MacCormack 방식

계산 유체 역학에서 맥코맥 방법은 쌍곡선 편미분 방정식의 수치 해법에 널리 사용되는 이산화 체계이다.이 2차 유한 차분법은 ^[1]1969년 로버트 W. 맥코맥에 의해 도입되었다.MacCormack 방식은 우아하고 이해하기 쉽고 ^[2]프로그래밍하기 쉽습니다.

알고리즘

MacCormack 방식은 2단계 Lax-Wendroff 방식의 변형이지만 응용 프로그램에서는 훨씬 단순합니다.알고리즘을 설명하기 위해 다음 1차 쌍곡선 방정식을 고려하십시오.

$(\displaystyle\frac\frac\frac\frac\frac\frac\fracx}=0).}$

위의 방정식에 대한 MacCormack 방식의 적용은 두 가지 단계로 진행됩니다.프레딕터 스텝 다음에 수정 스텝이 이어집니다.

예측 변수 단계:predictor 스텝에서는 ${\displaystyle {시간}_{}^{}}$ $수준{\displaystyle }$n + $($ui${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\stackrel{}{}}^{}}$ + $style$ { $display style$ $u_{i}^{\overline {n+1$에서의$u$의 "잠정$"$ 값은 다음과 같이 추정됩니다.

${\displaystyle u_{i}^{n}=u_{i}^{n}-a4frac {Delta t}{\Delta x}\left(u_i+1}^{n}-u_{n}\right)$

위의 방정식은 앞의 1차 쌍곡선 방정식의 공간 및 시간적 도함수를 순방향 차분을 사용하여 대체함으로써 얻어진다.

보정 단계:보정 스텝에서는 $예측값{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$n + ${\displaystyle {\stackrel{}{1}}_{}^{}}$ $†$ {$displaystyle u_{i}^{\overline {n+1}}$을(를) 식에 따라 보정한다.

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a4frac {Delta t}{2\Delta x}\left(u_{i}^{\overline {n+1}-u_i-1}^{\overline {n+1}}\right}$

보정 단계는 공간 도함수에 역방향 유한 차분 근사치를 사용합니다.보정 스텝에서 사용되는 타임스텝은 프레딕터 $스텝$에서 사용되는 $δ$t / $(\displaystyle$ \$Delta$t/$2)$입니다.

${\displaystyle {}_{}^{}}$n +${\displaystyle 1_{}^{}}$ /$$ ({$display$ style $u_{i}^{n+1/2})$ $항$을 시간 평균으로 대체

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}=vlac {u_{i}+u_{i}^{\overline {n+1}}{2}$

로서 교정 단계를 얻다

${\displaystyle u_{i}^{n}+u_{i}^{\overline {n+1}}{2}-a440frac {Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{\overline {n+1}=u_1\overline {u+1}}{{{{n}}})$

몇 가지 코멘트

MacCormack 방법은 비선형 방정식(Inviscid Burgers 방정식, Oiler 방정식 등)에 적합합니다.시간 단계에 대해 차분 정렬 순서를 역전할 수 있습니다(즉, 전진/후진 후 후진/전진).비선형 방정식의 경우 이 절차가 최상의 결과를 제공합니다.선형 방정식의 경우 MacCormack 방식은 Lax-Wendroff ^[3]방식과 동일합니다.

1차 역풍 방식과는 달리 MacCormack은 솔루션에 확산 오류를 발생시키지 않습니다.다만, 구배가 높은 영역에서는 분산 오차(Gibbs 현상)를 일으키는 것으로 알려져 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• Lax-Wendroff 방식
• 역풍 스킴
• 쌍곡선 편미분 방정식

레퍼런스