카라테오도리 정리(곡면체)

카라테오도리의 정리는 볼록 기하학의 정리입니다. 점 $x$ $x$ 가 집합 $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ $Rd {\displaystyle$ P\ $subset \mathbb {$ R $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ d}의 볼록한 선체 C $\mathrm {Conv} (P)$ ( $\mathrm {Conv} (P)$ $\mathrm {Conv}(P)$ 에 있는 경우, then $x$ can be written as the convex combination of at most $d+1$ points in $P$ . More sharply, $x$ can be written as the convex combination of at most $d+1$ extremal points in $P$ , 볼록한 선체에 $x$ 있는 $x$ {\ $displaystyle$ x $}$ 의 멤버쉽을 변경하지 않고 $P$ $P$ {\ $displaystyle$ P $}$ 에서 비-극점 점을 제거할 수 있기 때문입니다.

원뿔 조합에 대한 동등한 정리는 점 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 가 집합 $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ $Rd {\displaystyle$ P\ $subset \mathbb$ {R $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ d}의 원뿔 선체 $\mathrm {Cone} (P)$ ( $\mathrm {Cone} (P)$ $\mathrm {Cone$ ( $P)}$ 에 있다면, $그러면$ x ${\displaystyle$ x $}$ 은(는) $P$ {\ $displaystyle P}$ 에서 최대 $d$ {\ $displaystyle d}$ 개 $d$ 점의 원뿔 조합으로 쓸 수 있습니다 $x$ $P$ ^[1]^{: 257}

헬리와 라돈의 유사한 정리는 카라테오도리의 정리와 밀접한 관련이 있습니다: 후자의 정리는 전자의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.^[2]

결과는 P $P$ 가 $P$ 콤팩트한 경우에 대한 정리를 1911년에 증명한 콘스탄틴 카라테오도리의 이름을 따서 명명되었습니다.^[3] 1914년 에른스트 슈타이니츠는 임의의 집합에 대한 카라테오도리 정리를 확장했습니다.^[4]

예

2차원 카라테오디의 정리는 우리가 P의 볼록한 선체에 있는 임의의 점을 둘러싸는 P의 점들로 구성된 삼각형을 만들 수 있다는 것을 말합니다.

For example, let P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. 이 세트의 볼록한 선체는 정사각형입니다. P의 볼록 껍질에서 x = (1/4, 1/4)라고 합니다. 그런 다음 볼록한 선체가 삼각형이고 x를 둘러싸는 집합 {(0,0),(0,1),(1,0)} = P'를 구성할 수 있습니다.

증명

참고: $\mathbb {R}$ ${\$ $displaystyle \mathbb {R}$ 이 $\mathbb {R}$ 순서 필드이므로 R {\ $displaystyle \mathbb {R}$ 이 $\mathbb {F}$ 전체 순서와 함께 임의의 필드 $\mathbb {F}$ ${\$ 로 대체된 $\mathbb {R}$ 경우에도 정리와 증명이 작동합니다.

우리는 먼저 카라테오도리의 정리를 공식적으로 언급합니다.^[5]

Carathéodory's theorem — $x$ ∈ $원$ ( $)$ ⊂ \ $mathrm$ {Cone} ( $S)\subset$ \mathbb { $x$ }^{d}에서 $Rd {\displaystyle$ x\를 입력하면, $x$ {\displaystyle x}는 $S$ displaystyle S}의 $최대 d$ {\ $displaystyle$ d}개 점의 $d$ 가 아닙니다 $.$

$x\in \mathrm {Conv} (S)\subset \mathbb {R} ^{d}$ ∈ $Con$ v ( $)$ ⊂ R $d {\displaystyle x$ \in $\mathrm$ {Conv} ( $S)\subset$ mathbb { $x$ }^{d}}에서 x{\ $displaystyle$ x}는 $S$ $d+1$ $S$ displaystyle S}의 $최대$ d + 1 ${\displaystyle$ $+$ 1} $d+1$ 의 볼록 $d+1$ 입니다.

카라테오도리 정리의 본질은 유한한 경우에 있습니다. $\mathrm {Conv} (S)$ 유한 대소문자로의 축소는 $\mathrm {Conv} (S)$ v $\mathrm {Conv} (S)$ $\mathrm {Conv} (S)$ 가 $\mathrm {Conv} (S)$ $S$ $S$ 요소의 유한 볼록 조합 집합이기 때문에 가능합니다( $S$ 자세한 내용은 볼록 껍질 페이지 참조).

Lemma — If $q_{1},...,q_{N}\in \mathbb {R} ^{d}$ then $\forall x\in \mathrm {Conv} (\{q_{1},...,q_{N}\})$ , exists ${\displaystyle w_{1},...,$ $x=\sum _{n}w_{n}q_{n}$ ${N}\geq 0}$ 이므로 $x=\sum _{n}w_{n}q_{n}$ $=$ $∑$ $x=\sum _{n}w_{n}q_{n}$ n이 $q$ n {\style x $=$ \sum_{n}w_{n}q_{n} 이며, 그 중 최대 d {\displaystyle d}은 0이 아닙니다.

보조정리를 사용하면 카라테오도리의 정리는 다음과 같이 간단히 확장됩니다.

카라테오도리 정리의 증명

For any $x\in \mathrm {Conv} (S)$ , represent $x=\sum _{n=1}^{N}w_{n}q_{n}$ for some $q_{1},...,q_{N}\in S$ , then $x\in \mathrm {Conv} (\{q_{1},...,q_{N}\})$ $x\in \mathrm {Conv} (\{q_{1},...,q_{N}\})$ N $x\in \mathrm {Conv} (\{q_{1},...,q_{N}\})$ \ $mathrm$ { $Conv}(\{q_{1$ }, $...,q_{N}\}$ 에서 ${\displaystyle$ x\를 $표시$ 하고 $x\in \mathrm {Conv} (\{q_{1},...,q_{N}\})$ 보조정리를 사용합니다.

두 번째 부분은 아핀 기하학을 선형 대수학으로 축소하고 볼록체를 볼록 원뿔체로 축소하는 데 사용되는 일반적인 기술인 "1차원을 들어 올려" 첫 번째 부분으로 축소합니다.

$S\subset \mathbb {R} ^{d}$ 으로, $S\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ $Rd {\displaystyle$ S\ $subset \mathbb$ {R} ^{d}} 다음 $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ $Rd {\displaystyle \mathbb {$ R} ^{d}}를 $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ 집합 { $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ ∈ $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ + 1 : w $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ + $1$ = 1 $} {\displaystyle \{w\in$ \mathbb {R} ^{d+1}:w_ ${$ d+1 $\{w\in \mathbb {R} ^{d+1}:w_{d+1}=1\}$ = 1\}로 $\mathbb {R} ^{d}$ 합니다. $S$ 는 S{\ $displaystyle$ S $}$ 를 S $S\times \{1\}\subset \mathbb {R} ^{d+1}$ × $S\times \{1\}\subset \mathbb {R} ^{d+1}$ { $S\times \{1\}\subset \mathbb {R} ^{d+1}$ } $S\times \{1\}\subset \mathbb {R} ^{d+1}$ ⊂ $Rd$ + 1 ${\displaystyle S\times$ \{ $1\}\subset \mathbb {$ R $S\times \{1\}\subset \mathbb {R} ^{d+1}$ d+1}에 삽입하도록 유도합니다.

Any $x\in S$ , by first part, has a "lifted" representation $(x,1)=\sum _{n=1}^{N}w_{n}(q_{n},1)$ where at most $d+1$ of $w_{n}$ are nonzero. $x=\sum _{n=1}^{N}w_{n}q_{n}$ , $x=\sum _{n=1}^{N}w_{n}q_{n}$ = ∑ $x=\sum _{n=1}^{N}w_{n}q_{n}$ n = 1 $1=\sum _{n=1}^{N}w_{n}$ w $1=\sum _{n=1}^{N}w_{n}$ q n {\displaystyle x =\sum _{n=1}^{N}w_{n}q_{n}}, 1 = ∑ n = 1 N w {\displaystyle 1 =\sum _{n=1}^{N}w_{n}}이며, 이로써 증명이 완료됩니다.

보조정리 증명

이것은 $N\leq d$ $N\leq d$ $N\leq d$ ${\displaystyle$ N $\leq d}$ 일 때 사소합니다 $N\leq d$ $N=d+1$ N = $N=d+1$ + 1 ${\display$ $N=d+1$ = $N\geq d+1$ }에 $N\geq d+1$ 대해 증명할 수 있다면, 귀납법으로 모든 N ≥ d + 1 {\display N\geq d+1}에 대해 증명했습니다. $N=d+1$ N = $N=d+1$ + $N=d+1$ {\displaystyle N = d+1}에 대해 증명해야 합니다. 이는 $d$ ${\displaystyle$ d $}$ 에 대한 귀납법으로 증명합니다 $d$

기본 대소문자: $d=1,N=2$ = $d=1,N=2$ N = $2$ {\displaystyle d = 1, N = 2}, 사소한 것.

인덕션 케이스. $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ = ∑ $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ n = $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ + 1 $w$ q n {\displaystyle x =\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}}를 나타냅니다. 일부 w = 0 {\displaystyle w_{n}=0}이면 증명이 완료됩니다. $w_{n}>0$ 모두 w $w_{n}>0$ > 0 ${\displaystyle w_{n}>$ 0}이라고 가정합니다 $.$

$\{q_{1},...,q_{d}\}$ $\{q_{1},...,q_{d}\}$ $\{q_{1},...,q_{d}\}$ $\{q_{1},...,q_{d}\}$ d $\{q_{1},...,q_{d}\}$ ${\displaystyle \{q_{1$ }}, $...,q_{d}\}$ 가 선형 종속인 경우 $\sum _{n=1}^{d}{\frac {w_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{d}}}q_{n}$ 스팬에서 유도를 사용하여 $\sum _{n=1}^{d}{\frac {w_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{d}}}q_{n}$ ∑ n = $\sum _{n=1}^{d}{\frac {w_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{d}}}q_{n}$ w n w 1 + ⋯ + w q {\displaystyle \sum_{n=1}^{d}{\frac {w_{n}}{w_{n}}{w_{1}+\cdots +w_{d}}q_{n}}, 따라서 x = ∑ $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ = $x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}$ d + 1 w q n {\displaystyle x=\sum _{n=1}^{d+1}w_{n}q_{n}}에서도 제거합니다.

$\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ 않으면 $,$ \ $\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ ${R$ ^{d}}에 ∑ $\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ = 1 $\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ d $\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ n = q d + 1 {\displaystyle \sum_ $(u_{1},...,u_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ n=1}^{n}q_{n}= ${d$ +1} $\sum _{n=1}^{d}u_{n}q_{n}=q_{d+1}$ = $(u_{1},...,u_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ {d+1} ∈ Rd ${\displaystyle}$ 이 $있습니다$ . 그런 다음 전체 표현 간격을 보간할 수 있습니다.

x=\sum _{n=1}^{d}(w_{n}+\theta w_{d+1}u_{n})q_{n}+(1-\theta )w_{d+1}q_{d+1};\quad \theta \in [0,1]

$n$ + w $n=1,...,d$ + $w_{n}+w_{d+1}u_{n}\geq 0$ $w_{n}+w_{d+1}u_{n}\geq 0$ ≥ 0 $w_{n}+w_{d+1}u_{n}\geq 0$ {\ $displaystyle w_{n}+w_{d+$ 1} $u_{n$ }\geq 0}인 경우 $,$ 모든 n $n=1,...,d$ = 1 $n=1,...,d$ ...,d} {\displaystyle n=1,...,d}에 대해 θ = 1 {\displaystyle \theta =1}을(를) 설정합니다. 그렇지 않으면, $w_{n}+\theta w_{d+1}u_{n}=0$ + wd $+$ 1 $un$ = $0$ {\displaystyle w_{n}+\theta_{d+1}u_{n}=0 $w_{n}+\theta w_{d+1}u_{n}=0$ 중 $w_{n}+\theta w_{d+1}u_{n}=0$ 가 $w_{n}+\theta w_{d+1}u_{n}=0$ $\theta$ θ ${\$ $displaystyle$ \theta}를 가장 $\theta$ θ ${\$ displaystyle \theta}로 지정합니다. 그런 $\leq d$ 다음 $\leq d$ 0이 $\leq d$ 항이 $\leq d$ ≤ $d$ {\ $displaystyle$ \ $x$ d}인 x {\ $displaystyle$ x $}$ 의 볼록 표현을 얻습니다.

대안적 증명들은 Helly의 정리 또는 Perron-Frobenius 정리를 사용합니다.^[6]^[7]

변종

카라테오도리 수

비어 있지 않은 $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ $Rd {\displaystyle$ P $\subset \mathbb {$ R $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ^{d}}에 대하여, 해당 카라테오도리의 수를 $가장$ $작은$ $정수$ r $displaystyle$ r}로 정의하여, \mathrm {Conv}의 $임의$ 의 $x\in \mathrm {Conv} (P)$ ∈ Con (P) ${\displaystyle$ x\에 $x\in \mathrm {Conv} (P)$ , $P$ $P$ 에는 $최대$ r개의 {\ $displaystyle r}$ 요소의 $r$ 볼록한 합으로 $x$ $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 표현이 있습니다 $P$

카라테오디의 정리는 $\mathbb {R} ^{d}$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{$ d}의 비어 있지 않은 부분집합은 카라테오디의 수 $\leq d+1$ $\leq d+1$ + 1 ${\displaystyle \leq$ d $+1}$ 을 $\mathbb {R} ^{d}$ 갖는다고 말합니다 $\leq d+1$ 이 상한에 반드시 도달하는 것은 아닙니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ 의 단위 구는 구 내부의 모든 점이 구 위의 두 점의 볼록한 합이므로 카라테오도리의 수는 2와 같습니다 $\mathbb {R} ^{d}$ .

$P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ $Rd {\displaystyle$ P $\subset \mathbb$ {R $P\subset \mathbb {R} ^{d}$ ^{d}}에 대한 추가 가정을 통해 $d+1$ d + $1$ d+1}보다 엄격하게 $d+1$ 상한을 얻을 수 있습니다.

무차원 변형

최근, 아디프라시토, 바라니, 무스타파 그리고 테르파이는 공간의 차원에 의존하지 않는 카라테오도리 정리의 변형을 증명했습니다.^[9]

형형색색의 카라테오디올 정리

X₁, ..., X를_d+1 R로^d 설정하고 x를 이 모든 d+1 집합들의 볼록 껍질들의 교집합에 포함된 점이라고 가정합니다.

그러면 집합 T = {x, ..., x}가 존재하며, 여기서 x ∈ X, ..., x ∈ X는 T의 볼록 껍질이 점 x를 포함합니다.

집합 X₁, ..., X를_d+1 서로 다른 색으로 보면, 집합 T는 모든 색의 점으로 만들어지므로, 정리의 이름에 있는 "컬러풀"이 됩니다.^[11] 집합 T는 각 모서리가 서로 다른 색을 갖는 d차원 심플렉이기 때문에 무지개 심플렉이라고도 불립니다.^[12]

이 정리는 볼록한 선체가 원뿔형 선체로 대체되는 변형이 있습니다.^[10]^{: Thm.2.2} X₁, ..., X를_d R로^d 설정하고 x를 이 모든 집합들의 원뿔형 선체들의 교집합에 포함된 점이라 하자. 그러면 집합 T = {x, ..., x}가 존재하며, 여기서 x ∈ X, ..., x ∈ X는 T의 원뿔 선체가 점 x를 포함합니다.

무스타파와 레이는 이 알록달록한 정리를 점에서 볼록한 물체로 확장했습니다.^[12]

다채로운 집합을 찾는 계산 문제는 복잡도 클래스 PPAD와 PLS의 교차에 있습니다.^[13]

참고 항목

메모들

^ Lovász, László; Plummer, M. D. (1986). Matching Theory. Annals of Discrete Mathematics. Vol. 29. North-Holland. ISBN 0-444-87916-1. MR 0859549.
^ Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963). "Helly's theorem and its relatives". Convexity. Proc. Symp. Pure Math. Vol. 7. American Mathematical Society. pp. 101–179. 특히 p.109 참조
^ Carathéodory, C. (1911). "Über den Variabilitätsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884–1940) (in German). 32 (1): 193–217[see p.200 bottom]. doi:10.1007/BF03014795. S2CID 120032616.
^ Steinitz, Ernst (1913). "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme". J. Reine Angew. Math. 1913 (143): 128–175. doi:10.1515/crll.1913.143.128. S2CID 120411668.
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^ Naszódi, Márton; Polyanskii, Alexandr (2021). "Perron and Frobenius Meet Carathéodory". The Electronic Journal of Combinatorics. 28 (3). arXiv:1901.00540. doi:10.37236/9996. S2CID 119656227.
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외부 링크

볼록한 선체의 관점에서 정리의 간결한 진술(PlanetMath)

[lp-1] Lovász, László; Plummer, M. D. (1986). Matching Theory. Annals of Discrete Mathematics. Vol. 29. North-Holland. ISBN 0-444-87916-1. MR 0859549.

[2] Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963). "Helly's theorem and its relatives". Convexity. Proc. Symp. Pure Math. Vol. 7. American Mathematical Society. pp. 101–179. 특히 p.109 참조

[3] Carathéodory, C. (1911). "Über den Variabilitätsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884–1940) (in German). 32 (1): 193–217[see p.200 bottom]. doi:10.1007/BF03014795. S2CID 120032616.

[4] Steinitz, Ernst (1913). "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme". J. Reine Angew. Math. 1913 (143): 128–175. doi:10.1515/crll.1913.143.128. S2CID 120411668.

[5] Leonard, I. Ed; Lewis, J. E. (2016). "3.3 Convex Hulls". Geometry of convex sets. Hoboken, New Jersey: Wiley Blackwell. ISBN 978-1-119-02266-4.

[6] Eggleston, H. G. (1958). Convexity. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511566172. ISBN 9780511566172. 40~41페이지를 참조하세요.

[7] Naszódi, Márton; Polyanskii, Alexandr (2021). "Perron and Frobenius Meet Carathéodory". The Electronic Journal of Combinatorics. 28 (3). arXiv:1901.00540. doi:10.37236/9996. S2CID 119656227.

[8] Bárány, Imre; Karasev, Roman (2012-07-20). "Notes About the Carathéodory Number". Discrete & Computational Geometry. 48 (3): 783–792. arXiv:1112.5942. doi:10.1007/s00454-012-9439-z. ISSN 0179-5376. S2CID 9090617.

[9] Adiprasito, Karim; Bárány, Imre; Mustafa, Nabil H.; Terpai, Tamás (2019-08-28). "Theorems of Carathéodory, Helly, and Tverberg without dimension". arXiv:1806.08725 [math.MG].

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[11] Montejano, Luis; Fabila, Ruy; Bracho, Javier; Bárány, Imre; Arocha, Jorge L. (2009-09-01). "Very Colorful Theorems". Discrete & Computational Geometry. 42 (2): 142–154. doi:10.1007/s00454-009-9180-4. ISSN 1432-0444.

[Mustafa_1300–1305-12] Mustafa, Nabil H.; Ray, Saurabh (2016-04-06). "An optimal generalization of the Colorful Carathéodory theorem". Discrete Mathematics. 339 (4): 1300–1305. doi:10.1016/j.disc.2015.11.019. ISSN 0012-365X.

[13] Meunier, Frédéric; Mulzer, Wolfgang; Sarrabezolles, Pauline; Stein, Yannik (2017-01-01), "The Rainbow at the End of the Line ? A PPAD Formulation of the Colorful Carathéodory Theorem with Applications", Proceedings of the 2017 Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), Proceedings, Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1342–1351, doi:10.1137/1.9781611974782.87, ISBN 978-1-61197-478-2, S2CID 5784949

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v t 볼록해석 및 변분해석
기본개념	볼록결합 볼록 함수 볼록 집합
토픽(목록)	초케 이론 볼록기하학 볼록계측공간 볼록최적화 이중성 라그랑주 승수 레장드르 변환 국소 볼록 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 켤레 오목 (닫힘) 케이- 대수적으로 적절한 사이비- 준) 볼록 함수 인벡스 함수 레장드르 변환 반연속 하위 도함수
주요결과(목록)	카라테오도리 정리 이클랜드 변분원리 펜첼-모로우 정리 펜첼-영 부등식 젠슨 부등식 에르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 Mazur's lemma 샤플리-포크맨 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록한 선체 (정규, 의사-) 볼록 집합 유효영역 에피그라프 하이포그래프 존 타원체 렌즈 래디얼 세트/대수 인테리어 조노토프
시리즈	볼록 시리즈 관련 ((cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하부) 이상 볼록, (Hx) 및 (Hwx)
이중성	이중계 이중성 갭 강한 이중성 약한 이중성
응용프로그램 및 관련	경제학에서의 볼록성

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