디리클레 고유값

수학에서 디리클레 고유값은 주어진 모양을 가진 이상화된 드럼의 기본적인 진동 방식이다.드럼의 모양을 들을 수 있느냐의 문제는 디리클레 고유값을 감안할 때 드럼 모양의 어떤 특징을 추론할 수 있는가 하는 점이다.여기서 "드럼"은 경계가 고정된 평면 영역으로 표현되는 탄성막 Ω으로 생각된다.디리클레 고유값은 알 수 없는 함수 u ≠ 0과 고유값 λ에 대해 다음과 같은 문제를 해결함으로써 발견된다.

${\displaystyle {\begin{case}\Delta u+\lambda u=0&{\rm {{in\}}\u _{\partial \Oomega}=0.&\end{case}}}$

(1)

여기서 Δ는 라플라시아어로, Xy 좌표로 주어진다.

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}.}$

경계값 문제(1)는 헬름홀츠 방정식의 디리클레 문제여서 λ은 Ω의 디리클레 고유값으로 알려져 있다.디리클레 고유값은 Neumann 고유값: 해당 Neuman 문제에 대한 고유값과 대조된다.(1)에 나타나는 라플라스 연산자 Δ는 디리클레 경계 조건을 만족시키는 함수만을 수용하는 것으로 간주될 때 디리클레 라플라시안이라고 종종 알려져 있다.보다 일반적으로 스펙트럼 기하학에서는 경계 Ω이 있는 다지관의 (1)을 고려한다.그런 다음 Δ는 Dirichlet 경계 조건과 함께 Laplace-Beltrami 연산자로 간주된다.

아겐스페이스는 유한한 차원이며 디리클레 고유값 λ은 실제적이고 양적이며 한계점이 없다는 것을 콤팩트 자기 적응 연산자에 대한 스펙트럼 정리를 이용하여 나타낼 수 있다.따라서 다음 순서로 배열할 수 있다.

${\displaystyle 0<\floda _{1}\leq \cdots _{2}\leq \cdots,\cdda _{n}\fty ,}$

여기서 각 고유값은 기하학적 다중성에 따라 계산된다.아이겐스페이스는 사각형 통합 기능의 공간에서 직교하며, 부드러운 기능으로 구성된다.실제로 디리클레 라플라시안은 소볼레프 공간 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle H_{0}^{2}(\Oomega )}$에서 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle L^{2}(\Oomega )}$까지 연산자로 연속 확장되어 있다$.$이 연산자는 변환불능이며, 그 역은 소형이고 자기 적응성이므로 통상적인 스펙트럼 정리가 적용되어 Δ의 아이겐스페이스와 그 고유값의 왕복선 1/2을 얻을 수 있다.

디리클레 고유값 연구의 주요 도구 중 하나는 최대 최소 원리다: 최초의 고유값 λ은₁ 디리클레 에너지를 최소화한다.재치있게.

${\displaystyle \lambda _{1}=\inf _{u\not=0}{\frac {\int_{\Oomega } \nabla u ^{2}}:{\int_{\Oomega } ^{2}},}}$

Ω으로 동일하게 사라지지 않는 모든 콤팩트 서포트의 u를 최소값이 차지한다.By a density argument, this infimum agrees with that taken over nonzero ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$. Moreover, using results from the calculus of variations analogous to the Lax–Milgram theorem, one can show that a minimizer exists in ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$. More gen어렴풋이 알고 있다

${\displaystyle \lambda _{k}=\supple \frac {\int_{\Oomega } \nabla u ^{2}}:{\int_{\Oomega} u ^{2}}:$

where the supremum is taken over all (k−1)-tuples ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ and the infimum over all u orthogonal to the ${\displaystyle \phi _{i}}$.

적용들

디리클레 라플라시안(Dirichlet Laplacian)은 수학적 물리학의 다양한 문제로부터 발생할 수 있다; 그것은 이상화된 드럼의 모드, 이상화된 풀의 표면의 작은 파동 및 근사치에서 이상화된 광섬유의 모드를 나타낼 수 있다.마지막 적용은 이중으로 된 섬유와 관련하여 가장 실용적이다; 그러한 섬유에서는 대부분의 채우기 모드가 균일하게 영역을 통과하거나 대부분의 광선이 중심부를 가로지르는 것이 중요하다.가장 가난한 모양은 원형 대칭 영역인^[1][2] 것 같다.^[3]펌프 모드는 이중 차폐 섬유 증폭기에 사용되는 능동 코어를 피해서는 안 된다.나선형 영역은 디리클레 라플라시안 모드의 경계 거동 때문에 그러한 적용에 특히 효율적이다.^[4]

기하학적 광학(그림1)에서 광선의 성질을 유추할 경우 디리클레 라플라시안의 경계 거동에 관한 정리; 한 광선(녹색)의 각운동량은 경계(파란색)의 나선 부분에서 반사될 때마다 증가하며, 광선이 청크(빨간색)에 부딪힐 때까지 증가하며, 모든 광학 축에 평행한 광선(광학 축에 평행한 것을 제외)은 불가피하게 된다.각운동량의 초과분을 자르기 위해 청크 근처의 지역마찬가지로 디리클레 라플라시안의 모든 모드는 청크 근처에 0이 아닌 값을 가진다.경계에서 모드의 파생상품의 정상적인 구성요소는 압력으로 해석될 수 있다. 표면 위에 통합된 압력은 힘을 준다.모드는 전파 방정식의 정상 상태 해법이기 때문에 (종방향 좌표의 사소한 의존성을 갖는) 총 힘은 0이어야 한다.마찬가지로 압력의 각운동량도 0이어야 한다.그러나 형식적인 증거가 존재하는데, 이는 물리적 시스템과 유추하는 것을 지칭하지 않는다.^[4]

메모들

참조

• Benguria, Rafael D. "Dirichlet Eigenvalue". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 28 October 2021.
• Chavel, Isaac (1984). Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure Appl. Math. Vol. 115. Academic Press. ISBN 978-0-12-170640-1..
• Courant, Richard; Hilbert, David (1962). Methods of Mathematical Physics, Volume I. Wiley-Interscience..