Lax-Wendroff 방법

Lax-Wendroff 방법은 Peter Lax와 Burton Wendroff의 이름을 딴 것으로,^[1] 유한차이에 기초한 쌍곡선 부분 미분 방정식의 해법에 대한 수치법이다. 시공간적으로나 2차적으로 정확하다. 이 방법은 지배 방정식을 정의하는 기능이 현재 시간에 평가되는 명시적 시간 통합의 예다.

정의

다음 형식의 방정식을 가지고 있다고 가정합시다.

${\displaystyle {\frac {\frac u(x,t)}{\property t}+{\precovery f(u(x,t)}{\property x}=0}$

여기서 x와 t는 독립 변수이고 초기 상태 u(x, 0)가 주어진다.

선형대소문자

선형적인 경우, f(u) = Au 및 A가 상수인 경우,^[2]

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}}}A\left[u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\오른쪽]+{\frac {\delta t^{2}}:{2\Delta x^{2}}:}A^{2}\왼쪽[u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right].}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ 차원을$$ $가리키며$ i ${\displaystyle i}$은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 차원을$$ 가리킨다$$. 이 선형 계획은 다른 방법으로 일반 비선형 사례로 확장될 수 있다. 그 중 하나가 허락하는 것이다.

${\displaystyle A(u)=f'(u)={\frac {\partial f}{\partial u}}}$

비선형 케이스

일반 비선형 방정식에 대한 Lax-Wendroff의 보수적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left[f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})\right]+{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left[A_{i+1/2}\좌(f(u_{i+1}^{n}^{n}\right)-A_{i-1/2}\좌(f_{i}^{n}^{n}^{n}\right)-A_{i-1}-f(u_{i-1}^{n}\n}\rig)\right]}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$± ${\displaystyle 1_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$1$/2}}$은 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle u_{}^{}}$i ± $){\displaystyle${\$frac{1$}{1}2$}}(u_{i}^{n$}^{n$}+u_{i\pm$ 1$}^{n$n}}}}}}}}}}}}}}}}}}

자코비안 자유법

Jacobian 평가를 피하려면 2단계 절차를 사용하십시오.

리히트마이어법

다음은 리히트마이어 2단계 Lax-Wendroff 방식이다. Richtmyer 2단계 Lax-Wendroff 방법의 첫 번째 단계는 절반의 시간 단계, t와_{n + 1/2} 절반의 격자점_{i + 1/2}, x에서 f(u, t) 값을 계산한다_{n + 1}. t에서의 두 번째 단계_n 값은 t와_{n + 1/2} t에 대한 데이터를 사용하여 계산한다.

첫 번째(랙스) 단계:

${\displaystyle u_{i+1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n})),}$

${\displaystyle u_{i-1/2}^{n+1/2}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

두 번째 단계:

${\displaystyle u_{n}^{n+1}=u_{i}^{n}-{n}-{\frac {\delta t}{\delta x}}\f(u_{i+1/2}^{n+1/2}}: u_{n-1/2}^{n+1/2}오른쪽).}$

맥코맥법

이와 같은 유형의 다른 방법은 맥코맥에 의해 제안되었다. MacCormack의 방법은 우선 순방향 차이점을 사용한 후 역방향 차이점을 사용한다.

첫 번째 단계:

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\delta t}{\delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i}^{n}}}).}$

두 번째 단계:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{1}:{n}^{n}+u_{i}^{*}-{\frac {\delta t}{2\delta x}}}}\{{i}^}}-f(u_{i-1}^{*})\rig}\right}.}$

또는 첫 번째 단계:

${\displaystyle u_{i}^{*}=u_{i}^{n}-{\frac {\delta t}{\delta x}}(f(u_{i}^{n})-f(u_{i-1}^{n}}}).}$

두 번째 단계:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{1}:{n}^{n}+u_{i}^{*}-{\frac {\delta t}{2\delta x}}}}\{{i+1}^{*}-f(u_{i}^{*}오른쪽).}$

참조

• 마이클 J. 톰슨, 2006년 런던 임페리얼 칼리지 출판사의 천체물리학적 유체역학 소개
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 20.1. Flux Conservative Initial Value Problems". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. p. 1040. ISBN 978-0-521-88068-8.