MUSCL 방식

부분 미분 방정식의 연구에서 MUSCL 체계는 용액이 충격, 불연속 또는 큰 구배를 나타내는 경우에도 특정 시스템에 대해 매우 정확한 수치 해결책을 제공할 수 있는 유한 체적 방법이다. MUSCL은 단조로운 업스트림 중심의 보존법 체계(van Leer, 1979년)를 의미하며, 이 용어는 브람 반 리어(van Leer, 1979년)에 의해 세미날 논문에 소개되었다. 이 논문에서 그는 두 번째 순서의 공간 정확도를 얻는 첫 번째 고차, 총 가변 감소(TVD) 계획을 작성했다.

고두노프 계획의 조각상수 근사치를 이전의 시간 단계에서 얻은 세포 평균 상태에서 도출한 재구성된 상태로 대체하자는 것이다. 각 셀에 대해, 제한되고 재구성된 좌우 상태를 구하여 셀 경계(에지)에서 플럭스를 계산하는 데 사용한다. 이러한 플럭스는 차례로 리만 용해체에 대한 입력으로 사용될 수 있으며, 이후 용액의 평균을 산출하여 용액을 제시간에 진전시키는 데 사용할 수 있다. 대신에, 플럭스는 기본적으로 루사노프 같은 계획인 리만-솔버-프리 계획에서 사용될 수 있다.

선형재구성

우리는 긍정적인 방향으로 전파되는 파동을 가정한 다음의 간단한 1차, 스칼라, 1D 시스템을 고려하여 MUSCL 체계의 기본 원리를 고려할 것이다.

${\displaystyle u_{t}+F_{x}\왼쪽(u\오른쪽)=0.\,}$

여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 상태 변수를 나타내고$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은 플럭스 변수를 나타낸다$$.

고두노프의 기본 체계는 각 세포에 대해 조각처럼 일정한 근사를 사용하며, $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$와 같이 지수화된 세포 중심에서 상기 문제의 1차적인 상승기류 분해를 초래한다$.$ 반분체 체계는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}+{\frac {1}{\delta x_{i}}}}}\왼쪽[u_{i}\오른쪽]-F\ft({i-1}\오른쪽)=0.}$

이 기본 계획은 충격이나 급격한 불연속은 얼룩지기 쉬우므로 처리할 수 없다. 이 효과의 예는 우측으로 전파되는 스텝 파형의 1D 부가 방정식을 보여주는 반대 다이어그램에 나와 있다. 시뮬레이션은 200개의 셀로 이루어진 메쉬로 수행되었으며, 4번째 순서인 Runge-Kutta 시간 통합자(RK4)를 사용했다.

고두노프의 계획은 불연속성의 높은 분해능을 제공하기 위해 각 셀의 조각처럼 선형의 근사치를 사용하도록 확장될 수 있으며, 이는 우주에서 2차적으로 정확한 중심 차이 체계를 만들어낸다. 부분적 선형 근사치는 다음에서 구한다.

${\displaystyle u\left(x\right)=u_{i}+{\frac {\left(x-x_{i}\right)}{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}}\left(u_{i+1}-u_{i}\right)\qquad \forall x\in (x_{i},x_{i+1}].}$

따라서 세포 가장자리에서 플럭스를 평가하면 다음과 같은 반분해 계획을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}+{1}{\frac {1}{\delta x_{i}}}}}\좌측[F_{i+1/2}}\우측)-좌측(u_{i-1/2}\우측)=0,}$

여기서 ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 셀 에지 변수의 조각적 근사값이다.

${\displaystyle u_{i+1/2}=0.5\왼쪽(u_{i}+u_{i+1}\오른쪽),}$

${\displaystyle u_{i-1/2}=0.5\왼쪽(u_{i-1}+u_{i}\오른쪽).}$

위의 2차 설계는 매끄러운 솔루션에 대해 더 높은 정확도를 제공하지만, 이는 총 변동 감소(TVD) 방식이 아니며 불연속성 또는 충격이 존재하는 용액에 모의 진동을 도입한다. 이 효과의 예는 반대쪽 다이어그램에 나타나 있으며, 이는 스텝파가 오른쪽으로 전파되는 1D 보조 방정식 ${\displaystyle u_{}}$t + ${\displaystyle u_{}}$x = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$\,$u_{t}+u_{x}=0}$을$($를) 보여준다. 이러한 정확성의 상실은 고두노프의 정리 때문에 예상할 수 있다. 시뮬레이션은 200개의 셀로 이루어진 메쉬로 수행되었고 시간 통합을 위해 RK4를 사용했다.

MUSCL 기반 수치 체계는 좌측 및 우측 외삽 상태로 제한된 경사를 사용하여 각 셀에 선형 조각 근사치를 사용하는 아이디어를 확장한다. 이 결과 다음과 같은 고해상도 TVD 디스트리뷰트 계획이 생성된다.

${\displaystyle {\frac {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}+{1}{\frac {1}{\delta x_{i}}}}}}\왼쪽[u_{i+1/2}^{*}^{{i-1/2}^}=0]\f.}$

그 대신, 좀 더 간결한 형태로 쓰여질 수 있고,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\왼쪽[F_{i+1/2}^{*}-F_{i-1/2}^{*}\right]=0.}$

수치유속 F $i{\displaystyle {}_{}^{}}$± ${\displaystyle 1_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$∗ ${\$ 1/$2}^{*}}}$은 연속유속함수에 대한 1차 및 2차 근사치의 비선형 결합에 해당한다$$.

기호 ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 (제한된 외삽 셀 에지 변수의) 체계 의존함수를 나타낸다.

${\displaystyle u_{i+1/2}^{*}=u_{i+1/2}^{*}\left(u_{i+1/2}^{L},u_{i+1/2}^{R}\right),u_{i-1/2}^{*}=u_{i-1/2}^{*}\left(u_{i-1/2}^{L},u_{i-1/2}^{R}\right),}$

여기서, 하향 경사 사용:

${\displaystyle u_{i+1/2}^{L}=u_{i}+0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(u_{i+1}-u_{i}\i}\right),u_{i+1/2}^{R}={i+1}={i+1}-0}-0}-0.5\phi \left(r_{i+1}\right)\left(u_{i+2}-u_{i+1}\right),}$

${\displaystyle u_{i-1/2}^{L}=u_{i-1}+0.5\phi \left(r_{i-1}\right)\left(u_{i}-u_{i-1/2}}^{R}=u_0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(u_{i+1}-u_{i}-{i}\ri}\ri}\rig}오른쪽),}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$

$\varphi {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\$ 기능은 용액이 TVD인지 확인하기 위해 조각 근사 경사를 제한하여 불연속성 또는 충격 주변에서 발생할 수 있는 오작동을 방지하는 제한 기능이다$$. 플럭스 제한기 섹션을 참조하십시오. 한계치는 ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \le }$ 0 ${\displaystyle r\leq$ 0$}$일 때 0과 같고, $r$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r=1}$일 때 통일과 같다$.$ 따라서, TVD 분리의 정확성은 국부적 극단에서 첫 번째 순서로 저하되지만, 도메인의 부드러운 부분보다 두 번째 순서인 경향이 있다.

그 알고리즘은 곧장 구현된다. 쿠르가노프, 타드모어 체계(아래 참조)와 같이 ${\displaystyle {Fi}_{}^{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 적합한 체계가 선택되면$$ 표준 수치 통합 기법을 사용하여 솔루션을 진행할 수 있다.

쿠르가노프와 타드모어의 중심적 계획

쿠르가노프와 타드모어(KT) 중심 계획의 전구인 (Kurganov and Tadmor, 2000년)는 네시야후와 타드모어(NT)가 시차적인 중심 계획인 (Nessyahu and Tadmor, 1990년)이다. MUSCL 재구성을 이용한 리만-솔버 프리 2차 고해상도 구조다. 구현이 직선으로 진행되어 스칼라와 벡터 문제에 사용할 수 있는 완전 이산형 방법으로, 고차재구축으로 보완한 루사노프 플럭스(Lussanov flux, Lax-Friedrichs flux라 불리는 욕설적인 정도까지)로 볼 수 있다. 알고리즘은 높은 고차원적 현상을 보이는 PDE의 기술 시스템에 대한 해결책을 얻기 위해 사용될 때 Riemann 타입의 해결사들과 비교 가능한 성능의 중앙 차이점에 기초한다.

KT 체계는 NT 체계가 확장되고 원래 NT 체계에 비해 수치 점도가 적다. 완전 이산형 또는 반분산형으로 구현할 수 있다는 장점도 추가됐다. 여기서 우리는 반물질적인 계획을 고려한다.

계산은 다음과 같다.

${\displaystyle F_{i-{\frac {1}{1}:{2}}:^{*}={\frac {1}{1}{1}{1}{2}}:}}}{*}={\frac {1}{1}{1}{1}}}오른쪽)++++++++++++++++.F\left(u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}\right)\right]-a_{i-{\frac {1}{2}}}\left[u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}-u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}\right]\right\}.}$

${\displaystyle F_{i+{\frac {1}{1}:{1}^{*}={\frac {1}{1}{1}{1}{2}}:}}}={\frac {1}{1}{1}}}}}}+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++F\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}\right)\right]-a_{i+{\frac {1}{2}}}\left[u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}-u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}\right]\right\}.}$

Where the local propagation speed, ${\displaystyle a_{i\pm {\frac {1}{2}}}\ }$, is the maximum absolute value of the eigenvalue of the Jacobian of ${\displaystyle F\left(u\left(x,t\right)\right)}$ over cells ${\displaystyle {i},{i\pm 1}}$ given by

${\displaystyle a_{i+{\frac {1}{2}}}\left(t\right)=\max \left[\rho \left({\frac {\partial F\left(u_{i+1/2}^{L}\left(t\right)\right)}{\partial u}}\right),\rho \left({\frac {\partial F\left(u_{i+1/2}^{R}\left(t\right)\right)}{\partial u}}\right),\right]}$

및 $\rho {\displaystyle }${\$displaystyle \rho$\ $}$은(는) ∂ ${\displaystyle \frac{F(u}{}}$( ${\displaystyle \frac{)\partial }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$. ∂ u${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\pressstyle {\frac${\$partial F\lift(좌측(t\$우측$)\right)}{\partial u}}$의 스펙트럼 반경을 나타낸다$$.$}$

이러한 CFL 관련 속도를 넘어서는 특성 정보가 필요하지 않다.

위의 플럭스 계산은 Lax-Friedrichs 플럭스(Lax-Friedrichs flux)라고 가장 많이 불린다(그러나 그러한 플럭스 표현은 1954년 Lax에서는 나타나지 않고 오히려 Russanov, 1961년).

고해상도 체계 사용의 효과성의 예를 맞은편 다이어그램에 나타내는데, 이는 스텝파가 오른쪽으로 전파되는 상태에서 1D 부연방정식 ${\displaystyle u_{}}$ t +${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}{}_{}}$= 0 ${\$을(를$)$ 나타낸다. 시뮬레이션은 200개의 셀로 이루어진 메쉬로 진행되었으며, 슈퍼비 리미터가 있는 쿠르가노프와 타드모어 중심 구조를 사용하였으며, 시간 통합에는 RK-4를 사용하였다. 이 시뮬레이션 결과는 위의 1차 역풍 및 2차 중심 차이 결과와 매우 대조적이다. 또한 이 계획은 방정식 집합에 적용할 때 좋은 결과를 제공한다. 오일러 방정식에 적용된 이 방법에 대한 아래 결과를 참조하십시오. 그러나, 예를 들어, 슈퍼비 제한 장치는 어떤 부드러운 파도에 비현실적인 날카로움을 유발할 수 있기 때문에 적절한 제한장치를 선택할 때 주의를 기울여야 한다.

이 계획에는 확산 용어가 있는 경우 확산 용어가 쉽게 포함될 수 있다. 예를 들어, 위의 1D 스칼라 문제가 확산 용어를 포함하도록 확장되면, 우리는

${\displaystyle u_{t}+F_{x}\왼쪽(u\오른쪽)=Q_{x}\왼쪽(u,u_{x}\오른쪽),}$

쿠르가노프와 타드모어는 다음과 같은 중심차이의 근사치를 제안한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}=-{\frac {1}{\delta x_{i}}}\왼쪽[F_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}-F_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\right]+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[P_{i+{\frac {1}{2}}}-P_{i-{\frac {1}{2}}}\right].}$

어디,

${\displaystyle P_{i+{\frac {1}{1}:{2}}:={\frac {1}{1}{1}{2}}: 왼쪽[Q\left(u_{i}},{\frac {u_{i+1}-u}-{i}}}}{\delta x_}}}\오른쪽)++++Q\left(u_{i+1},{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\delta x_{i}}\오른쪽),}}$

${\displaystyle P_{i-{\frac {1}{1}:{2}}:={\frac {1}{1}{2}}: 왼쪽[Q\왼쪽(u_{i-1},{\frac {u_{i-1}-u_{i-1}}}{\delta x_{i-1}}}}\오른쪽)++Q\left(u_{i},{\frac {u_{i}-u_{i-1}{i-1}{\Delta x_{i-1}\오른쪽).\right]}$

알고리즘(전체 버전 및 반분해 버전)과 그 파생에 대한 자세한 내용은 원본 문서(Kurganov 및 Tadmor, 2000)에서 확인할 수 있으며, 많은 1D 및 2D 예가 수록되어 있다. 네시야후와 태드모어(1990년)의 앞선 관련 논문에서도 추가 정보를 얻을 수 있다.

참고: 이 계획은 원래 쿠르가노프와 타드모어에 의해 선형 외삽에 기초한 2차 순서 체계로 제시되었다. 후기 논문(쿠르가노프와 레비, 2000년)은 그것이 제3차 주문 계획의 기초를 형성할 수도 있다는 것을 보여준다. 포물선 재구축(3차 순서)을 사용한 1D 부속 사례와 계략의 오일러 방정식 예는 아래의 포물선 재구성 및 오일러 방정식 섹션에 나와 있다.

조각상 포물선 재구성

선형추출사상을 고차재구성으로 확대할 수 있으며, 그 예는 맞은편 도표에 나타나 있다. 단, 이 경우 좌, 우의 상태는 2차, 역풍 편향, 차등 방정식의 보간법으로 추정한다. 이것은 우주에서 3차적으로 정확한 포물선 재건 계획을 낳는다.

We follow the approach of Kermani (Kermani, et al., 2003), and present a third-order upwind biased scheme, where the symbols ${\displaystyle u_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}}$ and ${\displaystyle u_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}}$ again represent scheme dependent functions (of the limited reconstructed cell edge 변수). 그러나 이 경우 그들은 파라볼리적으로 재구성된 상태, 즉,

${\displaystyle u_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}=f\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L},u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}\right),\quad u_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}=f\left(u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L},u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}\right),}$

그리고

${\displaystyle u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}=u_{i}+{\frac {\phi \left(r_{i}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}\right],}$

${\displaystyle u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}=u_{i+1}-{\frac {\phi \left(r_{i+1}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {3}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}\right],}$

${\displaystyle u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}=u_{i-1}+{\frac {\phi \left(r_{i-1}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {3}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}\right],}$

${\displaystyle u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}=u_{i}-{\frac {\phi \left(r_{i}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}\right].}$

여기서 $\kappa {\displaystyle }$ ${\$ $$= 1/3 및,

${\displaystyle \i1}{i+{\frac {1}{1}:{2}}=\좌측(u_{i+1}-u_{i}\우측)\190 \190 \i_{1}{1}{1}{1}2}}=\좌측(u_{i}-u_{i-1}우측)}}}$

${\displaystyle \i1}{i+{\frac {3}{2}}=\좌측(u_{i+2}-u_{i+1}-{i+1}\우측)\190 \no_{3}}}}=\좌측(u_{i-1}-u_{i-2}\우측)}}$

제한자 함수 ${\displaystyle \varphi }$( r${\displaystyle }$) $displaystyle \phi \left(r\right)\}$은$($는) 위와 같다.

포물선 재건술은 곧장 시행되며, 위에서 제시한 선형적 외삽술 대신에 쿠르가노프 및 타드모어 체계와 함께 사용할 수 있다. 이는 KT 구상의 공간 솔루션을 3차까지 끌어올리는 효과가 있다. 오일러 방정식을 풀 때 성능이 좋다(아래 참조). 이러한 공간 질서의 증가는 원활한 해결을 위한 2차 계획보다 확실한 장점이 있지만, 충격의 경우 선형 외삽 및 슈퍼비 제한 장치가 있는 KT 알고리즘을 사용하여 얻은 위의 솔루션과 반대되는 다이어그램과 비교된다. 이 시뮬레이션은 같은 KT 알고리즘을 사용하되 포물선 재구성을 통해 200개 셀의 메쉬로 수행됐다. 시간 통합은 RK-4에 의해 이루어졌으며, ${\displaystyle \mathrm{판알바}}$다 리미터의 대체 형태인 $van{\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 $displaystyle \phi _{va}(r)={\frac {2r}{1+r^{2$}가짜 진동을 피하기 위해$}}\$}}을(를) 사용했다.

예제: 1D 오일러 방정식

단순성을 위해 우리는 열 전달과 체력이 없는 1D 경우를 고려한다. 따라서 보존 벡터 형태에서 일반 오일러 방정식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {U}{\partial t}+{\frac {\partial \mathbf {F}{\partial x}=0,}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\rho \\rho u\\\\\\\\\\\\\\\\\}E\end{pmatrix}\qquad \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\u(E+p)\end{pmatrix},\qquad }$

$U{\displaystyle }$ ${\$$U}}}$은(는) 상태와 $F{\displaystyle }$ ${\$의 벡터다.$F}}}$은(는) 플럭스의 벡터다$$.

위의 방정식은 질량, 운동량 및 에너지의 보존을 나타낸다. 따라서$\rho {\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho}($밀도) $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}($유체 속도), $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}($압력) 및 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}($총 에너지)의 세 가지 방정식과 네 가지 미지수가 있다. 총 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle E=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2},}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\$은(는) 특정 내부 에너지를 나타낸다$$.

시스템을 닫으려면 상태 방정식이 필요하다. 우리의 목적에 맞는 것은

$왼쪽(\displaystyle p=\rho \left(\displaystyle p=\rho \좌)e$

여기서 $\gamma {\displaystyle }${\$displaystyle \gamma \$\}은(는) 유체의 특정$$ 가열 비율$[{\displaystyle c{}_{}{}_{}}$/ c ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \left[c_{p}/c_{v}\right]$과 동일하다$$.

이제 각 상태 변수에 대해 왼쪽과 오른쪽의 외삽 상태를 얻음으로써 단순 1D 예에서와 같이 진행할 수 있다. 따라서 밀도는 우리가 얻는다.

${\displaystyle \rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}=\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}\left(\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{L},\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{R}\right),\quad \rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}=\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\left(\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{L},\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{R}\right),}$

어디에

${\displaystyle \rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{L}=\rho _{i}+0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(\rho _{i}-\rho _{i-1}\right),\quad \rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{R}=\rho _{i+1}-0.5\phi \left(r_{i+1}\right)\left(\rho _{i+1}-\rho _{i}\right),}$

${\displaystyle \rho _{i-{\frac {1}{2}}^{L}=\rho _{i-1}+0.5\phi \left(r_{i-1}\right)\left(\rho _{i}-\rho _{i-1}\right),\quad \rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{R}=\rho _{i}-0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(\rho _{i+1}-\rho _{i}\right).}$

마찬가지로 모멘텀 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \rho u}$및 총 $에너지{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$$$. Velocity $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은 모멘텀에서 계산되며, $압력{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$은 상태의 방정식으로 계산된다$.$

제한된 외삽 상태를 얻은 후 이러한 값을 사용하여 에지 플럭스를 계속 구축한다. 엣지 플럭스가 알려졌으니 이제 반분해 계획을 세울 수 있을 겁니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} _{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[\mathbf {F} _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}-\mathbf {F} _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\right].}$

이 솔루션은 이제 표준 수치 기법을 사용한 통합으로 진행할 수 있다.

위와 같은 내용은 MUSCL 계획의 기본 사상을 보여준다. 그러나 오일러 방정식에 대한 실질적인 해결책을 위해 F ${\displaystyle {}_{}^{}}$± ${\displaystyle {1\frac{\mathrm{}}{}}_{}^{}}$ $∗{\$ 기능을 정의하려면 적절한 체계(위의 KT 체계 등)도 선택해야 한다$.$

반대 다이어그램은 위의 고해상도 쿠르가노프와 태드모어 센트럴 스키(KT)를 선형 외삽 및 오스프레 리미터(Ospre Limiter)로 사용하여 GA 소드의 충격관 문제에 대한 2차 해결책(Sod, 1978년)을 보여준다. 이는 오일러 방정식 해결에 대한 MUSCL 접근방식의 효과를 명확하게 보여준다. 시뮬레이션은 맷랩 코드(Weseling, 2001년)를 이용해 200개의 셀이 메쉬로 이뤄졌으며, KT 알고리즘과 오스프레 리미터(Ospre limiter)를 사용하도록 적응했다. 시간 통합은 4차 SHK(RK-4) 통합자에 의해 수행되었다. 다음과 같은 초기 조건(SI 단위)이 사용되었다.

• 왼쪽 압력 = 100000 [Pa];
• 압력 right= 10000 [Pa];
• 좌측 밀도 = 1.0 [kg/m3];
• 농도권 = 0.125 [kg/m3];
• 길이 = 20 [m];
• 좌측 속도 = 0 [m/s];
• 속도권 = 0 [m/s];
• 지속시간 =0.01 [s];
• 람다 = 0.001069(Δt/Δx).

반대 다이어그램은 위의 고해상도 쿠르가노프와 태드모어 센트럴 스키(KT)를 사용하되 포물선 재건과 판 알바다 리미터(Van Albada Limiter)를 사용하여 GA 소드의 충격관 문제에 대한 3차 해결책(Sod, 1978년)을 보여준다. 이것은 오일러 방정식 해결에 대한 MUSCL 접근방식의 효과를 다시 보여준다. 시뮬레이션은 포물선 외삽과 판알바다 리미터로 KT 알고리즘을 사용하도록 적응한 매트랩 코드(웨셀링, 2001년)를 이용한 200개 셀의 메쉬로 수행됐다. 판알바다 리미터의 대체 형태, $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle a_{}}$ (${\displaystyle {}_{}r}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle \phi _{va}(r)={\frac {2r}{1+r^{2$}가짜 진동을 피하기 위해$}}\$}}을(를) 사용했다. 시간 통합은 4차 SHK 통합자에 의해 수행되었다. 동일한 초기 조건이 사용되었다.

오일러 방정식을 좋은 정확도로 해결하는 다양한 다른 고해상도 계획들이 개발되었다. 그러한 계획의 예는 다음과 같다.

• 오셔의 계획과
• Liou-Steffen AUSM(접착 업스트림 분할 방법) 방식

이러한 방법 및 기타 방법에 대한 자세한 내용은 아래 참조에서 확인할 수 있다. 쿠르가노프 및 타드모어 중심 계획의 공개 소스 구현은 아래의 외부 링크에서 확인할 수 있다.

참고 항목

• 유한 부피법
• 플럭스 리미터
• 고두노프의 정리
• 고해상도 체계
• 선법
• 세르게이 K. 고두노프
• 총 변동 감소
• 소드 쇼크 튜브

참조

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• 쿠르가노프, 알렉산더 및 도론 레비(2000년), 3차 세미디시크리트 보존법과 대류-디퓨전 방정식, SIAM J. Sci. 계산, 22, 1461–1488. [3]
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• 루사노프, V. V. (1961년) 장애물과 비안정 충격파의 교차점 계산, J. 연산 수학. 체육. USSR, 1, pp267–279.
• Sod, G. A. (1978), 수렴 원통형 충격에 대한 수치적 연구 J. Fluid Mechanics, 83, 785–794.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers와 Springer-Verlag 유체 역학을 위한 수치적 방법.
• Weseling, Pieter(2001), Springer-Verlag, Computing Fluid Dynamic Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

추가 읽기

• Hirsch, C. (1990), 내부 및 외부 흐름의 수치 연산, 제2, Wiley.
• 캠브리지 대학 출판부의 Laney, Culbert B. (1998), Computing Gas Dynamics, Computing Gas Dynamics.
• Tannehill, John C, et al.(1997), Computing Fluid mechanics and Heat Transfer, 2번째 Ed, Taylor 및 Francis.

외부 링크

• GEES – Fortran으로 작성된 Kurganov 및 Tadmor 중앙 체계를 사용하여 오일러 방정식을 해결하는 오픈 소스 코드(작성자: 아르노 메이치퍼)