f(R) 중력

수정된 중력 이론의f R한 종류로 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 일반화합니다. f(R) 중력은 실제로 각각 다른 함수에 의해 정의되는 이론의 계열입니다. f, 리치 스칼라의 R. 가장 간단한 경우는 함수가 스칼라와 같다는 것입니다. 이것이 일반 상대성 이론입니다. 임의의 함수를 도입한 결과 미지의 암흑 에너지나 암흑 물질을 추가하지 않고 우주의 가속된 팽창과 구조 형성을 설명할 자유가 있을 수 있습니다. 일부 기능적 형태는 중력의 양자 이론에서 발생하는 수정에 의해 영감을 받을 수 있습니다. f(R중력은 1970년 Hans Adolph^[1] Buchdahl에 의해 처음으로 제안되었습니다. ϕ 보다 사용되었습니다. f 임의 함수의 이름에 대해). 우주 인플레이션에 관한 스타로빈스키의 연구에 이어 활발한 연구 분야가 되었습니다.^[2] 이 이론은 다양한 기능을 채택함으로써 다양한 현상을 만들어낼 수 있습니다. 그러나 이제 많은 기능적 형태가 관측적인 근거나 병리학적인 이론적 문제 때문에 배제될 수 있습니다.

서론

인 f(R중력, 아인슈타인의 라그랑지안을 일반화하려고 합니다.힐버트 작용:

S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

로.

S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x

\kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }

서, κ

\kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }

= 8

\kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }

π G c 4, g =

det

g μ ν {\displaystyle \kappa = {\tfrac {8\pi G}{c^{4}}, g=\det g_{\mu \nu }는 메트릭 텐서의 행렬식이고, f(R) {\displaystyle f(R)}는 리치 스칼라의 일부 함수입니다.

$R$ $R$ 을 f $f(R)$ $f(R)$ 로 $R$ 변경하는 효과를 추적하는 두 가지 방법 $f(R)$ 즉 이론 필드 방정식을 얻는 방법이 있습니다. 첫 번째는 미터법 형식주의를 사용하는 것이고 두 번째는 팔라티니 형식주의를 사용하는 것입니다.^[3] $f(R)=R$ 형식은 일반 상대성 이론에 대한 동일한 필드 방정식으로 이어지지만, 즉 f $f(R)=R$ ) = $f(R)=R$ {\ $displaystyle$ f( $f(R)\neq R$ )= $}$ ≠ R {\displaystyle f(R)\neq R}에서는 필드 방정식이 다를 수 있습니다.

미터법 `f`(`R`) 중력

장방정식의 유도

미터법으로 f(R 중력), 연결 $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ γ α β μ ${\displaystyle \Gamma$ _ ${\alpha \beta$ }^{\mu}}를 독립적으로 처리하지 않고 메트릭에 대한 동작을 변경하여 필드 방정식에 도달합니다. 완전성을 위해 이제 행동 변화의 기본 단계를 간단히 언급하겠습니다. 주요 단계는 아인슈타인의 변형의 경우와 동일합니다.힐버트 액션(자세한 내용은 기사 참조) 그러나 몇 가지 중요한 차이점도 있습니다.

행렬식의 변동은 항상 다음과 같습니다.

\delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}g_{\mu \nu}\delta g^{\mu \nu}

리치 스칼라는 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle R=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}}입니다.

따라서 역 메트릭 $g^{\mu \nu }$ $g^{\mu \nu }$ ν {\ $displaystyle g^{\$ mu \nu }}에 대한 변화는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu}\delta g^{\mu \nu}+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla_{\rho }\delta \Gamma_{\rho }-\nabla_{\nu }\delta \Gamma_{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}

두 번째 단계는 아인슈타인에 관한 기사를 참조하십시오.힐버트 액션. δ $\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ γ $\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ μ ν λ {\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}는 두 연결의 차이이므로 텐서로 변환해야 합니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\delta \Gamma_{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla_{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla_{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla_{a}\delta g_{\mu \nu }\right)

위의 식을 대입하면 다음과 같습니다.

\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }

$여기서$ ∇ μ $\nabla _{\mu }$ ${\displaystyle \nabla$ _{\mu }}는 공변 도함수이고 ◻ = g μ ν ∇ μ ∇ ν {\displaystyle \square = g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }는 d'Alembert 연산자입니다.

$F(R)={\frac {df}{dR}}$ = $F(R)={\frac {df}{dR}}$ d ${\$ displaystyle F(R) = {\frac {df}{dR}}을(를) 나타내면 동작의 변화는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}

두 번째 항과 세 번째 항에 대한 부분별 통합(경계 기여를 무시함)을 수행하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있습니다.

\delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.

δ S δ $g$ μ ν delta 0 {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0}의 변화에 따라 동작이 불변으로 유지되도록 요구함으로써 필드 방정식을 얻을 수 있습니다.

F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },

T_{\mu \nu }

서

T_{\mu \nu }

ν {\

displaystyle T_{\

mu \nu}}는 에너지-운동량 텐서로 정의됩니다.

T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m}}}{\delta g^{\mu \nu}}}

{\mathcal {L}}_{m}

서

{\mathcal {L}}_{m}

{\

는

{\mathcal {L}}_{m}

문제 라그랑지안입니다.

일반화된 프리드만 방정식

척도 인자 $a(t)$ ${\displaystyle$ a $(t)}$ 가 있는 로버트슨-워커 메트릭을 가정하면 일반화된 프리드만 방정식은 다음과 같습니다(단위는 κ = 1 ${\$ displaystyle $\kappa$ = 1}).

3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}

-2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},

어디에

H={\frac {\dot {a}}{a}

는 허블 매개변수이고, 점은 우주 시간에 대한 도함수입니다. t, 그리고 약관 ρ_m 그리고 ρ_rad 각각 물질과 방사선 밀도를 나타냅니다. 이들은 연속 방정식을 만족합니다.

{\rho}}_{\rm{m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;

{\rho}}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.

수정된 뉴턴 상수

이 이론들의 흥미로운 특징은 중력 상수가 시간과 규모에 의존한다는 사실입니다.^[4] 이를 확인하려면 메트릭에 작은 스칼라 섭동을 추가합니다(뉴턴 게이지).

\mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}

어디에 Φ 그리고Ψ 는 뉴턴 퍼텐셜이고 첫 번째 순서로 필드 방정식을 사용합니다. 긴 계산 끝에 푸리에 공간에서 푸아송 방정식을 정의하고 오른쪽에 나타나는 여분의 항을 유효 중력 상수로 돌릴 수 있습니다. G_eff.이를 통해 중력 퍼텐셜을 얻을 수 있습니다(하위 수평 스케일에서 유효한 ≫).

\Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }

어디에 δρ_m 물질 밀도의 섭동입니다. k 는 푸리에 척도이고 G_eff 이것은:

G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},

와 함께

{\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.

거대한 중력파

선형화될 때의 이러한 종류의 이론은 중력파에 대한 세 가지 편광 모드를 나타내며, 그 중 두 개는 질량 없는 중력자(헬리시티 ±2)에 해당하고 세 번째(스칼라)는 등각 변환을 고려하면 4차 이론이라는 사실에서 비롯됩니다. f(R)는 일반 상대성 이론에 스칼라장을 더한 값이 됩니다. 이것을 보려면 다음을 확인합니다.

\Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},

위의 필드 방정식을 사용하여

\Box \Phi = {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi}

섭동 이론의 첫 번째 순서에 대한 작업:

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }

\Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi

지루한 대수학 후에 중력파에 해당하는 메트릭 섭동을 해결할 수 있습니다. 에서 전파되는 파동에 대한 특정 주파수 성분 z- direction, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

h_{\mu \nu}(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }

어디에

h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi}{\Phi _{0}},

그리고. v_g(ω) = dω/dk 는 파동 패킷의 그룹 속도입니다. h_f 파도를 중심으로- k. 첫 번째 두 용어는 일반 상대성 이론의 일반적인 횡방향 편극에 해당하는 반면 세 번째 용어는 새로운 거대 편극 모드에 해당합니다. f(R ) 설. 이 모드는 질량 없는 횡방향 호흡 모드(그러나 무추적은 아님)와 대규모 종방향 스칼라 모드의 혼합입니다. ^[5]^[6] 횡방향 및 무추적 모드(텐서 모드라고도 함)는 빛의 속도로 전파되지만, 대규모 스칼라 모드는 속도로 이동합니다. v_G < 1 (단위는 다음과 같습니다. c = 1), 이 모드는 분산형입니다. 하지만, 인 f(R) 중력 메트릭 형식주의, $f(R)=\alpha R^{2}$ f $f(R)=\alpha R^{2}$ = $f(R)=\alpha R^{2}$ $f(R)=\alpha R^{2}$ 2 {\ $displaystyle$ f(R) =\alpha R^{2}}(순수 R 2 {\displaystyle R^{2}} 모델이라고도 함)의 경우, 제3 편광 모드는 순수 호흡 모드이며 시공간을 통해 빛의 속도로 전파됩니다.

등가형식주의

특정 추가 조건에서 분석을^[8] 단순화할 수 있습니다. f(R ) 보조분야를 도입한 이론.Φ. $f''(R)\neq 0$ 에 $f''(R)\neq 0$ $f''(R)\neq 0$ ″ ( $R$ ) ≠ 0 {\ $displaystyle$ f"(R)\neq 0}이라고 가정합니다. R,허락하다 V(Φ)의 전설적인 변신입니다. f(R) φ = f $'($ R) $\Phi =f'(R)$ ${\displaystyle$ \Phi = f'(R)} 및 R = V'(φ) {\style R=V'(\Phi )}를 표시합니다. 그런 다음 O'Hanlon(1972)의 조치를 얻습니다.

S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa}}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}_{\text{m}}\right]

오일러-라그랑주 방정식이 있습니다.

V'(\Phi )=R

\Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }

제거하기Φ, 우리는 이전과 정확히 같은 방정식을 얻습니다. 그러나 방정식은 도함수에서 4차가 아니라 2차일 뿐입니다.

저희는 현재 Jordan 프레임과 함께 작업하고 있습니다. 컨포멀 리스케일링을 수행하여

{\tilde {g}}_{\mu \nu} =\Phig_{\mu \nu}

우리는 아인슈타인의 틀로 변신합니다.

R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box}}\Phi}{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi}}\right)^{2}\right]

S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]

부품별로 통합한 후에.

φ ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$ φ $정의$ ~ = ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$ 3 ln ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$ ⁡ φ ${\displaystyle$ {\tilde {\Phi}} = {\sqrt {3}}\ln {\Phi}}, 대체

S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]

{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).

이것은 실제 스칼라장과 결합된 일반 상대성 이론입니다. f(R) 가속 우주를 설명하는 이론은 사실상 5차성을 사용하는 것과 같습니다. (적어도 물질 결합을 아직 명시하지 않았다는 주의 사항과 동등하므로 (예를 들어) f(R) 물질이 메트릭과 최소로 결합되는 중력(즉, 조던 프레임)은 스칼라 필드가 중력 강도와 5차 힘을 매개하는 5차 연속 이론과 동일합니다.

팔라티니 `f`(`R`) 중력

팔라티니에서 f(R중력(gravity)은 측정 기준과 연결을 독립적으로 처리하고 각각의 측정 기준에 대한 동작을 개별적으로 변경합니다. 라그랑지안은 연관성과 무관하다고 가정합니다. 이 이론들은 = -3 ⁄2로 브랜즈-다이크 이론과 동등한 것으로 나타났습니다. 그러나 이론의 구조상 팔라티니는 f(R) 이론은 표준 모델과 상충되는 ^[9]^[11]것으로 보이며,^[10] 태양계 실험을 위반할 수 있으며, 원치 않는 특이점을 생성하는 것으로 보입니다.^[12]

미터법-아핀 `f`(`R`) 중력

미터법으로 f(R) 중력은 사물을 더욱 일반화하여 미터법과 연결을 독립적으로 다루며 라그랑지안 문제도 연결에 달려 있다고 가정합니다.

관측 테스트

많은 잠재적인 형태가 있기 때문에 f(R) 중력, 일반적인 테스트를 찾기 어렵습니다. 또한 일반 상대성 이론에서 벗어난 편차는 경우에 따라 임의로 작게 만들 수 있으므로 일부 수정 사항을 완전히 배제할 수는 없습니다. 기능에 대한 구체적인 형태를 가정하지 않고도 어느 정도의 진전을 이룰 수 있습니다. f(R)을 확장하는 테일러의

f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots

첫 번째 항은 우주 상수와 같으며 작아야 합니다. 다음 계수 a₁ 일반 상대성 이론에서와 같이 하나로 설정할 수 있습니다. 미터법의 경우 f(R) 중력 (팔라티니나 미터법에 비해) f(R중력), 2차항은 중력 퍼텐셜에 대한 유카와 보정으로 이어지기 때문에 다섯 번째 힘 측정에 의해 가장 잘 제한됩니다. 최상의 전류 한계는 a₂< 4 × 10⁻⁹ m² 또는 동등하게 <a₂ 2.3 × 10²² GeV입니다⁻².^[13]^[14]

매개변수화된 포스트 뉴턴 형식주의는 일반적인 수정된 중력 이론을 제약할 수 있도록 설계되었습니다. 하지만, f(R) 중력은 일반 상대성 이론과 동일한 값을 많이 공유하므로 이러한 검정을 사용하여 구별할 수 없습니다.^[15] 특히 빛의 편향은 변하지 않으므로, f(R) 중력은 일반 상대성 이론과 마찬가지로 카시니 추적의 한계와 완전히 일치합니다.^[13]

스타로빈스키 중력

스타로빈스키 중력의 형태는 다음과 같습니다.

f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}

여기서

M

{\displaystyle

M

}

은

M

질량의 차원을 갖습니다.^[16]

스타로빈스키 중력은 $R$ ${\display R}$ 이 $R$ 여전히 컸을 때 빅뱅 직후 우주 팽창의 메커니즘을 제공합니다. 그러나 현재 $R$ $R$ 은 $R$ (는) 매우 작기 때문에 현재 우주 가속도를 설명하는 데 적합하지 않습니다.^[17]^[18]^[19] 이는 $f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$ = $f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$ + $f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}$ R $26$ M 2 {\displaystyle f(R) = R+{\frac {R^{2}} {6}의 2차항을 의미합니다. $M^{2}}}:$ 무시할 수 있습니다. 즉, 우주 상수가 null인 일반 상대성 이론인 $f(R)=R$ R) $=$ R {\displaystyle f(R $f(R)=R$ $=$ R}인 경향이 있습니다.

고고이고스와미 중력

고고이-고스와미 중력은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left[1-\exp \left(-{\frac {R}{R_{c}}}\right)\right]

여기서

\alpha

\alpha

및

\alpha

\beta

{\displaystyle \beta

}는 2차원 없는 양의 상수이고

\beta

R_{c}

{\

는

R_{c}

특성 곡률 상수입니다.

텐셔너리 일반화

f(R) 이전 섹션에서 제시한 중력은 일반 상대성 이론의 스칼라 수정입니다. 더 일반적으로, 우리는 다음과 같은

\int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })

리치 텐서와 웨일 텐서의 불변량을 포함하는 커플링. 특수한 경우는. f(R) 중력, 등각 중력, 가우스-보넷 중력, 러브록 중력. 사소한 인장 의존성을 갖지 않는 우리는 일반적으로 질량 없는 중력자와 거대한 스칼라 외에 추가적인 거대한 스핀-2 자유도를 가지고 있습니다. 예외는 스핀-2 성분의 4차항이 취소되는 가우스-보넷 중력입니다.

참고 항목

참고문헌

^ Buchdahl, H. A. (1970). "Non-linear Lagrangians and cosmological theory". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 150: 1–8. Bibcode:1970MNRAS.150....1B. doi:10.1093/mnras/150.1.1.
^ Starobinsky, A. A. (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity". Physics Letters B. 91 (1): 99–102. Bibcode:1980PhLB...91...99S. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X.
^ ^a ^b L. 아멘돌라와 S. 츠지카와 (2013) "다크 에너지, 이론과 관찰" 케임브리지 대학 출판부
^ Tsujikawa, Shinji (2007). "Matter density perturbations and effective gravitational constant in modified gravity models of dark energy". Physical Review D. 76 (2): 023514. arXiv:0705.1032. Bibcode:2007PhRvD..76b3514T. doi:10.1103/PhysRevD.76.023514. S2CID 119324187.
^ Liang, Dicong; Gong, Yungui; Hou, Shaoqi; Liu, Yunqi (2017). "Polarizations of gravitational waves in f(R) gravity". Phys. Rev. D. 95 (10): 104034. arXiv:1701.05998. Bibcode:2017PhRvD..95j4034L. doi:10.1103/PhysRevD.95.104034. S2CID 119005163.
^ Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it". The European Physical Journal C. 80 (12): 1101. arXiv:2006.04011. Bibcode:2020EPJC...80.1101G. doi:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID 219530929.
^ Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2022). "Gravitational Waves in f(R) Gravity Power Law Model". Indian Journal of Physics. 96 (2): 637. arXiv:1901.11277. Bibcode:2022InJPh..96..637G. doi:10.1007/s12648-020-01998-8. S2CID 231655238.
^ De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010). "f(R) Theories". Living Reviews in Relativity. 13 (1): 3. arXiv:1002.4928. Bibcode:2010LRR....13....3D. doi:10.12942/lrr-2010-3. PMC 5255939. PMID 28179828.
^ ^a ^b Flanagan, E. E. (2004). "The conformal frame freedom in theories of gravitation". Classical and Quantum Gravity. 21 (15): 3817–3829. arXiv:gr-qc/0403063. Bibcode:2004CQGra..21.3817F. doi:10.1088/0264-9381/21/15/N02. S2CID 117619981.
^ ^a ^b Olmo, G. J. (2005). "The Gravity Lagrangian According to Solar System Experiments". Physical Review Letters. 95 (26): 261102. arXiv:gr-qc/0505101. Bibcode:2005PhRvL..95z1102O. doi:10.1103/PhysRevLett.95.261102. PMID 16486333. S2CID 27440524.
^ Iglesias, A.; Kaloper, N.; Padilla, A.; Park, M. (2007). "How (not) to use the Palatini formulation of scalar-tensor gravity". Physical Review D. 76 (10): 104001. arXiv:0708.1163. Bibcode:2007PhRvD..76j4001I. doi:10.1103/PhysRevD.76.104001.
^ Barausse, E.; Sotiriou, T. P.; Miller, J. C. (2008). "A no-go theorem for polytropic spheres in Palatini f(R) gravity". Classical and Quantum Gravity. 25 (6): 062001. arXiv:gr-qc/0703132. Bibcode:2008CQGra..25f2001B. doi:10.1088/0264-9381/25/6/062001. S2CID 119370540.
^ ^a ^b Berry, C. P. L.; Gair, J. R. (2011). "Linearized f(R) gravity: Gravitational radiation and Solar System tests". Physical Review D. 83 (10): 104022. arXiv:1104.0819. Bibcode:2011PhRvD..83j4022B. doi:10.1103/PhysRevD.83.104022. S2CID 119202399.
^ Cembranos, J. A. R. (2009). "Dark Matter from R² Gravity". Physical Review Letters. 102 (14): 141301. arXiv:0809.1653. Bibcode:2009PhRvL.102n1301C. doi:10.1103/PhysRevLett.102.141301. PMID 19392422. S2CID 33042847.
^ Clifton, T. (2008). "Parametrized post-Newtonian limit of fourth-order theories of gravity". Physical Review D. 77 (2): 024041. arXiv:0801.0983. Bibcode:2008PhRvD..77b4041C. doi:10.1103/PhysRevD.77.024041. S2CID 54174617.
^ Starobinsky, A.A (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity". Physics Letters B. 91 (1): 99–102. Bibcode:1980PhLB...91...99S. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X.
^ "Will the Universe expand forever?". NASA. 24 January 2014. Retrieved 16 March 2015.
^ Biron, Lauren (7 April 2015). "Our universe is Flat". symmetrymagazine.org. FermiLab/SLAC.
^ Marcus Y. Yoo (2011). "Unexpected connections". Engineering & Science. LXXIV1: 30.
^ Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it". The European Physical Journal C. 80 (12): 1101. arXiv:2006.04011. Bibcode:2020EPJC...80.1101G. doi:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID 219530929.

외부 링크

[1] Buchdahl, H. A. (1970). "Non-linear Lagrangians and cosmological theory". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 150: 1–8. Bibcode:1970MNRAS.150....1B. doi:10.1093/mnras/150.1.1.

[2] Starobinsky, A. A. (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity". Physics Letters B. 91 (1): 99–102. Bibcode:1980PhLB...91...99S. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X.

[DE_textbook_Amendola-Tsujikawa-3] L. 아멘돌라와 S. 츠지카와 (2013) "다크 에너지, 이론과 관찰" 케임브리지 대학 출판부

[4] Tsujikawa, Shinji (2007). "Matter density perturbations and effective gravitational constant in modified gravity models of dark energy". Physical Review D. 76 (2): 023514. arXiv:0705.1032. Bibcode:2007PhRvD..76b3514T. doi:10.1103/PhysRevD.76.023514. S2CID 119324187.

[5] Liang, Dicong; Gong, Yungui; Hou, Shaoqi; Liu, Yunqi (2017). "Polarizations of gravitational waves in f(R) gravity". Phys. Rev. D. 95 (10): 104034. arXiv:1701.05998. Bibcode:2017PhRvD..95j4034L. doi:10.1103/PhysRevD.95.104034. S2CID 119005163.

[6] Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it". The European Physical Journal C. 80 (12): 1101. arXiv:2006.04011. Bibcode:2020EPJC...80.1101G. doi:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID 219530929.

[7] Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2022). "Gravitational Waves in f(R) Gravity Power Law Model". Indian Journal of Physics. 96 (2): 637. arXiv:1901.11277. Bibcode:2022InJPh..96..637G. doi:10.1007/s12648-020-01998-8. S2CID 231655238.

[8] De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010). "f(R) Theories". Living Reviews in Relativity. 13 (1): 3. arXiv:1002.4928. Bibcode:2010LRR....13....3D. doi:10.12942/lrr-2010-3. PMC 5255939. PMID 28179828.

[flanagan04-9] Flanagan, E. E. (2004). "The conformal frame freedom in theories of gravitation". Classical and Quantum Gravity. 21 (15): 3817–3829. arXiv:gr-qc/0403063. Bibcode:2004CQGra..21.3817F. doi:10.1088/0264-9381/21/15/N02. S2CID 117619981.

[olmo05-10] Olmo, G. J. (2005). "The Gravity Lagrangian According to Solar System Experiments". Physical Review Letters. 95 (26): 261102. arXiv:gr-qc/0505101. Bibcode:2005PhRvL..95z1102O. doi:10.1103/PhysRevLett.95.261102. PMID 16486333. S2CID 27440524.

[11] Iglesias, A.; Kaloper, N.; Padilla, A.; Park, M. (2007). "How (not) to use the Palatini formulation of scalar-tensor gravity". Physical Review D. 76 (10): 104001. arXiv:0708.1163. Bibcode:2007PhRvD..76j4001I. doi:10.1103/PhysRevD.76.104001.

[12] Barausse, E.; Sotiriou, T. P.; Miller, J. C. (2008). "A no-go theorem for polytropic spheres in Palatini f(R) gravity". Classical and Quantum Gravity. 25 (6): 062001. arXiv:gr-qc/0703132. Bibcode:2008CQGra..25f2001B. doi:10.1088/0264-9381/25/6/062001. S2CID 119370540.

[Berry-13] Berry, C. P. L.; Gair, J. R. (2011). "Linearized f(R) gravity: Gravitational radiation and Solar System tests". Physical Review D. 83 (10): 104022. arXiv:1104.0819. Bibcode:2011PhRvD..83j4022B. doi:10.1103/PhysRevD.83.104022. S2CID 119202399.

[14] Cembranos, J. A. R. (2009). "Dark Matter from R² Gravity". Physical Review Letters. 102 (14): 141301. arXiv:0809.1653. Bibcode:2009PhRvL.102n1301C. doi:10.1103/PhysRevLett.102.141301. PMID 19392422. S2CID 33042847.

[15] Clifton, T. (2008). "Parametrized post-Newtonian limit of fourth-order theories of gravity". Physical Review D. 77 (2): 024041. arXiv:0801.0983. Bibcode:2008PhRvD..77b4041C. doi:10.1103/PhysRevD.77.024041. S2CID 54174617.

[16] Starobinsky, A.A (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity". Physics Letters B. 91 (1): 99–102. Bibcode:1980PhLB...91...99S. doi:10.1016/0370-2693(80)90670-X.

[NASA_Shape-17] "Will the Universe expand forever?". NASA. 24 January 2014. Retrieved 16 March 2015.

[Fermi_Flat-18] Biron, Lauren (7 April 2015). "Our universe is Flat". symmetrymagazine.org. FermiLab/SLAC.

[19] Marcus Y. Yoo (2011). "Unexpected connections". Engineering & Science. LXXIV1: 30.

[20] Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it". The European Physical Journal C. 80 (12): 1101. arXiv:2006.04011. Bibcode:2020EPJC...80.1101G. doi:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3. S2CID 219530929.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

[11]

[10]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

Search

f(R) 중력

네임스페이스

더

목차

서론

미터법 `f`(`R`) 중력

장방정식의 유도

일반화된 프리드만 방정식

수정된 뉴턴 상수

거대한 중력파

등가형식주의

팔라티니 `f`(`R`) 중력

미터법-아핀 `f`(`R`) 중력

관측 테스트

스타로빈스키 중력

고고이고스와미 중력

텐셔너리 일반화

참고 항목

참고문헌

더보기

외부 링크

Search

f(R) 중력

서론

미터법 f(R) 중력

장방정식의 유도

일반화된 프리드만 방정식

수정된 뉴턴 상수

거대한 중력파

등가형식주의

팔라티니 f(R) 중력

미터법-아핀 f(R) 중력

관측 테스트

스타로빈스키 중력

고고이고스와미 중력

텐셔너리 일반화

참고 항목

참고문헌

더보기

외부 링크

미터법 `f`(`R`) 중력

팔라티니 `f`(`R`) 중력

미터법-아핀 `f`(`R`) 중력