. Rev. D24: 691. Bibcode:1981PhRvD..24..691H. doi:10.1103/PhysRevD.24.691.

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