집단 이론의 역사

집단 이론의 역사는 다양한 형태로 수학적인 영역을 연구하는 집단으로, 다양한 평행의 실에서 진화해 왔다.집단 이론의 역사적 뿌리는 대수 방정식 이론, 수 이론, 기하학 세 가지가 있다.^[1][2][3]조셉 루이스 라그랑주, 닐스 헨릭 아벨, 에바리스테 갈루아는 집단 이론 분야의 초기 연구자였다.

19세기 초

집단들에 대한 최초의 연구는 아마도 18세기 후반의 라그랑주의 연구로 거슬러 올라간다.그러나 이 작품은 다소 고립되어 있었으며, 1846년 오거스틴 루이 코치와 갈루아의 출판물은 더 흔히 집단 이론의 시초라고 언급된다.그 이론은 진공상태에서 발전되지 않았고, 그래서 그 이전의 역사에서 중요한 세 개의 실이 여기서 발전되어 있다.

순열군 개발

집단 이론의 한 가지 근본 근원은 4도 이상의 다항식 방정식의 해법 모색이었다.

초기 소스는 도 이 도 n> m ${\displaystyle n>m}$의 방정식의 뿌리의 m로서 갖는 도 m의 방정식을 형성하는 문제에서 발생한다간단한 경우 문제는 요한 반 웨이브렌 허드(1659년)로 거슬러 올라간다.^[4]니콜라스 손더슨(1740년)은 2차적 요소들의 결정으로 인해 반드시 6차 방정식이 발생한다고 언급했고,^[5] 토마스 르 수르(1703~1770년)^[6][7]와 에드워드 워링(1762~1782년)은 여전히 그 생각을 더욱 상세하게 설명했다.^[8][3][9]

순열 집단을 기초로 한 방정식 이론의 공통적인 토대가 라그랑주(1770, 1771년)에 의해 발견되었고, 이를 바탕으로 대체 이론이 구축되었다.^[10]그는 자신이 조사한 모든 분해제(레솔반테스, 레두아이트)의 뿌리가 각 방정식의 뿌리의 합리적인 기능임을 발견했다.이 기능들의 특성을 연구하기 위해, 그는 Calcul des Combinaic을 발명했다.^[11]알렉상드르-테오필레 밴더몬드(1770)의 현대 작품도 다가오는 이론을 예시했다.^[3][12]

파올로 러피니(1799)는 5중방정식과 상위방정식을 푸는 것이 불가능하다는 증거를 시도했다.^[13]러피니는 현재 직설적이고 전이적인 집단, 그리고 충동적이고 원시적인 집단이라고 불리는 것을 구분했고, (1801) 라시엠 델레 퍼루타지오니라는 이름으로 방정식의 그룹을 사용한다.그는 또 집단사상이 두드러지는 피에트로 압바티(Pietro Abbati)가 자신에게 보낸 편지를 발표하기도 했다.^[14][3]

갈루아는 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$가 방정식의 n 루트라면$$, r의 순열 그룹이 항상 존재한다는 것을 발견했다.

• 집단의 대체에 의해 불변하는 뿌리의 모든 기능은 합리적으로 알려져 있다.
• 반대로, 합리적으로 결정 가능한 모든 뿌리의 기능은 집단의 대체에 따라 불변한다.

현대적인 용어로 방정식에 첨부된 갈루아 집단의 용해성은 급진성과의 방정식의 용해성을 결정한다.

갈루아는 현대적 의미로 그룹(프랑스어로는 그루프)이라는 단어와 원시적인 단어를 처음 사용한 것이다.그는 원시 집단을 사용하지 않고 방정식 원시 집단을 갈루아 집단이 원시인 방정식이라고 불렀다.그는 정상 서브그룹의 개념을 발견했고 해결 가능한 원시 그룹이 유한한 원시적 질서에 걸쳐 부속 공간의 부속 그룹의 서브그룹에 식별될 수 있다는 것을 발견했다.^[15]

갈루아는 모듈식 이론과 타원함수의 이론에도 기여했다.그룹 이론에 관한 그의 첫 출판은 18세(1829년)에 이루어졌으나, 그의 공헌은 1846년(리우빌, 볼 XI)에 수집된 논문이 출판되기 전까지 거의 관심을 끌지 못했다.^[16][17]갈루아는 현재 갈루아 이론이라고 불리는 이론과 함께 집단 이론과 분야 이론을 연결하는 최초의 수학자로 칭송받고 있다.^[3]

갈루아 그룹과 유사한 집단을 (오늘날) 순열집단이라고 하는데, 특히 코치가 조사한 개념이다.초기 집단 이론에서 많은 중요한 이론들은 코치 때문이다.Arthur Cayley's On groups 이론에 따르면, 상징 방정식 ${\displaystyle {\theta n}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854)는 유한집단에 대한 최초의 추상적인 정의를 제공한다.^[18]

지오메트리 관련 그룹

둘째로, 주로 대칭 집단을 가장하여 기하학에서 집단의 체계적 사용은 펠릭스 클라인의 1872년 에를랑겐 프로그램에 의해 시작되었다.^[19][20]지금 리 집단이라고 불리는 것에 대한 연구는 1884년 소푸스 리와 함께 체계적으로 시작되었고, 빌헬름 킬링, 에두아르 연구, 잇사이 슈르, 루트비히 모레르, 엘리 카르탄의 연구가 이어졌다.불연속적(구체적 집단) 이론은 클라인, 리, 앙리 푸앵카레, 찰스 에밀 피카르에 의해 특히 모듈형과 모노드로미(modromy)와 연관지어 구축되었다.

수 이론에서의 그룹의 출현

집단 이론의 세 번째 뿌리는 숫자 이론이었다.특정한 아벨 그룹 구조는 칼 프리드리히 가우스의 수 이론적 작업에 암묵적으로 사용되었고, 레오폴드 크로네커에 의해 더욱 명백하게 사용되었다.^[21]페르마의 마지막 정리를 증명하려는 초기 시도는 에른스트 쿠머가 요소화를 프라임 숫자로 기술하는 그룹을 소개함으로써 성과를 거두었다.^[22]

수렴

점점 더 독립적인 과목으로서의 집단 이론은 세레트에 의해 대중화되었는데, 세레트는 대수학의 4절을 이론에 바쳤고, 카밀레 조던은 특성 대체와 에콰이어스 알제브리크(1870), 유겐 네토(1882)는 대체 이론과 대수학에 대한 응용 이론을 영어 b로 번역했다.y 콜(1892년).Other group theorists of the 19th century were Joseph Louis François Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Kronecker, and Émile Mathieu;^[3] as well as William Burnside, Leonard Eugene Dickson, Otto Hölder, E. H. Moore, Ludwig Sylow, and Heinrich Martin Weber.

위의 세 가지 출처를 획일적인 이론으로 융합한 것은 조던의 특성레와 완전한 현대적 의미에서 처음으로 집단을 정의한 발터 폰 다이크(1882)로부터 시작되었다.베버와 번사이드의 교과서는 집단 이론을 하나의 규율으로서 확립하는 데 도움을 주었다.^[23]추상적인 집단 제형은 19세기 집단 이론의 큰 부분에는 적용되지 않았으며, 리 알헤브라의 관점에서 대안적인 형식주의가 제시되었다.

19세기 후반

1870-1900년대의 집단은 리의 연속적인 집단, 불연속적인 집단, 뿌리 대체의 유한 집단(일반적으로 순열체라고 불리며), 선형 대체의 유한 집단(일반적으로 유한한 분야)으로 설명되었다.During the 1880-1920 period, groups described by presentations came into a life of their own through the work of Cayley, Walther von Dyck, Max Dehn, Jakob Nielsen, Otto Schreier, and continued in the 1920-1940 period with the work of H. S. M. Coxeter, Wilhelm Magnus, and others to form the field of combinatorial group theory.

1870~1900년대의 유한집단은 실로우의 이론, 쾰더의 사각형 없는 질서집단 분류, 프로베니우스의 인물론의 초기 시작과 같은 하이라이트를 보았다.이미 1860년까지 유한 투영 평면의 자동화 집단은 (마티외에 의해) 연구되었고, 1870년대에 클라인의 그룹-이론적 기하학적 비전은 그의 에를랑겐 프로그램에서 실현되고 있었다.보다 차원 높은 투영 공간의 오토모르피즘 집단은 요르단이 그의 특성에서 연구한 것이며, 비록 비우량 집단은 피하고 단일 집단을 생략하였지만 소위 고전 집단의 대부분에 대한 구성 시리즈를 포함하였다.이 연구는 무어와 번사이드에 의해 계속되었고, 1901년에 레오나드 딕슨이 포괄적인 교과서를 만들었다.단순 집단의 역할은 요르단이 강조했고, 단순 집단을 200명 미만으로 분류할 수 있을 때까지 쾰더가 비단순성 기준을 개발했다.연구는 프랭크 넬슨 콜 (최대 660년)과 번사이드 (최대 1092년)에 의해 계속되었고, 마침내 밀러와 링이 1900년에 2001년까지의 초기 "밀레니엄 프로젝트"에서 시작되었다.

1870-1900년대의 연속적인 집단은 빠르게 발전했다.킬링 앤 리의 기초 논문, 힐베르트의 불변 이론 정리 1882 등이 발표되었다.

20세기 초

1900~1940년 동안 무한의 "불연속" (현재 불연속 그룹이라고 불림) 집단은 그들 자신의 생명을 얻었다.번사이드의 유명한 문제는 임의의 영역보다 유한한 차원 선형 그룹의 임의적인 부분군, 그리고 실제로 임의의 그룹에 대한 연구를 가능하게 했다.기초단체와 반성단체들은 J. A.의 발전을 격려했다. 토드와 콕시터(Todd-Coxeter)는 조합군 이론의 토드-콕시터 알고리즘과 같은 것이다.다항 방정식의 해법으로 정의되는 대수적 집단은 (앞 세기와 같이 그것들에 작용하는 것이 아니라) 거짓말의 연속적인 이론으로부터 많은 이득을 얻었다.버나드 노이만과 한나 노이만은 다항식이 아닌 집단 이론 방정식에 의해 정의된 집단인 다양한 집단에 대한 연구를 수행했다.

연속적인 집단은 1900-1940년 기간에도 폭발적인 성장을 했다.위상학 집단은 그렇게 연구되기 시작했다.카탄의 반실행 리 알헤브라스 분류, 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 콤팩트 그룹 표현 이론, 알프레드 하르의 로컬 컴팩트 케이스 작품 등 연속적인 그룹에서는 많은 위대한 업적이 있었다.

1900-1940년대의 유한 집단은 엄청나게 성장했다.이 시기는 프로베니우스, 번사이드, 슈르의 성격 이론의 탄생을 목격하였고, 19세기 질문의 많은 부분을 순열 집단에서 답하는 데 도움을 주었으며, 추상적인 유한 집단에서 완전히 새로운 기법의 길을 열었다.이 시대는 필립 홀의 작업을 보았다: 유한 수용성 그룹의 연구를 혁파한 임의의 프리임의 집합에 대한 슐로우의 정리를 일반화한 것과, 규칙적인 p-그룹과 그룹의 이소클린주의 사상을 포함한 p-그룹들의 파워 커머레이터 구조에 관한 것으로, p-그룹 연구에 혁명을 일으켰으며, p-그룹에 대한 최초의 주요한 연구였다.슐로우 이후 이 지역을 형성하게 된다.이 시기에는 한스 자센하우스의 유명한 슈르-자센하우스의 슈르-자센하우스의 샤로 하위그룹에 대한 홀의 일반화에 대한 보완의 존재와 프로베니우스 그룹에 대한 그의 진보, 그리고 자센하우스 집단에 대한 근접한 분류에 대한 정리가 보였다.

20세기 중반

집단 이론의 깊이, 폭, 영향 모두 이후 커졌다.그 영역은 대수 그룹, 그룹 확장, 그리고 표현 이론과 같은 영역으로 분기하기 시작했다.^[24]1950년대부터 거대한 협력 노력으로 집단 이론가들은 1982년 모든 유한한 단순 집단을 분류하는 데 성공했다.분류 증명서 작성과 단순화는 연구가 활발한 분야다.^[25]

아나톨리 몰체프는 이 시기에도 집단 이론에 중요한 기여를 했다; 그의 초기 작품은 1930년대에 논리학이었지만, 1940년대에 그는 세미그룹들의 중요한 내재 특성을 증명했고, 그룹 반지의 이형성 문제를 연구했으며, 다형성 그룹에 대한 말체프 통신을 확립했으며, 1960년대에 로그로 복귀했다.집단들의 연구 내에서 다양한 이론들이 해석할 수 없다는 것을 증명하는 ic.앞서 알프레드 타르스키는 초등 집단 이론이 불분명하다는 것을 증명했다.^[26]

1960년부터 1980년까지의 시기는 집단 이론의 많은 분야에서 흥분되는 시기 중 하나였다.

유한집단에서는 독립적인 이정표가 많았다.하나는 22개의 새로운 산발적인 집단을 발견했고, 유한단순집단의 분류 1세대의 완성이 있었다.하나는 카터 서브그룹의 영향력 있는 사상과 그에 따른 형성 이론과 집단의 계급 이론을 가지고 있었다.하나는 그린에 의한 클리포드 이론을 그룹 알제브라의 외설적인 모듈로 확장시킨 놀라운 것이었다.이 시대에는 연산군 이론의 분야가 인정받는 연구 분야가 되었는데, 이는 부분적으로 1세대 분류 과정에서 엄청난 성공을 거두었기 때문이다.

이산 그룹에서는 자크 티츠의 기하학적 방법과 세르게 랑의 지도의 허탈성이 대수 그룹에서의 혁명을 가능케 했다.번사이드 문제는 1960년대와 1980년대 초반에 더 나은 백반샘플이 건설될 정도로 엄청난 진전을 보였지만, 마무리 작업인 "완전히 다수를 위한 것"은 1990년대에 이르러서야 완성되었다.번사이드 문제에 관한 연구는 지수 p의 리 알헤브라에 대한 관심을 증가시켰고, 미셸 라자드의 방법들은 특히 p그룹에 대한 연구에서 더 넓은 영향을 보기 시작했다.

p-adic 분석 질문이 중요해짐에 따라 연속적인 그룹은 상당히 확대되었다.이 시기에 많은 추측이 이루어졌는데, 그 중에는 코클라스 추측도 포함되어 있었다.

20세기 후반

20세기의 마지막 20년은 집단 이론에서 100년 이상의 연구의 성공을 누렸다.

유한군에서 사후 분류 결과에는 오난-스콧 정리, 아스치바허 분류, 곱셈 전이적 유한군 분류, 단순군 최대 하위군 결정, 원시군 상응하는 분류 등이 포함되었다.유한 기하학이나 조합학에서는 이제 많은 문제가 해결될 수 있다.모듈러 표현 이론은 핵융합 시스템, 루이스 푸이그의 쌍과 영점 블록 등 분류 기법이 공리화되면서 새로운 시대로 접어들었다.유한 수용성 집단의 이론도 마찬가지로 클라우스 도어크와 트레버 호크스의 영향력 있는 책에 의해 변형되었는데, 이 책은 더 많은 청중들에게 프로젝터와 주입기 이론을 가져왔다.

별개의 그룹에서, 몇몇 기하학적 영역들이 함께 모여 흥미진진한 새로운 분야를 만들어냈다.매듭 이론, 오비폴즈, 쌍곡 다지관, 나무에 작용하는 집단(Bass-Serre 이론)에 대한 연구는 쌍곡 집단, 자동 집단에 대한 연구를 크게 활성화시켰다.윌리엄 서스턴의 1982년 기하학적 추측과 같은 질문들은 기하학적 집단 이론과 저차원 위상에서의 완전히 새로운 기술들에 영감을 주었고, 밀레니엄 상 문제들 중 하나인 푸앵카레 추측의 해법에 관여했다.

연속 집단은 1992년 라플라시안 연산자의 대칭 집단을 이용해 드럼의 모양을 듣는 문제의 해답을 보았다.함수 공간과 양자 그룹을 이용한 집단 이론의 여러 측면에 연속적인 기법이 적용되었다.18세기와 19세기의 많은 문제들이 이제 이 보다 일반적인 환경에서 다시 논의되고 있으며, 집단 대표론의 많은 문제들은 해답을 가지고 있다.

오늘

집단 이론은 계속해서 치열하게 연구되고 있다.현대 수학 전체에 대한 그것의 중요성은 그룹 이론에 대한 공헌으로 존 그리그스 톰슨과 자크 티츠에게 수여된 2008년 아벨상으로부터 볼 수 있다.

메모들

참조

• 그룹 이론에서 역사적으로 중요한 출판물.
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules (ed.), Manuscrits de Évariste Galois, Paris: Gauthier-Villars
• Kleiner, Israel (1986), "The evolution of group theory: a brief survey", Mathematics Magazine, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 0863090
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7
• du Sautoy, Marcus (2008), Finding Moonshine, London: Fourth Estate, ISBN 978-0-00-721461-7