락스 프리드리히스법

Lax-Friedrichs 방법, 피터 Lax와 Kurt O의 이름을 따서 명명되었다. 프리드리히스(Friedrichs)는 유한차이에 기초한 쌍곡 부분 미분 방정식의 해법에 대한 수치적 방법이다. 이 방법은 1/2의 수치적 소산 기간을 갖는 FTCS(시간 경과, 공간 중심) 체계로 설명할 수 있다. 인공 점도를 추가하는 비용을 감수하고 각 셀 인터페이스에서 리만 문제 해결을 회피하는 고두노프의 계획에 대한 대안으로 락스-프리드리히스 방식을 볼 수 있다.

선형 문제에 대한 그림

다음 형식의$$ $u{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(x,t)}$에 대한 1차원 선형 쌍곡 부분 미분 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle u_{t}+au_{x}=0\,}$

구역에.

${\displaystyle b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d}$

초기 상태로

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)\,}$

그리고 경계 조건

${\displaystyle u(b,t)=u_{b}(t)\,}$

${\displaystyle u(c,t)=u_{c}(t).\,}$

If one discretizes the domain ${\displaystyle (b,c)\times (0,d)}$ to a grid with equally spaced points with a spacing of ${\displaystyle \Delta x}$ in the ${\displaystyle x}$-direction and ${\displaystyle \Delta t}$ in the ${\displaystyle t}$-direction, we define

${\displaystyle u_{i}^{n}=u(x_{i}}}}}}=b+i\,\Delta x,\t^{n}=n\,\Delta t{{data=0, n=0,\ldots,M,}}}}}}}}}이 있는 {\text{}\text{}}}}}\text}}}}\clattext}}}}}$

어디에

${\displaystyle N={\frac {c-b}{\Delta x},\,M={\fract {d}{\Delta t}}}}$

격자 간격의 수를 나타내는 정수. 그 후 위의 부분 미분 방정식을 해결하기 위한 Lax-Friedrichs 방법은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0}$

또는 알 수 없는 ${\displaystyle u_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$,${\displaystyle u_{i}^{n+1},}$에 대해 해결하려면 이 항목을 다시 작성하십시오.

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{1}:{n1}^{n}{n}+u_{i-1}^-a{\frac {\delta t}{2\,\delta t},\i+1}^{n}-u_{i-1}^{n},n},}},},}},}}$

초기 값과 경계 노드를 가져올 위치

${\displaystyle u_{i}^{0}=u_{0}(x_{i})}$

${\displaystyle u_{0}^{n}=u_{b}(t^{n})}$

${\displaystyle u_{N}^{n}=u_{c}(t^{n}).}$

비선형 문제에 대한 확장

비선형 쌍곡선 보존 법칙은 flux 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$를 통해 정의된다$.$

${\displaystyle u_{t}+(f(u)_{x}=0.}$

$f{\displaystyle }$ (${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(u)=au}$의 경우$,$ 우리는 결국 스칼라 선형 문제로 귀결된다. 일반적으로 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 방정식을$$ 포함하는 벡터라는 점에$$ 유의하십시오. 비선형 시스템에 대한 Lax-Friedrichs 방법의 일반화는 형태를^[1] 취한다.

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

이 방법은 보수적이고 첫 번째 순서가 정확하므로 상당히 방탕하다. 그러나 오일러 시간 단계는 일반적인 미분방정식의 고차수 수치 통합자를 만드는 빌딩 블록으로 사용될 수 있는 것처럼 쌍곡 부분 미분방정식을 해결하기 위한 고차수 수치 체계를 구축하기 위한 빌딩 블록으로 사용될 수 있다.

이 방법은 다음과 같은 보존 형태로 작성될 수 있다는 점에 유의한다.

${\displaystyle u_{n}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\fract {\delta t}{\delta x}}\{f}_{i+1/2}}^{n}-{n}-{f}_{i-1/2}^{n}\rig})},}}}$

어디에

${\displaystyle {\f}_{i-1/2}}^{n}={\frac {1}{1}{1}{1}:{n2}}\왼쪽(f_{i-1}+f_{i}\오른쪽)-{\frac {\Delta x}{2\delta t}\왼쪽(u_{n}-u_{i-1}^{i-1}^{n}^{n}{n}^{n}{n}^}}}}}}}}}}}{n}{n}^{n}{n}{n}^{n}}}$

Without the extra terms ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ and ${\displaystyle u_{i-1}^{n}}$ in the discrete flux, ${\displaystyle {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}}$, one ends up with the FTCS scheme, which is well known to be unconditionally unstable for hyperbolic problems.

안정성 및 정확성

This method is explicit and first order accurate in time and first order accurate in space (${\displaystyle O(\Delta t)+O({\frac {\Delta x^{2}}{\Delta t}}))}$ provided ${\displaystyle u_{0}(x),\,u_{b}(t),\,u_{c}(t)}$ are sufficiently-smooth functions. 이 조건에서는 다음 조건을 만족하는 경우에만 방법이 안정적이다.

${\displaystyle \왼쪽 a{\frac {\Delta t}{\Delta x}\오른쪽 \leq 1.}$

(본 노이만 안정성 분석을 통해 이러한 안정성 조건의 필요성을 확인할 수 있다.) Lax-Friedrichs 방법은 2차 주문 분산과 3차 주문 분산으로 분류된다. (1978년 Chu, 페이지 304). 불연속 기능이 있는 경우, 계획은 강한 분산과 분산을 나타낸다(Thomas 1995, §7.8). 오른쪽의 그림을 참조한다.

참조

• DuChateau, Paul; Zachmann, David (2002), Applied Partial Differential Equations, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41976-3.
• Thomas, J. W. (1995), Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Texts in Applied Mathematics, vol. 22, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97999-1.
• Chu, C. K. (1978), Numerical Methods in Fluid Mechanics, Advances in Applied Mechanics, vol. 18, New York: Academic Press, ISBN 978-0-12-002018-8.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 10.1.2. Lax Method", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8