대수학의 역사

대수학은 본질적으로 산술의 계산과 유사하지만 비수적인 수학적 대상과 유사한 계산을 하는 것으로 간주될 수 있습니다.그러나 19세기까지 대수학은 본질적으로 방정식 이론으로 구성되어 있었습니다.예를 들어, 대수학의 기본 정리는 방정식 이론에 속하며, 오늘날에는 대수학에 속하지 않는 것으로 간주됩니다(실제로, 모든 증명은 대수적 성질이 아닌 실수의 완전성을 사용해야 합니다).

이 글은 수학의 별개의 영역으로서 대수학의 기원에서부터 출현에 이르기까지, 여기서 "대수학"이라고 불리는 방정식 이론의 역사를 설명합니다.

어원

"대수"라는 단어는 아랍어 단어 الجبر 알자브르에서 유래되었으며, 이것은 중세 페르시아 수학자 알콰리즈미 ī가 830년에 쓴 논문에서 비롯되었는데, 그의 아랍어 제목인 Kitāb al-mu ḫ타 ī ḥ르 f ğ사브 al-ṣ바르 wa-l-muqābala는 완성과 균형에 의한 계산에 관한 종합서로 번역될 수 있습니다.선형방정식과 이차방정식의 체계적인 풀이를 위한 논문.한 역사에 따르면, "[i]알자브르와 무카발라라는 용어가 무엇을 의미하는지는 확실하지 않지만, 일반적인 해석은 이전 번역에서 암시된 것과 유사합니다.'알자브르'라는 단어는 아마도 '복원' 또는 '완성'과 같은 것을 의미하고, 뺄셈항들이 방정식의 반대쪽으로 바뀐 것을 가리키는 것으로 보입니다. '무카발라'라는 단어는 '감소' 또는 '균형', 즉 방정식의 반대쪽에 있는 같은 용어들의 취소를 의미한다고 합니다.돈키호테에서 알콰리즈미의 시대가 한참 지난 후 스페인에서 아랍의 영향력이 발견되는데, 여기서 '알제브리스타'는 뼈 세터, 즉 '복원자'에 사용됩니다."^[1]이 용어는 알콰리즈미가 도입한 연산인 "축소"와 "균형"을 설명하는 데 사용되며, 차감된 항이 방정식의 반대쪽으로 바뀐 것, 즉 방정식의 반대쪽에 있는 같은 항의 취소를 말합니다.^[2]

대수학 단계

대수적 표현

대수학은 수학에서 현재 어디에나 존재하는 상징성을 항상 이용하지는 않았고, 대신 세 단계의 뚜렷한 단계를 거쳤습니다.기호 대수의 발전 단계는 대략 다음과 같습니다.^[3]

• 방정식이 완전한 문장으로 쓰여지는 수사적 대수학.예를 들어, ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ ${\displaystyle 1}$ = 2 ${\displaystyle x+1$=$2}$의 수사적 형식은 "사물+1은 2와 같다" 또는 "사물+1은 2와 같다"입니다.수사적 대수학은 고대 바빌로니아 사람들에 의해 처음 개발되었고 16세기까지 지배적이었습니다.

• 일부 상징이 사용되지만 상징 대수의 모든 특성을 포함하지는 않는 동기화 대수.예를 들어, 뺄셈은 방정식의 한 변 내에서 한 번만 사용될 수 있다는 제한이 있을 수 있는데, 이는 기호 대수학에서는 그렇지 않습니다.동기화된 대수적 표현은 디오판토스의 산술 (서기 3세기)에서 처음 나타났고, 브라마굽타의 브라마 슈푸타 싯단타 (7세기)가 뒤를 이었습니다.
• 완전한 상징이 사용되는 상징 대수.완전한 상징 대수학이 프랑수아 비에테(16세기)에 의해 개발되었지만, 이를 향한 초기 단계는 이븐 알-반나(13-14세기)와 알-칼라사디(15세기)와 같은 몇몇 이슬람 수학자들의 연구에서 볼 수 있습니다.나중에 르네 데카르트(17세기)는 현대적인 표기법(예: x의 사용)을 도입했고 기하학에서 발생하는 문제들이 대수학(카르트 기하학)의 관점에서 표현되고 해결될 수 있음을 보여주었습니다.

대수학에서 상징성의 사용 또는 결여와 마찬가지로 중요한 것은 다루어진 방정식의 정도였습니다.2차 방정식은 초기 대수학에서 중요한 역할을 했습니다. 그리고 대부분의 역사를 통해 현대 초기까지 모든 2차 방정식은 세 가지 범주 중 하나에 속하는 것으로 분류되었습니다.

• ${\displaystyle x^{2} + px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}= px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 양수입니다.$이$ 삼분법은 $p$ ${\displaystyle p}$ 및 $q$ ${\displaystyle q}$ 양의 형태 x 2 + p x + $q$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x^{2}$ + px + q = 0,}의 2차 방정식에 양의 근이 없기 때문에 발생합니다.

기호 대수학의 수사적 단계와 동기화 단계 사이에서, 대수 방정식이 기하학을 통해 해결되는 고전 그리스와 베다 인도 수학자들에 의해 기하학적 구성 대수가 개발되었습니다.예를 들어, A $영역$의 정사각형의 변을 구함으로써 형태 x ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x^{2$} = $A}$ 의 방정식을 풀었습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$

개념적 단계

대수적 사상을 표현하는 3단계 외에, 일부 저자들은 표현의 변화와 함께 발생한 대수학 발전에서 4단계의 개념적 단계를 인정했습니다.이 네 단계는 다음과 같습니다.^{[5][non-primary source needed]}

• 대수학의 개념이 대체로 기하학적인 기하학적 단계.이것은 바빌로니아인들로 거슬러 올라가 그리스인들로 이어졌고, 나중에 오마르 카얌에 의해 부활했습니다.
• 정적 방정식 해결 단계, 여기서 목표는 특정 관계를 만족시키는 숫자를 찾는 것입니다.기하학적 단계에서 벗어나려는 움직임은 디오판토스와 브라마굽타로 거슬러 올라가지만, 알콰리즈미가 대수 문제를 해결하기 위해 일반화된 알고리즘 과정을 도입하기 전까지 대수학은 결정적으로 정적 방정식 해결 단계로 이동하지 않았습니다.
• 동적 기능 단계(Dynamic function stage), 여기서 움직임은 기본 아이디어입니다.함수에 대한 아이디어는 샤라프 알드 ī 알투스 ī과 함께 나타나기 시작했지만, 대수학은 고트프리트 라이프니츠가 될 때까지 동적 함수 단계로 결정적으로 이동하지 않았습니다.
• 수학적 구조가 중심적인 역할을 하는 추상적 단계.추상대수학은 대체로 19세기와 20세기의 산물입니다.

바빌론

대수학의 기원은 수사적 대수방정식을 푸는 데 큰 도움을 준 위치수 체계를 개발한 ^[6]고대 바빌로니아 사람들로 거슬러 올라갈 수 있습니다.바빌로니아 사람들은 정확한 해에 관심이 없었고, 오히려 근사치에 관심이 있었기 때문에, 그들은 일반적으로 선형 보간법을 사용하여 중간값의 근사치를 계산했습니다.^[7]가장 유명한 태블릿 중 하나는 기원전 1900년에서 1600년 사이에 만들어진 플림프톤 322 태블릿인데, 이것은 피타고라스의 세 배에 대한 표를 제공하며 그리스 수학 이전의 가장 발전된 수학 중 일부를 나타냅니다.^[8]

바빌로니아 대수는 당시의 이집트 대수보다 훨씬 발전된 반면, 이집트인들은 주로 일차방정식에 관심을 가지고 있었고, 바빌로니아인들은 이차방정식과 입방방정식에 더 관심을 가지고 있었습니다.^[7]바빌로니아 사람들은 분수와 인자를 제거하기 위해 등분수와 인자를 제거하기 위해 등분수를 더하고 등분수를 곱할 수 있는 양을 곱할 수 있는 유연한 대수 연산을 개발했습니다.^[7]그들은 많은 단순한 형태의 인수분해,^[7] 양의 근을 갖는 3항 이차 방정식,^[9] 그리고 많은 3차 방정식에 익숙했지만, 일반적인 3차 방정식을 줄일 수 있었는지는 알려지지 않았습니다.^[10][10]

고대 이집트

고대 이집트의 대수학은 주로 일차방정식을 다루었고 바빌로니아 사람들은 이 방정식들이 너무 기초적이라고 생각했고 이집트 사람들보다 더 높은 수준으로 수학을 발전시켰습니다.^[7]

아흐메스 파피루스라고도 알려진 린드 파피루스는 기원전 1650년경 아흐메스에 의해 쓰여진 고대 이집트의 파피루스로, 그는 기원전 2000년에서 1800년 사이에 그가 연대를 측정한 초기의 작품에서 그것을 옮겨 썼습니다.^[11]그것은 역사학자들에게 알려진 가장 광범위한 고대 이집트의 수학 문서입니다.^[12]힌드 파피루스에는 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ = b ${\displaystyle$ x + $ax$=$b$$}$ 및 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle a}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ $x$=$c {\displaystyle x$+ $a$$,$ $c$ ${\displaystyle c}$가 $알려져$ $있고$ x${\displaystyle ,}$${\displaystyle }$${\displaystyle x},$ 즉 "aha" 또는 힙이라고 하는 것이 알 수 없는 문제가 포함되어 있습니다.그 해결책은 "허위의 방법", 즉 규칙적인 가성을 사용함으로써 도달할 수 있지만, 그럴 가능성은 없습니다. 먼저 특정 값을 방정식의 왼쪽에 대입하고, 그 다음에 필요한 산술 계산을 수행하고, 세 번째 결과는 방정식의 오른쪽에 비교하고,그리고 마침내 정확한 답은 비율의 사용을 통해서 찾아집니다.몇몇 문제에서 저자는 자신의 해결책을 "확인"함으로써 알려진 가장 초기의 간단한 증명 중 하나를 작성합니다.^[13]

그리스 수학

그리스인들이 대수학을 가지고 있지 않았다고 주장되기도 하지만, 이것은 논쟁의 여지가 있습니다.^[15]플라톤 시대에 그리스 수학은 급격한 변화를 겪었습니다.그리스인들은 용어들이 기하학적인 물체들의 측면들,^[16] 대개 선들로 표현되는 기하학적인 대수학을 만들었고,^[17] 그들은 이와 연관된 문자들을 가지고 있었고, 이 새로운 형태의 대수학으로 그들은 "영역의 적용"이라고 알려진 그들이 발명한 과정을 사용함으로써 방정식에 대한 해결책을 찾을 수 있었습니다.^[16]"영역의 적용"은 기하 대수학의 한 부분일 뿐이며 유클리드의 요소에서 철저히 다루고 있습니다.

기하 대수학의 예로는 선형 방정식 ${\displaystyle \mathrm{ax}}$ = ${\displaystyle \mathrm{bc}}$를 푸는 것이 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ax$ = $bc.}$$$ 고대 그리스인들은 이 방정식을 $a{\displaystyle :b}$ ${\displaystyle a:b}$와 $.{\displaystyle c:x.}$의 비율로 보는 것이 아니라 면적의 동일성으로 보는 것으로 풀었습니다.$$ 그리스인들은 길이 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$와 $c{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ c$,}$의 변으로 직사각형을 만들고, 직사각형의$$ 한 변을 길이 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a,}$로 확장한 다음 확장된$$ 직사각형을 완성하여 해결책인 직사각형의 한 변을 찾도록 했습니다.^[16]

블룸 오브 티마리다스

Iamblichus in Introductio arithmatica는 Tymaridas (c. 400 BCE – c. 350 BCE)가 동시 선형 방정식으로 작업했다고 말합니다.^[18]특히 그는 "티마리다스의 꽃" 또는 "티마리다스의 꽃"으로 알려진 당시 유명한 규칙을 만들었는데, 이 규칙은 다음과 같습니다.

$n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$ 양의 합과 특정 양을 포함하는 모든 쌍의 합이 주어지면 이 특정 양은 이 쌍의 합과 처음 주어진 합 사이의 차이의$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle 1/(n$ - 2$)}$과 같습니다.^[19]

또는 현대 표기법을 사용하여 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$$$ 알 수 없는 $n개$의 선형 방정식의 다음 체계의 해,^[18]

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle \vdots}$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}$

가,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1}}-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}}.$

Iamblichus는 이 형태에 있지 않은 일부 선형 방정식 체계가 어떻게 이 형태로 배치될 수 있는지 설명합니다.^[18]

유클리드

유클리드 (그리스어: ε ὐκλείδης)는 프톨레마이오스 1세 (기원전 323–283)의 통치 기간 동안 거의 확실하게 이집트의 알렉산드리아에서 번성했던 그리스 수학자입니다.그가 태어난^[20] 해나 출생지도 정해지지 않았고, 그가 사망한 상황도 정해지지 않았습니다.

유클리드는 "기하학의 아버지"로 여겨집니다.그의 원소들은 수학 역사상 가장 성공적인 교과서입니다.^[20]그는 역사상 가장 유명한 수학자 중 한 명임에도 불구하고, 새로운 발견은 그에게 기인한 것이 아닙니다. 오히려 그는 뛰어난 설명력으로 기억됩니다.^[22]그 원소들은, 때때로 생각되듯이, 현재까지의 모든 그리스 수학적 지식의 집합체가 아니며, 오히려 그것에 대한 기초적인 소개입니다.^[23]

요소들

유클리드의 원소로 대표되는 그리스인의 기하학적 연구는 특정 문제의 해결을 넘어 방정식을 서술하고 푸는 더 일반적인 체계로 공식을 일반화하는 틀을 제공했습니다.

제2권의 원소는 14개의 명제를 포함하고 있는데, 유클리드 시대에는 기하 대수학을 하는 데 매우 중요했습니다.이 명제들과 그 결과는 우리의 현대 상징 대수학과 삼각법의 기하학적 동치입니다.^[15]오늘날 현대 기호 대수를 사용하여 기호가 알려진 크기와 알려지지 않은 크기(즉, 숫자)를 나타내도록 한 다음 대수 연산을 적용하는 반면 유클리드의 시간 크기는 선분으로 간주되었고 기하학의 공리 또는 정리를 사용하여 결과를 추론했습니다.^[15]

많은 기본적인 덧셈과 곱셈 법칙이 기하학적으로 요소에 포함되거나 증명됩니다.예를 들어, 2권의 명제 1은 다음과 같이 말합니다.

두 개의 직선이 있고 그 중 하나가 임의의 수의 세그먼트로 절단된 경우, 두 개의 직선이 포함하는 직사각형은 절단되지 않은 직선과 각 세그먼트가 포함하는 직사각형과 같습니다.

그러나 이것은 (왼쪽) 분포 법칙의 기하학적 버전인 $a{\displaystyle }$(${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle c}$+ ${\displaystyle d}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$+ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(b$+ c + d) = $ab$+ $ac$+ $ad}$에 지나지 않습니다$.$ 그리고 요소의 V와 VII 책에는 곱셈에 대한 치환법과 연관법이 나와 있습니다.

많은 기본 방정식들도 기하학적으로 증명되었습니다.예를 들어, Book II의 명제 5는 a ${\displaystyle 2^{}}$- b ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle (a}$+ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (a}$- b${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle a^{2}$ - b$^{2$}= (a + $b$) (a - $b),}$이고, Book II의 명제 4는$$(${\displaystyle a}$+ b )${\displaystyle 2^{}}$ = a ${\displaystyle 2^{}}$+ 2 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2임}^{}}$을 증명합니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (a$+ b$)^{2$$=a^{2}+2ab+b^{2}}$

게다가, 많은 방정식에 주어진 기하학적인 풀이들도 있습니다.예를 들어, Book II의 명제 6은 2차 방정식 ${\displaystyle \mathrm{ax}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ $2$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle ax$+ x$^{2$)의 해를 제공합니다.}$=$${\displaystyle {}^{}}$$^{2}}$ 그리고 책 II의 명제 11은 x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{}}$ $=$ a ${\displaystyle 2^{}}$에 대한 $해$를 제공합니다$.$ {\$displaystyle ax+$x^{$2$$}=a^{2}}$

데이터.

데이터는 유클리드가 알렉산드리아의 학교에서 사용하기 위해 쓴 작품이며, 이 책은 원소의 첫 여섯 권의 책에 동반된 책으로 사용되기 위한 것이었습니다.이 책에는 약 15개의 정의와 95개의 진술이 포함되어 있는데, 그 중 대수적인 규칙이나 공식의 역할을 하는 약 24개의 진술이 있습니다.^[26]이러한 문장 중 일부는 2차 방정식의 해와 기하학적으로 동등합니다.^[26]예를 들어, 데이터에는 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$ $d$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle {}^{}}$a ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = 0 ${\displaystyle dx^{2}-ad$ x + $b^{2}c$=$0}$과 익숙한 바빌로니아 방정식 x ${\displaystyle y}$ = a ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle x}$± ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle xy$=$a^{2}, x\pm$y = b$.}$에 대한 해가 들어 있습니다.

원추형 단면

원뿔 단면은 원뿔과 평면의 교차점에서 나오는 곡선입니다.원뿔형 단면에는 타원형(원 포함), 포물선 및 하이퍼볼라의 세 가지 주요 유형이 있습니다.원추형 단면은 메나에크무스^[27](기원전 380년경 – 기원전 320년경)에 의해 발견된 것으로 알려져 있으며, 원추형 단면을 다루는 것은 각각의 방정식을 다루는 것과 동일하기 때문에, 그것들은 입방정 방정식과 다른 고차 방정식과 같은 기하학적 역할을 했습니다.

메나에크무스는 포물선에서 방정식 $y$ ${\displaystyle 2^{}}$ = l ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y^{2$}=$lx}$가 성립한다는 것을 알고 있었고, 여기서 $l$ ${\displaystyle l}$은 latus rectum이라고 불리는 상수임을 알고 있었습니다.그는 원추형 단면과 다른 것들의 이러한 특성들을 유도한 것으로 보입니다.이 정보를 이용하여 2개의 포물선이 교차하는 점, 즉 입방정 방정식을 푸는 것과 동등한 해를 풀면서 정육면체의 중복 문제에 대한 해결책을 찾을 수 있었습니다.^[28]

에우토키우스는 그가 입방정식을 풀기 위해 사용한 방법이 디오니소도로스(기원전 250년–기원전 190년) 때문이라고 알려주었습니다.디오니소도로스는 직사각형 쌍곡선과 포물선의 교집합을 통해 입방체를 풀었습니다.이것은 아르키메데스의 '구와 원기둥'에서 나타난 문제와 관련이 있었습니다.원추형 단면은 수천 년 동안 그리스, 후에 이슬람과 유럽의 수학자들에 의해 연구되고 사용되었습니다.특히 페르가의 유명한 원뿔대의 아폴로니우스는 다른 주제들 중에서도 원뿔대 부분을 다루고 있습니다.

중국

중국 수학은 최소 기원전 300년까지 거슬러 올라가는데, 일반적으로 가장 오래된 중국 수학 문서 중 하나로 간주됩니다.^[29]

수학예술 9장

기원전 250년경에 쓰여진 Chiu-chang suan-shu 또는 수학예술 9장은 중국의 모든 수학책들 중에서 가장 영향력 있는 책들 중 하나이고 그것은 약 246개의 문제들로 구성되어 있습니다.8장에서는 5개의 미지수에서 4개의 방정식을 푸는 문제를 다루면서, 양수와 음수를 사용하여 결정과 불확정의 동시 선형 방정식을 푸는 문제를 다룹니다.^[29]

원 측정의 Sea-Mirror

T'e-yuan hai-ching 또는 원 측정의 Sea-Mirror는 Li Zhi (혹은 Li Ye) (1192–1279 CE)에 의해 쓰여진 약 170개의 문제 모음집입니다.그는 그의 방정식 풀이 방법을 설명하지는 않았지만, 6개 정도의 높은 정도의 방정식을 풀기 위해 팬파, 즉 호너의 방법을 사용했습니다.^[30]

9절 수학 논문

슈슈추창은 부유한 총독이자 장관인 친추샤오 (1202년경 – 1261년경)에 의해 쓰여졌습니다.현재 중국어 잔재 정리라고 불리는 동시 합동 풀이 방법의 도입으로 중국어 불확정해석학에서^{[clarification needed]} 최고점을 찍게 되었습니다.^[30]

매직 스퀘어

가장 초기에 알려진 마법의 사각형은 중국에서 나타났습니다.^[31]아홉 장에서 저자는 선형 방정식의 계수와 상수 항을 마법 사각형(즉, 행렬)에 배치하고 마법 사각형에 대한 열 축소 작업을 수행하여 동시 선형 방정식 시스템을 해결합니다.^[31]초기에 알려진 3개보다 큰 순서의 마법 사각형은 10개만큼 높은 순서의 마법 사각형으로 작업한 양희(1261년경–1275년)에 기인합니다.^[32]

4요소의 귀한 거울

싸위안위치엔 《四元玉鑒》, 혹은 4원소의 소중한 거울은 1303년에 Chu Shi-chieh에 의해 쓰여졌고 그것은 중국 대수학 발전의 정점을 찍습니다.하늘, 땅, 사람, 물질이라고 불리는 네 원소는 그의 대수 방정식에서 알려지지 않은 네 가지 양을 나타냅니다.Ssy-yuan yü-chien은 동시 방정식과 14개 정도의 높은 정도의 방정식을 다룹니다.저자는 이 방정식들을 풀기 위해 오늘날 호너의 방법이라고 불리는 fan fa의 방법을 사용합니다.^[33]

프레셔스 미러는 둥근 영점 기호를 사용한 산술 삼각형(파스칼의 삼각형)의 도표로 열리지만, 추시처는 그것에 대한 신용을 부인합니다.유사한 삼각형이 양희의 작품에 나타나지만, 0의 기호는 없습니다.^[34]

프레셔스 미러에는 증명 없이 주어진 많은 합산 방정식이 있습니다.몇 가지 합은 다음과 같습니다.^[34]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

디오판토스

디오판토스는 서기 250년경에 살았던 헬레니즘 수학자였지만, 이 날짜의 불확실성이 너무 커서 1세기 이상 떨어져 있을지도 모릅니다.그는 산술을 쓴 것으로 유명한데, 산술은 원래 13권이었지만 그 중 처음 6권만이 남아있습니다.^[35]산술은 대수로 산술 문제를 해결하는 현존하는 가장 초기의 연구입니다.그러나 디오판토스는 그 이전에 존재했던 대수학 방법을 발명하지 않았습니다.^[36]대수학은 수행자들에 의해 구두로 연습되고 확산되었으며 디오판토스는 산술에서 문제를 해결하는 기술을 선택했습니다.^[37]

현대 대수 다항식은 지수화, 스칼라 곱셈, 덧셈, 뺄셈으로 이루어진 변수 x의 선형 조합입니다.디오판토스의 대수학, 중세 아랍 대수학과 유사한 것은 연산이 존재하지^[38] 않는 다른 종류의 물체들의 집합입니다.

예를 들어 디오판토스 다항식 "64' 역수, 25개의 거듭제곱은 9개의 단위가 부족함",현대적 표기법에서 ${\displaystyle 6\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 4{}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle 9}${\$displaystyle$ 6${\tfrac {1}{4}}x^{1}$ + $25x^{2}-9}$는 2차 유형의 개체가 9개 없는 2차 유형의 개체가 25개인 ${\displaystyle 1차\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{유형}}{}}$의 개체 $61{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$개$$ 모음입니다.^[39]

중세 아랍어 대수학과 유사하게 디오판토스는 대수학으로 문제를 해결하기 위해 세 단계를 사용합니다.

1) 알 수 없는 것이 명명되고 수식이 설정됩니다.

2) 방정식은 표준 형태로 단순화됩니다(아랍어로는 al-jabr와 al-muqābala).

3) 단순 방정식이 풀립니다^[40].

디오판토스는 산술의 현존하는 부분에서 알콰리즈미와 같이 6가지 유형의 방정식 분류를 제공하지 않습니다.그는 나중에 세 개의 항 방정식에 대한 해를 줄 것이라고 말하므로, 이 부분의 작업은 그냥 사라진^[37] 것일 수도 있습니다.

산술학에서 디오판토스는 미지의 숫자에 대한 기호와 숫자, 관계, 연산의 거듭제곱에 대한 약어를 사용한 최초의 사람입니다.^[41] 그래서 그는 현재 싱코페티드 대수라고 알려진 것을 사용했습니다.디오판토스 싱코페이트 대수와 현대 대수 표기법의 가장 큰 차이점은 전자가 연산, 관계, 지수에 대한 특별한 기호가 없다는 것입니다.^[42]

예를 들어, 우리가 쓰는 것은

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

로 다시 쓸 수 있는

${\displaystyle \left ({x^{3}}1+{x}10\right)-\left ({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

디오판토스의 동기식 표기법으로 다음과 같이 쓰여질 것입니다.

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon}}{\overline {\alpha}}\;\zeta {\overline {\iota}}\;\,\pitchfork \;\delta ^{\upsilon}{\overline {\beta}}\;\mathrm {M}{\overline {\alpha}},\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon}}}$

여기서 기호는 다음을 나타냅니다.^[43][44]

기호.	그것이 나타내는 것
${\displaystyle {\overline {\alpha}}}$	1
${\displaystyle {\overline {\beta }}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon}}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota}}}$	10
ἴσ	"equals"(ἴσος의 줄임말)
${\displaystyle \pitchfork}$	는 ⋔ ${\displaystyle$\pitchfork$}$ 뒤에 오는 모든 것을 raction까지 뺀 값을 나타냅니다.
${\displaystyle \mathrm {M}}$	제 0제곱(즉, 항등식)
${\displaystyle \zeta}$	알 수 없는 양(첫 번째 거듭제곱으로 상승한$$ 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x,}$이기 때문에 "첫 번째 거듭제곱"으로 간주될 수 있음)
${\displaystyle \Delta^{\upsilon}}$	그리스어 δύναμ ις로부터 힘 또는 힘을 의미하는 두번째 힘
${\displaystyle \mathrm {K}^{\upsilon}}$	세번째 힘, 그리스어 κύβ ος로부터, 정육면체를 의미합니다.
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon}\Delta }$	제4강
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon}}$	제5강
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon}\mathrm {K} }$	제6강

현대 표기법과는 달리 계수는 변수 뒤에 오고 그 덧셈은 항들의 병치로 표현됩니다.디오판토스의 싱코페이트 방정식을 현대적인 기호 방정식으로 문자 그대로 번역하면 다음과 같습니다.^[43]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

명확하게 할 때, 만약 현대의 괄호와 더하기를 사용한다면, 위의 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:^[43]

${\displaystyle \left ({x^{3}}1+{x}10\right)-\left ({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$

그러나 제프리 오크와 장 크리스티아니디스는 "수사적 대수", "합성 대수", "상징 대수"의 구분을 구식으로 간주합니다.문제는 더스트 보드에서 약간의 표기법을 사용하여 해결했지만 책에서는 해결책이 "수사적 스타일"로 쓰여졌습니다.^[45]

산술은 또한 다음과 같은 항등식을 이용합니다.^[46]

${\displaystyle(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$

인디아

인도 수학자들은 수 체계에 대한 연구에 적극적이었습니다.인도의 가장 오래된 수학 문서는 기원전 1천년 중반(기원전 6세기경)으로 거슬러 올라갑니다.^[47]

인도 수학에서 반복되는 주제는 다른 것들 중에서 선형 방정식과 이차 방정식, 간단한 멘세이션, 피타고라스 삼중을 결정하고 불확정하는 것입니다.^[48]

아리아바타

아리아바타 (476–550)는 아리아바티야를 저술한 인도 수학자입니다.그 안에서 그는 규칙을 제시했고,^[49]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

그리고.

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

브라마 슈푸타 싯단타

브라마굽타(Fl. 628)는 브라마 슈푸타 싯단타를 저술한 인도 수학자였습니다.브라마굽타는 그의 연구에서 양의 근과 음의 근 모두에 대한 일반적인 2차 방정식을 해결합니다.^[50]불확정한 분석에서 브라마굽타는 피타고라스 삼각형 $m{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{12}{}}$(${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle n}$ -${\displaystyle }$n${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle$m, ${\frac {1}{2}}\left({m^{$${\displaystyle 2}$$} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{12<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; m,\{\backslash frac\; \{1\}\{2\}\}\backslash left(\{m^\{2\}\; \backslash over\; n\}-n\backslash right),\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline\; mw-invert"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/92ba7aee8fbdb90edf4dfbd25cf4f1337c954d22"\; style="vertical-align:\; -2.505ex;\; width:18.081ex;\; height:6.343ex;">}}{}}$(${\displaystyle \frac{{m2\mathrm{}}^{}}{}}$ n${\displaystyle }$+ n${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over$ n$}+n\right},$ 이는$$ 브라마굽타가 익숙했을 수 있는 오래된 바빌로니아 규칙의 변형된 형태입니다.^[51]그는 $a$, b, {\$displaystyle a,$b$,$$c$ ${\$displaystyle a, b, c ${\$$displaystyle c}$가 정수인 =$c에 의해$선형 디오판토스 방정식 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$에 대한 일반적인 해를 처음으로 제시했습니다.불확정한 방정식에 단 하나의 해를 준 디오판토스와는 달리, 브라마굽타는 모든 정수 해를 주었다; 그러나 브라마굽타가 디오판토스와 같은 예들 중 일부를 사용했다는 것은 몇몇 역사가들이 브라마굽타의 업적에 그리스의 영향을 줄 가능성, 또는 적어도 바빌로니아의 공통적인 자료를 고려하도록 이끌었습니다.^[52]

디오판토스의 대수학과 마찬가지로, 브라마굽타의 대수학도 동기화되었습니다.덧셈은 숫자를 나란히 놓아서, 뺄셈은 밑줄 위에 점을 놓아서, 나눗셈은 우리의 현대 표기법과 비슷하지만 막대가 없는 배당 아래에 두어서 표시했습니다.곱셈, 진화, 미지의 양은 적절한 용어의 축약으로 표현되었습니다.^[52]만약 있다면, 이 싱커페이션에 대한 그리스의 영향의 정도는 알려지지 않았고 그리스와 인도의 싱커페이션 둘 다 공통적인 바빌로니아의 출처로부터 파생되었을 가능성이 있습니다.^[52]

바스카라 2세

바스카라 2세 (1114–c. 1185)는 12세기의 선두적인 수학자였습니다.대수학에서 그는 펠 방정식의 일반적인 해를 제시했습니다.^[52]그는 결정적이고 불확정적인 일차방정식과 이차방정식을 다루는 문제를 포함하는 릴라바티와 비자-가니타의 저자이며, 피타고라스의 세 배로^[48] 정확한 문장과 근사문을 구별하지 못합니다.^[53]릴라바티와 비자-가니타의 많은 문제들은 다른 힌두 원천들로부터 파생된 것이고, 그래서 바스카라는 불확실한 분석을 다루는 데 있어 최선을 다하고 있습니다.^[53]

Bhaskara는 색상에 대한 이름의 첫 번째 기호를 알 수 없는 변수의 기호로 사용합니다.예를 들어, 오늘 우리가 쓰는 것은

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

바스카라는 다음과 같이 썼을 것입니다.

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya2 ru 8

.

스미야 1루 9

여기서 ya는 검은색을 뜻하는 단어의 첫 음절을 나타내고 ru는 종의 단어에서 따왔습니다.숫자 위의 점은 뺄셈을 나타냅니다.

이슬람 세계

이슬람 아랍 제국의 1세기는 아랍인들이 새롭게 정복한 제국과 함께 아직 지적인 추진력을 얻지 못했고 세계 다른 지역에서의 연구가 희미해졌기 때문에 과학적인 성과나 수학적인 성과는 거의 없었습니다.8세기 후반, 이슬람교는 문화적 각성을 하게 되었고, 수학과 과학에 대한 연구가 증가했습니다.^[54]무슬림 아바스 칼리프 알 마문(809–833)은 아리스토텔레스가 그에게 나타난 꿈을 꿨다고 하며, 그 결과 알 마문은 프톨레마이오스의 알마게스트와 유클리드의 요소를 포함한 가능한 많은 그리스 작품들로 아랍어 번역을 만들라고 명령했습니다.그리스 작품들은 두 제국이 불안한 평화를 유지했기 때문에, 조약의 대가로 비잔틴 제국에 의해 무슬림들에게 주어졌습니다.^[54]많은 그리스 작품들은 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니오스, 프톨레마이오스, 에우토키우스가 쓴 책들을 번역한 타비트 이븐 쿠라 (826–901)에 의해 번역되었습니다.^[55]

아랍 수학자들은 대수학을 독립적인 학문으로 확립했고, 그것에 "대수학"(al-jabr)이라는 이름을 붙였습니다.그들은 초등학교 형태로 그리고 그 자체를 위해 대수학을 가르친 최초의 사람들이었습니다.^[56]아랍 대수학의 기원에 대해서는 세 가지 이론이 있습니다.첫 번째는 힌두교의 영향력을 강조하고, 두 번째는 메소포타미아나 페르시아-시리아의 영향력을 강조하고, 세 번째는 그리스의 영향력을 강조합니다.많은 학자들은 세 가지 출처가 모두 합쳐진 결과라고 믿고 있습니다.^[57]

아랍인들은 집권 기간 내내 수사적 대수학을 사용했는데, 그들은 종종 숫자조차 단어로 철자를 적었습니다.아랍인들은 결국 철자가 적힌 숫자(예: 22)를 아라비아 숫자(예: 22)로 대체했지만, 아랍인들은 13세기에 기호 대수를 개발한 이븐 알-반나의 업적 이후 15세기에 아부 알-하산 이븐 알 ī 알-칼라사드 ī의 업적이 있을 때까지 싱코페이트나 기호 대수를 채택하거나 개발하지 않았습니다.

알자브르왈무카발라

대수학의 아버지 혹은 창시자로 묘사되는 무슬림 페르시아 수학자 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미 ī는 알 마문이 세운 바그다드의 "지혜의 집"(Bait al-Hikma)의 교수였습니다.서기 850년경에 사망한 알콰리즈미는 수학적이고 천문학적인 작품을 여섯 편 이상을 썼습니다.^[54]알콰리즈미의 가장 유명한 책 중 하나는 알자브르 바엘 무카발라 또는 완성과 균형에 의한 계산에 관한 포괄적인 책이며, 다항식을 2차까지 풀 수 있는 상세한 설명을 제공합니다.^[64]이 책은 또한 "감소"와 "균형"이라는 근본적인 개념을 소개했는데, 이는 감산된 항들이 방정식의 반대쪽으로 바뀐다는 것, 즉 방정식의 반대쪽에 있는 같은 용어들의 취소를 지칭합니다.이것은 알콰리즈미가 원래 알자브르라고 설명한 작전입니다.^[65]"대수"라는 이름은 그의 책 제목에 있는 "알자브르"에서 유래되었습니다.

R. Rashed와 Angela Armstrong은 다음과 같이 말합니다.

"알콰리즈미의 본문은 바빌로니아의 판본뿐만 아니라 디오판토스의 산술과도 구별되는 것을 알 수 있습니다.더 이상 해결해야 할 일련의 문제가 아니라, 조합들이 방정식에 대해 가능한 모든 프로토타입을 제공해야 하는 원시 용어로 시작하는 설명이 연구의 진정한 대상을 명시적으로 구성합니다.한편, 방정식의 개념은 처음부터 나타나며, 단순히 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 것이 아니라 무한한 종류의 문제를 정의하도록 특별히 요구되는 한 일반적인 방식으로 말할 수 있습니다."^[66]

알자브르는 6개의 장으로 나뉘는데, 각각 다른 형태의 공식을 다룹니다.Al-Jabr의 첫 번째 장은 제곱이 자신의 근과 같은 방정식$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2$}= $bx\right),}$ 두 번째 장은 수 $({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle c}$),${\displaystyle \left(ax^{2$}= c$\right),}$ 세 번째 장은 수$$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \left(bx$= c$\right),}$$$ 네 번째 장에서는 제곱과 수와 같은 근$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ $=$ ${\displaystyle c),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}$ + b$x$ ${\displaystyle =}$ c$\right),}$ 다섯 번째 장에서는 제곱과 수와 같은 근$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$),${\displaystyle \left(ax^{2}$ + c ${\displaystyle =}$ $bx\right),}$ 여섯 번째 장과 마지막 장에서는 제곱과 같은 근과 수$({\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$를 다룹니다${\displaystyle .}$${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right)입니다.$$}$^[67]

Al-Jabr에서, Al-Khwarizmi는 기하학적 증명을 사용하고, $그$는 근 x = 0, {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ x =$0,}$을 인식하지 못하고 양의 근만을 다룹니다.그는 또한 판별자가 양성이어야 한다는 것을 인식하고 절차를 정당화하지는 않지만 제곱을 완성하는 방법을 설명했습니다.^[69]그리스의 영향은 알 자브르의 기하학적 토대와^[57][70] 헤론에서 가져온 한 가지 문제로 알 수 있습니다.^[71]그는 문자 다이어그램을 사용하지만 그가 기하학적으로 표현할 수 있는 것을 모수로 표현할 방법이 없었기 때문에 모든 방정식의 계수는 특정한 숫자입니다.^[17]

알콰리즈미는 10세기 이전에 아랍인들에게 알려지게 된 디오판토스의 산술을 몰랐을 가능성이 높습니다.^[72][73]그리고 알콰리즈미는 브라마굽타의 작품을 알고 있었을 가능성이 높지만, 알자브르는 그 숫자들이 단어로 철자가 쓰여질 정도로 완전히 수사적입니다.^[72]예를 들어, 우리가 쓰는 것은

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

디오판토스는 다음과^[74] 같이 썼을 것입니다.

${\displaystyle \Delta^{\Upsilon}{\overline {\alpha}}\varsigma{\overline {\iota}}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta}}}$

그리고 알콰리즈미는 다음과^[74] 같이 썼을 것입니다.

하나의 제곱과 열 개의 뿌리가 같은 삼십구 디셈에 해당합니다. 즉, 제곱이 열 개의 뿌리로 증가하면 삼십구 개가 되는 것은 무엇입니까?

혼합방정식의 논리적 필요성

'압드 알함 ī드 이븐 투르크는 혼합 방정식의 논리적 필요성이라는 제목의 원고를 저술했는데, 이 원고는 알콰르지미의 알 자브르와 매우 유사하며 알 자브르와 비슷한 시기에 또는 더 일찍 출판되었습니다.원고는 Al-Jabr에서 볼 수 있는 것과 정확히 동일한 기하학적 증명을 제공하고, 한 경우에는 Al-Jabr에서 볼 수 있는 것과 동일한 예를 제공하며, 판별자가 음수이면 2차 방정식에 해가 없다는 기하학적 증명을 제공하여 Al-Jabr을 능가합니다.^[73]이 두 연구의 유사성으로 인해 일부 역사학자들은 아랍 대수학이 알콰리즈미와 압드 알하미드 시대에 잘 발전되었을 수 있다고 결론 내렸습니다.^[73]

아부 카밀 알카라지

아랍 수학자들은 비이성적인 수를 대수적인 대상으로 취급했습니다.^[75]이집트의 수학자 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람 (c. 850–930)은 비합리적인 수 (종종 제곱근, 세제곱근 또는 네제곱근 형태)를 2차 방정식의 해 또는 방정식의 계수로 받아들인 최초의 사람이었습니다.^[76]그는 또한 세 개의 미지의 변수로 세 개의 비선형 연립 방정식을 처음으로 풀었습니다.^[77]

알 카르키라고도 알려진 알 카라지(953–1029)는 아부 알 와파 알 부잔 ī(940–998)의 후계자였으며, 그는 a ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle n^{}}$+ b ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ = c ${\displaystyle \mathrm{형식}}$의 방정식에 대한 최초의 수치 해를 발견했습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ax^{2n}$ + $bx^{n$}= $c.}$ 알 카라지는 양의 근만을 고려했습니다.그는 또한 기하학적 연산으로부터 대수학을 자유롭게 하고 오늘날 대수학의 핵심에 있는 산술 연산의 유형으로 대체한 최초의 사람으로 여겨집니다.대수학과 다항식에 대한 그의 연구는 다항식을 조작하기 위한 산술 연산에 대한 규칙을 제공했습니다.수학의 역사학자 F.엑스트라잇 뒤 파흐리의 cke케(Woepcke)는 알카라지를 "대수적 미적분학 이론을 최초로 도입한 사람"이라고 칭송했습니다.이로부터 알카라지는 이항계수와 파스칼의 삼각형을 분석했습니다.^[79]

오마르 카얌, 샤라프 알드 ī 알투시, 알카시

오마르 카얌 (1050년경–1123년)은 알 자브르를 넘어 3차 방정식을 포함하는 대수학에 관한 책을 썼습니다.^[80]오마르 카얌(Omar Khayyam)은 2차 방정식에 산술해와 기하해를 모두 제공했지만, 그는 산술해가 불가능하다고 잘못 생각했기 때문에 일반적인 3차 방정식에만 기하해를 제공했습니다.^[80]교차하는 원뿔을 사용하여 입방정계 방정식을 푸는 그의 방법은 메나에크무스, 아르키메데스, 이븐 알 하이탐(알하젠)에 의해 사용되었지만 오마르 카얌은 모든 입방정계 방정식을 양의 근으로 다루는 방법을 일반화했습니다.^[80]그는 긍정적인 뿌리만을 고려했고 3도를 넘지 않았습니다.^[80]그는 또한 기하학과 대수학 사이의 강한 관계를 보았습니다.^[80]

12세기에 샤라프 알드 ī 알투스 ī (1135–1213)는 양의 해를 가진 8종류의 입방정식과 양의 해를 가지지 않을 수도 있는 5종류의 입방정식을 다룬 알무아달랏 (방정식에 관한 논문)을 썼습니다.그는 입체 방정식의 근을 수치적으로 근사화하기 위해 후에 "루피니 호너 방법"이라고 알려진 것을 사용했습니다.그는 또한 양의 해를 갖지 않을 수도 있는 입방정 방정식을 풀기 위해 곡선의 극대와 극소의 개념을 개발했습니다.^[81]그는 입체 방정식의 판별의 중요성을 이해하고 특정 유형의 입체 방정식에 대한 대수적 해를 찾기 위해 카르다노 공식의^[82] 초기 버전을 사용했습니다.Roshdi Rashed와 같은 일부 학자들은 Sharaf al-Din이 3차 다항식의 도함수를 발견하고 그것의 중요성을 깨달았다고 주장하는 반면, 다른 학자들은 그의 해를 유클리드와 아르키메데스의 아이디어와 연결합니다.^[83]

샤라프 알 딘은 함수의 개념도 개발했습니다.^{[citation needed]}예를 들어 식 $x$ ${\displaystyle 3^{}}$+ ${\displaystyle d}$ = ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle x^{3}$ + d = $bx^{2}}$를 분석할 때 그는 식의 $형태$를 x${\displaystyle 2^{}}$ (${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -}$x ) = ${\displaystyle d}${\$displaystyle x^{2}$ (b - x) =$d$}로 바꾸는 것으로 시작합니다$.$ 그는 그 다음 방정식이 해를 갖는지의 문제는 왼쪽의 "함수"가 d {\$displaysty$" 값에 도달하는지의 여부에 달려 있다고 말합니다$.$$led}.$이를 확인하기 위해 함수의 최대값을 찾습니다.그는 $x$ = 2 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle$x = {\$frac {2b}{3}}$일 때 최대값이 발생한다는 것을 증명하며$,$ 함수 값 4 b 3 ${\displaystyle \frac{27}{}}$ ${\frac {4b^{3}}{27}}$를 제공합니다$.$ 그런 다음 샤라프 알 딘은 이 $값$이 d$${\$displaystyle$ d$\}$보다 작으면 양의 해가 존재하지 않으며, $d${\$displaystyle d}$과 같으면 하나의 해가 존재한다고 말합니다$.$$ion{\displaystyle }$at ${\displaystyle \frac{x}{}}$ = ${\displaystyle \frac{}{}}$b 3 {\$displaystyle$ x = ${\frac {2b}{$3$\}\};$$$및 d {\displaystyle $d}$보다$크면$ 0 {\displaystyle $0}$과 2$$b 3${\frac${2b}{$3}$ 사이의 솔루션과 2 ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\frac {2b}{3}$과 $b$ ${\displaystyle b}$ 사이의 솔루션이 있습니다$.$

15세기 초, 잠쉬 ī드 알 카쉬 ī은 방정식 $x$ ${\displaystyle P^{}}$ -${\displaystyle {}^{}N}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$^{P}-N$=$0}$을 수치적으로 $해결$하여 N$${\$displaystyle N}$의 근을 찾는 뉴턴 방법의 초기 형태를 개발했습니다$.$ 알 카쉬 ī은 또한 십진 분율을 개발했고 그것을 스스로 발견했다고 주장했습니다.그러나 J. Lennart Bergrenn은 10세기 초 바그다디의 수학자 Abu'l-Hasan al-Uqlidisi에 의해 십진 분율이 5세기 전에 처음 사용되었기 때문에 그가 잘못 알고 있었다고 지적합니다.^[77]

알하사르, 이븐 알반나, 알칼라사디

12세기 모로코 출신의 이슬람 상속법학 전문 수학자 알 하사르(Al-Hassarr)는 분자와 분모가 가로 막대로 구분되는 분수에 대한 현대적인 기호 수학적 표기법을 개발했습니다.13세기 피보나치의 작품에서 이와 같은 분수 표기법이 곧 나타났습니다.^[86]

아부 알 하산 이븐 알 ī 알 칼라사드 ī (1412–1486)는 중세 아랍의 마지막 주요 대수학자로, 그는 고대 디오판토스와 브라마굽타 이후 처음으로 대수적 표기법을 시도했습니다.그러나 그의 전임자들의 동기화된 표기법은 수학적 연산에 대한 기호가 부족했습니다.^[42]알-칼라사디는 "숫자 대신 문자를 사용함으로써"^[87] 대수적 상징성의 도입을 향한 첫 걸음을 내디뎠고 "짧은 아랍어 단어들 또는 단지 그들의 첫 글자들을 수학적 상징으로 사용함으로써" 했습니다.^[87]

유럽과 지중해 지역

히파티아의 죽음이 알렉산드리아 도서관의 폐쇄를 수학의 중심지로 알리는 것처럼, 보에티우스의 죽음도 서로마 제국의 수학의 종말을 알리는 것입니다.아테네에서 약간의 작업이 이루어졌지만, 529년 비잔틴 황제 유스티니아누스가 이교도 철학 학교들을 폐쇄하면서 그것은 끝이 났습니다.529년은 이제 중세 시대의 시작으로 여겨지고 있습니다.학자들은 서양에서 좀 더 친절한 동양, 특히 페르시아 쪽으로 달아났고, 그곳에서 그들은 Chosroes 왕 밑에서 피난처를 찾았고 "유배지에 아테네 아카데미"라고 불리는 것을 설립했습니다.^[88]유스티니아누스와 맺은 조약에 따라, 초스로스는 결국 학자들을 동방 제국으로 돌려보냈습니다.암흑기 동안, 유럽의 수학은 고대 논문들에 대한 해설들로 주로 구성된 수학 연구로 그 최하에 있었습니다; 그리고 이 연구의 대부분은 비잔틴 제국을 중심으로 이루어졌습니다.중세 시대의 끝은 1453년 콘스탄티노플이 터키인들에게 함락되는 것으로 설정되어 있습니다.

중세 후기

12세기에는 아랍어에서 라틴어로의 번역이 쇄도했고 13세기에는 유럽의 수학이 다른 나라의 수학과 경쟁하기 시작했습니다.13세기에 피보나치에 의한 입방정 방정식의 해는 유럽 대수학에서 부활의 시작을 보여줍니다.

15세기 이후 이슬람 세계가 쇠퇴하면서 유럽 세계는 상승하고 있었습니다.그리고 여기서 대수학이 더욱 발전되었습니다.

기호 대수

이 절에는 15세기보다 더 최근의 대수학에서 가장 중요한 결과에 대한 정보가 누락되어 있으며 완전히 무시됩니다. 이 정보를 포함하도록 섹션을 확장해 주십시오. 자세한 내용은 토크 페이지에서 확인하실 수 있습니다.(2017년 1월)

산술 연산에 대한 현대적인 표기법은 15세기 말에서 16세기 초 사이에 요하네스 위드만과 미하엘 스티펠에 의해 소개되었습니다.16세기 말, 프랑수아 비에테(François Viète)는 불확실하거나 알려지지 않은 숫자를 나타내기 위해 현재 변수라고 불리는 기호를 도입했습니다.이것은 숫자인 것처럼 상징적인 표현을 가진 컴퓨팅으로 구성된 새로운 대수를 만들었습니다.

대수학의 발전에서 또 다른 중요한 사건은 16세기 중반에 개발된 입방정 방정식과 사중 방정식의 일반적인 대수적 해결이었습니다.행렬식의 아이디어는 17세기에 일본 수학자 코와 세키에 의해 개발되었고, 10년 후 고트프리트 라이프니츠에 의해 행렬을 이용한 연립 일차 방정식의 체계를 풀기 위한 목적으로 개발되었습니다.가브리엘 크레이머는 또한 18세기에 행렬과 행렬식에 대한 연구를 했습니다.

기호 x

전통적으로 대수 문제의 첫 번째 미지 변수는 $오늘날{\displaystyle \mathit{}}$ 기호 x ${\$로 표시되며, 두$$ 번째 또는 세 번째 미지가 있는 경우 각각 $y{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ $z{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$로 표시됩니다$$.대수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$는 일반적으로 곱셈 부호와 구별하기 위해 이탤릭체로 인쇄됩니다$$.

수학 역사학자들은^[89] 일반적으로 대수학에서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 사용이 르네 데카르트에 의해 도입되었고 그의 논문 La Geométrie (1637)에 처음 발표되었다는 것에 동의합니다.^[90][91]그 작품에서, 그는 알려진 양에 대해서는$$ 알파벳의 첫 글자 $({\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,\dots )}$ ${\displaystyle (a,$ b,$c,\ldots)}$를 사용했고, 미지수에 대해서는$$ 알파벳의 끝 글자${\displaystyle }$(${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \dots )}$ ${\displaystyle (z, y,$ x$,\ldots)}$를 사용했습니다.^[92]그 당시 프랑스어와 라틴어 타이포그래피 글꼴이 상대적으로 더 많았기 때문에 그는 나중에 $처음$으로$$알려지지 $않은$ x {\$displaystyle$ $}(z$ {\$displaystyle$ z$\}$$$대신)로 정착했다고 제안되었습니다.^[93]

$대수적{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 기원에 대한 세 가지 대안 이론이 19세기에 제안되었습니다$$: (1) 독일 대수학자들에 의해 사용되고 필기체 $문자{\displaystyle }$r에서 파생된 것으로 생각되는 기호$,$ {\$displaystyle$ r$,}$$$x {\$displaystyle$ x$}$로 오인되는$$ 기호$,$^[94] (2) 비스듬한 획이 있는 숫자 1,^[95] 그리고 (3) 아랍어/스페인어 출처(아래 참조).그러나 스위스계 미국인 수학 역사가 플로리안 카조리는 이것들을 조사했고 세 가지 모두 구체적인 증거가 부족하다는 것을 발견했습니다. 카조리는 데카르트를 원조로 인정하고 그의 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x,y,}$와 z ${\displaystyle z}$를 "전통으로부터 자유롭고, 순수하게 자의적인 선택"이라고 묘사했습니다.^[96]

그럼에도 불구하고, 히스패닉 아랍인의 가설은 오늘날에도 대중문화에서 계속 존재하고 있습니다.^[97]대수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 고대 스페인어에서 아랍어로 추정되는 외래어의 축약이라는 주장입니다.이 이론은 1884년 독일의 오리엔탈리스트 폴 드 라가르드(Paul de Lagarde)와 함께 시작되었는데, 그가 1505년 스페인어/아랍어 이중언어 용어집을 출판한 직후 스페인어 코사(사물)와 아랍어 대응어인 شىء(셰이)가 짝을 이루어 Xei로 표기되었습니다.(구 스페인어의 "sh" 소리는 일상적으로 $x{\displaystyle .}$ ${\displaystyle x$ 분명히 라가르드는 대수학 발전의 "수사학적" 단계에서 아랍 수학자들이 미지의 양을 나타내기 위해 종종 그 단어를 사용했다는 것을 알고 있었습니다.그는 "이보다 더 자연스러운 것은 없다"고 추측했습니다..")는 고대 $스페인어{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$\}$로 로마자 표기된 아랍어의 이니셜을 ^[99]대수학에 사용하기 위해 채택하는 것보다.나중의 독자는 라가르드의 추측을 "증명"한 것으로 재해석했습니다.^[100]라가르드는 초기 스페인 수학자들이 아랍어 단어의 전사가 아니라 그들의 언어인 "코사"로 번역한 것을 알지 못했습니다.^[101]스페인어의 몇몇 편찬된 역사적 어휘에는 xei 또는 유사한 형태의 예가 없습니다.^[102][103]

고트프리트 라이프니츠

함수의 수학적 개념은 그의 시대에 존재했던 삼각법과 로그표에 함축되어 있었지만, 고트프리트 라이프니츠는 1692년과 1694년에 그것을 곡선에서 파생된 몇 가지 기하학적 개념, 예를 들어 가로축, 세로축, 접선, 화음 및 수직을 명시적으로 사용한 최초의 사람이었습니다.^[104]18세기에, "함수"는 이러한 기하학적 연관성을 잃었습니다.

라이프니츠는 선형 방정식 체계의 계수가 행렬이라고 불리는 배열로 배열될 수 있다는 것을 깨달았습니다. 이 배열은 계의 해를 찾기 위해 조작될 수 있습니다.이 방법은 후에 가우스 소거법이라고 불렸습니다.라이프니츠는 부울 대수와 기호 논리학도 발견했는데, 이는 대수학과도 관련이 있습니다.

추상대수

대수를 할 수 있는 능력은 수학 교육에서 길러지는 기술입니다.앤드류 워릭(Andrew Warwick)의 설명에 따르면, 19세기 초 케임브리지 대학 학생들은 공간, 시간, 무게와 같은 물리적 변수에 기초한 운동을 하면서 ^[105]"혼합 수학"을 연습했습니다.시간이 지남에 따라 물리량과 변수의 연관성은 수학적 기술이 성장함에 따라 사라졌습니다.결국 수학은 추상적 다항식, 복소수, 초복소수 및 기타 개념에 완전히 관심을 기울였습니다.물리적 상황에 대한 적용은 응용수학 또는 수학 물리학이라고 불렸고, 수학 분야는 추상 대수학을 포함하도록 확장되었습니다.예를 들어, 구성 가능한 수의 문제는 수학적 한계를 보여주었고, 갈루아 이론의 분야가 발전되었습니다.

대수학의 아버지

"대수학의 아버지"라는 칭호는 칼 벤저민 보이어,^[106] 솔로몬 간디, 바텔 렌더르트 판 데르 베르덴과 같은 수학 역사학자들의 지지를 받은 페르시아 수학자 알콰리즈미에게 자주 부여됩니다.^{[106][107][108][109]}그러나, 그 점은 논쟁의 여지가 있고, 때때로 그 제목은 헬레니즘 수학자 디오판토스의 것으로 여겨집니다.^[106][110]디오판토스를 지지하는 사람들은 알자브르에서 발견되는 대수가 산술에서 발견되는 대수보다 더 기초적이며, 알자브르는 완전히 수사적인 반면 산술은 동기화된다고 말합니다.^[106]그러나 수학 역사가 쿠르트 보겔은 디오판토스의 수학이 고대 바빌로니아의 수학보다 대수적이지 않았기 때문에 ^[111]이 칭호를 가지는 것에 반대합니다.^[112]

알콰리즈미를 지지하는 사람들은 그가 양의 근을 갖는 2차 방정식의 대수적 해법에 대해 철저한 설명을 했고,^[113] 디오판토스가 주로 수론에 관심을 가졌던 반면, 그가 기초적인 형태와 그 자체를 위해 대수학을 가르쳤다는 점을 지적합니다.^[56]알콰리즈미는 또한 "감소"와 "균형"이라는 근본적인 개념을 도입했는데(그는 원래 알자브르라는 용어를 사용하여 언급했습니다), 즉 방정식의 반대쪽에 있는 유사한 용어의 취소를 언급했습니다.^[65]알콰리즈미를 지지하는 다른 사람들은 그의 대수학이 더 이상 "해결해야 할 일련의 문제들과 관련된 것이 아니라, 그 조합들이 방정식에 대한 모든 가능한 원형을 제공해야 한다는 원시적인 용어로 시작하는 설명이 연구의 진정한 대상을 명시적으로 구성한다고 지적합니다."그들은 또한 방정식을 그 자체로 그리고 "일반적인 방식으로, 단순히 문제를 푸는 과정에서 나타나는 것이 아니라 무한한 종류의 문제를 정의하도록 특별히 요구되는 한"을 지적합니다.^[66]빅터 J. 카츠는 알자브르를 현존하는 최초의 진정한 대수학 문헌으로 간주합니다.^[114]

Jeffrey Oaks와 Jean Christianidis에 따르면 Diophantus no Al-Khwarizmi는 "대수학의 아버지"^[115][116]라고 불려서는 안 된다고 합니다.전근대 대수학은 Jens Høyrup이 "서브시언티픽(subscientific)" 전통의 일부로서 상인들과 조사관들에 의해 개발되고 사용되었습니다.디오판토스는 특히 불확정한 문제에 대해서 이 방법을 그의 책에 사용했고, 알콰리즈미는 이 방법에 대해서 아랍어로 된 최초의 책 중 하나를 썼습니다.^[37]

참고 항목

• 알 만수르 – 제2대 아바스 칼리프 (재위 754–775)
• 대수학 연표 – 대수학 역사상 주목할 만한 사건

참고문헌

원천

• Alcalá, Pedro de (1505), De lingua arabica, Granada 폴 드 라가르드 지음, 괴팅겐:아놀드 호이어, 1883년
• Alonso, Martín [in Spanish] (1986), Diccionario del español medieval, Salamanca: Universidad Pontificia de Salamanca
• Aurel, Marco (1552), Libro primero de arithmetica algebratica, Valencia: Joan de Mey
• Bashmakova, I; Smirnova, G. (2000). The Beginnings and Evolution of Algebra. Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 23. Translated by Abe Shenitzer. The Mathematical Association of America.
• Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics (Second ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Burton, David M. (1995), Burton's History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.), Dubuque: Wm. C. Brown
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An Introduction (Third ed.), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Cajori, Florian (1919), "How x Came to Stand for Unknown Quantity", School Science and Mathematics, 19 (8): 698–699, doi:10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations, Chicago: Open Court Publishing, ISBN 9780486161167
• Cooke, Roger (1997), The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Derbyshire, John (2006), Unknown Quantity: A Real And Imaginary History of Algebra, Washington, DC: Joseph Henry Press, ISBN 978-0-309-09657-7
• Descartes, René (1637), La Géométrie, Leyde: Ian Maire. Online 2008 ed. by L. Hermann, Project Gutenberg.
• Descartes, René (1925), The Geometry of René Descartes, Chicago: Open Court, ISBN 9781602066922
• Díez, Juan (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica, Mexico City
• Eneström, Gustaf (1905), "Kleine Mitteilungen", Bibliotheca Mathematica, Ser. 3, 6 (online access only in U.S.)
• Flegg, Graham (1983), Numbers: Their History and Meaning, Dover publications, ISBN 978-0-486-42165-0
• Heath, Thomas Little (1981a), A History of Greek Mathematics, Volume I, Dover publications, ISBN 978-0-486-24073-2
• Heath, Thomas Little (1981b), A History of Greek Mathematics, Volume II, Dover publications, ISBN 978-0-486-24074-9
• Jacob, Georg (1903), "Oriental Elements of Culture in the Occident", Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution [...] for the Year Ending June 30, 1902: 509–529
• Kasten, Lloyd A.; Cody, Florian J. (2001), Tentative Dictionary of Medieval Spanish (2nd ed.), New York: Hispanic Seminary of Medieval Studies
• Katz, Victor J.; Parshall, Karen Hunger (2014), Taming the Unknown: A History of Algebra from Antiquity to the Early Twentieth Century, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Lagarde, Paul de (1884), "Woher stammt das x der Mathematiker?", Mittheilungen, vol. 1, Goettingen: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, pp. 134–137
• Nunes, Pedro (1567), Libro de algebra en arithmetica y geometria, Antwerp: Arnoldo Birckman
• Oelschläger, Victor R. B. (1940), A Medieval Spanish Word-List, Madison: University of Wisconsin Press
• Ortega, Juan de (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria, Granada: René Rabut
• Pérez de Moya, Juan [in Spanish] (1562), Aritmética práctica y especulativa, Salamanca: Mathias Gast
• Puig, Andrés (1672), Arithmetica especulativa y practica; y arte de algebra, Barcelona: Antonio Lacavalleria
• Rider, Robin E. (1982), A Bibliography of Early Modern Algebra, 1500-1800, Berkeley: Berkeley Papers in History of Science
• Sesiano, Jacques (1999), An Introduction to the History of Algebra: Solving Equations from Mesopotamian Times to the Renaissance, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 9780821844731
• Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (Second ed.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Swetz, Frank J. (2013), The European Mathematical Awakening: A Journey Through the History of Mathematics, 1000-1800 (2nd ed.), Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Tropfke, Johannes (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, vol. 1, Leipzig: Von Veit & Comp.

외부 링크

• 세계 디지털 도서관에서 15세기로 거슬러 올라가는 대수학의 기본 개념을 소개하는 "이슬람의 셰이크 자카리야 알 안사리온 이븐 알 하임의 대수학과 균형에 관한 시 해설".