스펙트럼법

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

스펙트럼 방법은 특정 미분 방정식을 수치적으로 해결하기 위해 응용 수학 및 과학적 계산에 사용되는 기법의 한 종류로, 잠재적으로 빠른 푸리에 변환의 사용을 포함한다. 이 개념은 미분 방정식의 해답을 특정 "기준함수"의 합(예: 사인파이의 합인 푸리에 시리즈)으로 작성한 다음, 가능한 한 미분 방정식을 충족시키기 위해 합계의 계수를 선택한다는 것이다.

스펙트럼 방법과 유한요소법은 동일한 사상에 밀접하게 연관되어 구축되어 있다. 이들의 주요 차이점은 스펙트럼 방법이 전체 영역에 걸쳐 0이 아닌 기본함수를 사용하는 반면 유한요소법은 작은 서브돔에만 0이 아닌 기본함수를 사용한다는 것이다. 즉, 스펙트럼 방법은 전지구적 접근방식을 채택하는 반면 유한요소법은 국지적 접근방식을 사용한다. 이 때문에 부분적으로 스펙트럼 방법은 뛰어난 오류 특성을 가지고 있는데, 용액이 매끄러울 때 이른바 '우수 수렴'이 가장 빨리 가능하다. 그러나 알려진 3차원 단일영역 스펙트럼 쇼크 캡처 결과는 없다(충격파가 매끄럽지 못하다).^[1] 유한요소 공동체에서는 격자 매개변수 h가 0으로 감소함에 따라 원소의 정도가 매우 높거나 증가하는 방법을 스펙트럼 요소법이라고 부르기도 한다.

스펙트럼 방법은 일반 미분방정식(ODE), 부분 미분방정식(PDE) 및 미분방정식과 관련된 고유값 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다. 시간 의존적 PSE에 스펙트럼 방법을 적용할 때, 솔루션은 일반적으로 시간 의존 계수를 갖는 기본 함수의 합으로 작성된다. 이를 PDE에 대입하면 계수에서 OSE의 시스템이 생성되며, 이는 OSE에 대한 수치적 방법을 사용하여 해결할 수 있다. ODE에 대한 고유값 문제는 유사하게 행렬 고유값 문제로^{[citation needed]} 변환된다.

스펙트럼 방법은 1969년부터 스티븐 오르작에 의해 주기적 기하 문제에 대한 푸리에 시리즈 방법, 유한 및 무한 기하 문제에 대한 다항식 스펙트럼 방법, 비선형 문제에 대한 유사 스펙트럼 방법, 빠른 솔루트에 대한 스펙트럼 반복 방법 등을 포함하되 이에 국한되지 않는 긴 논문 시리즈로 개발되었다.정상 상태 문제의 이온 스펙트럼 방법의 구현은 일반적으로 연접 또는 갤러킨 또는 타우 접근방식으로 수행된다.

스펙트럼 방법은 유한요소법보다 계산적으로 비용이 적게 들지만 복잡한 기하학적 구조와 불연속 계수의 문제에 대해서는 정확도가 떨어진다. 이러한 오류의 증가는 깁스 현상의 결과물이다.

스펙트럼 방법의 예

콘크리트, 선형 예제

여기서 우리는 기본적인 다변량 미적분학과 푸리에 시리즈에 대한 이해를 가정한다. If ${\displaystyle g(x,y)}$ is a known, complex-valued function of two real variables, and g is periodic in x and y (that is, ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$) then we are interested in finding a function f(x,y) so that

${\displaystyle \left \frac {\cHB ^{2}}:}+{\frac ^{\frac }{\frac ^{2}}:}\\f(x,y)=g(x,y)\text{\text}모든 }}$

여기서 왼쪽의 표현은 각각 f in x와 y의 두 번째 부분파생물을 나타낸다. 이것은 포아송 방정식이며, 물리적으로 어떤 종류의 열전도 문제, 또는 다른 가능성들 중에서도 잠재 이론의 문제로 해석될 수 있다.

F와 g를 Fourier 시리즈로 쓰면:

${\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}}}}$

${\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}}}$

그리고 미분 방정식으로 대체하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}}}}}$

우리는 무한정 금액과 부분적인 분화를 교환했는데, 예를 들어 f가 연속적인 제2의 파생상품을 가지고 있다고 가정한다면 합법적이다. 푸리에 팽창에 대한 고유성 정리에 의해, 우리는 푸리에 계수를 기간별로 동일시하여 다음을 제공해야 한다.

(*) $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {j,}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle b\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{j,}_{}}{}}$ k ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ k ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$}$}}}}$

푸리에 계수 a에_j,k 대한 명시적 공식이다.

주기적인 경계 조건의 경우, 포아송 방정식은_0,0 b = 0인 경우에만 용액을 소유한다. 따라서 우리는 결의안의 평균과 같은 것을 자유롭게_0,0 선택할 수 있다. 이는 통합 상수를 선택하는 것과 일치한다.

이것을 알고리즘으로 바꾸기 위해, 오직 많은 주파수만이 해결된다. 이를 $통해{\displaystyle {}^{}}$ h :=${\displaystyle }$${\displaystyle 1^{}}$ / ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h$:=1/$n$$}$ 및$$$$n ${\$displaystyle h$:=1/n$}에 비례하는 오류를 발생시키며, $여기$서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=1}$ /n {\$displaystyle n}$은 처리된 가장 높은 빈도수다.

알고리즘.

1. g의 푸리에 변환(b_j,k)을 계산한다.
2. 공식(*)을 통해 f의 푸리에 변환(a_j,k)을 계산한다.
3. (a_j,k)의 역 푸리에 변환을 사용하여 f를 계산한다.

우리는 한정된 주파수 창(크기 n)에만 관심이 있기 때문에, 이것은 빠른 푸리에 변환 알고리즘을 사용하여 수행될 수 있다. 따라서 알고리즘은 전체적으로 시간 O(n log n)로 실행된다.

비선형 예제

우리는 스펙트럼 접근법을 사용하여 강제적이고 과도하며 비선형적인 버거의 방정식을 해결하고자 한다.

주기적 도메인 $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle [[}$ ${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle )}$ ) ${\$\pi $\right]$에 $u{\displaystyle }$(x$0) {\displaystyle$ u\in${\mathcal}이($가) 지정되면 다음과$$ 같은${\$}를 찾으십시오.

${\displaystyle \py_{t}u+u\pi_{x}u=\rho \pa_{xx}u\f\pi \fline \forall x\in \flt]0}$

여기서 ρ은 점성 계수다. 약한 보수주의 형태에서 이것은 될 것이다.

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle :=}$ 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) g${\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ) ${\displaystyle g\stackrel{}{}}$ (x ${\displaystyle \stackrel{}{)}}$의 ${\displaystyle d}$ $\nangle f,g\angle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline{g(x$)}}}}}{\overline{g($x)}}}.$ 부품별 통합 및 주기성 보조금 사용

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

Fourier-Galerkin 방법을 적용하려면 두 가지 방법을 모두 선택하십시오.

${\displaystyle {\mathcal{{U}^{N}}=\좌측\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}}^{N/2-1}{\hat {u}{k}}(t)e^{ikx}\right\}}}}}}}}}:$

그리고

${\displaystyle {\mathcal{{V}^{N}=\operatorname {span}\left\{e^{ikx}k\in -N/2,\dots,N/2-1\right\}}}}}}$

여기서 $u{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle :=}$ 1 ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ u${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\hat{u}_{k}(t):$$={\frac {1}{2\pi }}}\langle u(x,t),$ e$^{ikx}\angle$ $\}\}.$ 이렇게 하면$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle N^{}}$ ${\$ {U$}^{N}}}$을 찾을 수 있는 문제가 줄어든다.

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

Using the orthogonality relation ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ where ${\displaystyle \delta _{lk}}$ is the Kronecker delta, we simplify the above three terms for each ${\displaystyle k}$ to see

${\displaystyle{\begin{정렬}\left\langle\partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle&=\left\langle\partial _{t}\sum _{나는}{\hat{너}}_{나는}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle=\left\langle \sum _{나는}\partial _{t}{\hat{너}}_{나는}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle=2\pi\partial _{t}{\hat{너}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle&=\left\langle\sum _{나는}{\hat{.f}}_{나는}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi{\hat{f}}_{k},{\text{과}}\\\left\langle{\frac{1}{2}};=\left\langle{\frac{1}{2}}\left(\sum_{p}{\hat{너}}_{p}e^{ipx}\right)\left(\sum_{q}{\hat{너}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho\partial _{)}\sum _{나는}{\hat{너}}_{나는}e^{ilx},\partial _{)}e^{ikx}\right\ran\partial _{)}u,\partial _{)}e^{ikx}\right\rangle 및 u^{2}-\rho.gle \\&, =\left\langle{\frac{1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat{너}}_{p}{\hat{너}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}\right\rangle-\left\langle \rho i\sum _{나는}l{\hat{너}}_{나는}e^{ilx},ike^{ikx}\right\rangle \\&, =-{\frac{ik}{2}}\left\langle\sum _{p}\sum _{q}{\hat{너}}_{p}{\hat{너}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}\right\rangle-\rho k\left\langle\.합 _{나는}l{\hat{u}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\rigle \rigle\\sum_{p+q=k}{p}{p}}{p}}{p}}{p}}}}}{{q}-2}pi \rho{}{{}}}}}}}{{{{{{u}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.\end{정렬}}}$

각$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해 세 개의 항을 조합하여 구하십시오.

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

2 $[\displaystyle 2\pi }$로 나누면$,$ 우리는 마침내 에 도착한다.

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

푸리에 변환된 초기 조건 ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\hat{u}_{k}(0)}$과(와) $f{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}t}$) ${\displaystyle {\f}_{k}}(t)$를 강제하는 경우$,$ 이 결합된 일반 미분방정식을 시간 내에 통합하여 해결책을 찾을 수 있다(예: Runge Kutta 기법). 비선형 용어는 콘볼루션이며, 효율적으로 평가하기 위한 몇 가지 변형 기반 기법이 있다. 자세한 내용은 보이드 및 카누토 등의 참조 자료를 참조하십시오.

스펙트럼 원소법과의 관계

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 무한히 다를 경우 Fast Fourier Transforms를 사용하는 수치 알고리즘이 그리드 크기 h의 어떤 다항식보다 빠르게 수렴된다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, 어떤 n>0에 대해서도, 오류는 h ${\displaystyle h}$의 모든 작은 값에 대해$$ ${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$보다 작다는 $<{\$$displaystyle$ $c_{n}}}}.$ 스펙트럼 방법은 매 n>에 대해 n의 $순서{\displaystyle }$ n$${\display n$\}$이라고 한다$.$

스펙트럼 원소법은 순서가 매우 높은 유한요소법이기 때문에 수렴 특성에는 유사성이 있다. 그러나 스펙트럼 방법은 특정 경계값 문제의 eigende 구성을 기반으로 하는 반면, 유한요소법은 그 정보를 사용하지 않고 임의의 타원 경계값 문제에 대해 작용한다.

참고 항목

• 유한요소법
• 가우스 격자
• 사이비-스펙트럴법
• 스펙트럼원소법
• 갤러킨법
• 연접법

참조

• 벵트 포른베르크(1996) 가성방법에 대한 실무 지침서. 영국 케임브리지 주 케임브리지
• John P에 의한 Chebyshev와 Fourier Spectrum Methods. 보이드.
• 카누토 C, 후사이니 M. Y, 쿼터니 A, 짱 T.A.(2006) 스펙트럼 방법. 단일 도메인의 기본 원리. 베를린 하이델베르크 스프링거-베를라크
• 하비에르 드 프루토스, 줄리아 노보: 나비에르 스펙트럼 원소법–정확도가 향상된 스톡스 방정식
• 다항식 미분방정식의 근사치, Daniele Funaro의 물리학 강의 노트, 제8권 Springer-Verlag, Hielberg 1992
• D. 고틀립과 S. 오르자그(1977) "스펙트럼 방법의 수학적 분석 : 이론과 응용", SIAM, 필라델피아, PA
• J. 헤스하벤, S. 고틀립과 D. 고틀립(2007) 영국 케임브리지 UP, 케임브리지의 "시간 의존적인 문제에 대한 스펙트럴 방법"
• 스티븐 A. 난류, 물리적 시뮬레이션을 위한 Orszag(1969) 수치적 방법 플루이드 서프. II, 12, 250–257
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 20.7. Spectral Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• 지선, 도당, 리롄왕(2011년) "스펙트럴 방법: 알고리즘, 분석 및 응용" (계산 수학의 스프링어 시리즈, V. 41, 스프링어), ISBN 35407104040X
• 로이드 N. Trefethen(2000) MATLAB의 스펙트럼 방법. SIAM, 필라델피아, 펜실베이니아 주